Тема 13. Решение уравнений

13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1755

а) Решите уравнение

                     (         )
    3       2       3  13π-
3(sin  x + 1) + 2 cos    2  + x   − 3 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку (0;π]  .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: x  – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле приведения    (         )
     13-π
cos    2  + x   = − sinx  , следовательно, уравнение примет вид:

     3      2            3                3       2       3
3(sin  x + 1) +  2(− sin x) −  3 = 0 ⇒  3(sin  x + 1) − 2 sin  x − 3 = 0

Сделаем замену:    3
sin  x + 1 = t  , тогда    3
sin x =  t − 1  :

3t2 − 2(t − 1) − 3 = 0 ⇒ 3t2 − 2t − 1 = 0 ⇒  t = 1;t  = − 1-
                                            1      2     3

Сделаем обратную замену:

⌊                     ⌊
  sin3x + 1 =  1        sin3 x = 0
⌈                1 ⇒  ⌈           4
  sin3x + 1 =  − --     sin3 x = − --
                 3                3

Т.к. − 1 ≤ sinα ≤  1  при любом α  , следовательно,          3
− 1 ≤ sin α ≤  1  , значит, второе уравнение решений не имеет. Следовательно:

sin3 x = 0 ⇒  x = πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

 

0 < πn ≤ π ⇒  0 <  n ≤ 1 ⇒  n = 1 ⇒  x = π  .

Ответ:

а) πn, n ∈ ℤ

 

б) π

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!