Тема 14. Задачи по стереометрии

14.18 Угол между скрещивающимися прямыми

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36237

В правильной пирамиде PABCD  высота P Q  равна стороне основания. Точки K  , L  и M  — середины отрезков P C  , AB  и P Q  соответственно. Найдите углы между прямыми:

а) KQ  и P D  ;

б) KQ  и BM  ;

в) KQ  и DL  .

Показать ответ и решение

Обозначим α
 i  — искомый угол, β = ∠PQK  , ϕ= ∠QPD  , γ = ∠BMQ  , ψ = ∠DOQ  .

PIC

а) P Q  — проекция PD  на плоскость PQC  , следовательно, по теореме о трех косинусах cosα1 = cos(P D,PQ)⋅cos(PQ,KQ )= cosϕ⋅cosβ  .

б) MQ  — проекция BM  на плсокость PQC  , следовательно, по теореме о трех косинусах cosα2 =cos(MB, MQ )⋅cos(PQ,KQ )=cosγ⋅cosβ  .

в) CO  — проекция DO  на плоскость PQC  , следовательно, по теореме о трех косинусах cosα3 = cos(DO, CO)⋅cos(CO,KQ )= cosψ ⋅sinβ  .

Перейдем к вычислениям. Пусть PQ= a  . Рассмотрим треугольник P QC  и в нем отметим углы β,γ,ϕ  . Так как QC =√a2-  , то P C = a∘-3
        2  , следовательно, cosϕ= ∘ 2-
        3  .

△PKQ  равнобедренный, следовательно,            ∘-2
cosβ = cosϕ=  3  . Тогда       1
sinβ = √3  .

MQ = a2  , следовательно,       √-
MC = a23  , откуда cosγ =√13-

△AOL ∼ △DOC  , причем AL =CD  =1 :2  , следовательно, OL :DO =1 :2  , следовательно,             ∘------
DO = 2DL = 1 a2+ a2= a√5
     3     2      4   3  . Тогда      -a-
QO = 3√2  , откуда       ∘-1
cosψ =  10  .

Таким образом, ответы:

а)      2
arccos 3  ;

б)      √-
arccos -2-
     3  ;

в)     ∘ -1-
arccos  30  .

Ответ:

а) arccos2
     3

б)      √-
arccos -2-
     3

в)     ∘ -1-
arccos  30

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!