14.18 Угол между скрещивающимися прямыми
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб Найдите угол между прямыми
и
Ответ дайте в градусах.
Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Так как то проекция наклонной
на эту
плоскость — это прямая
Так как каждая грань куба — квадрат, а диагонали квадрата перпендикулярны, то
Так как проекция то по теореме о трех перпендикулярах наклонная
Следовательно, угол между
этими прямыми равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть и
— скрещивающиеся прямые,
,
,
,
— проекция прямой
на
. На прямой
лежит отрезок
длиной
, а его проекция на плоскость
имеет длину
. Докажите, что верна формула
где — угол между прямыми
и
Так как — проекция
, то
. Проведем через точку
прямую
.
Следовательно, , следовательно, эти прямые лежат в одной плоскости. Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых
и
и секущей
равны, то
. Следовательно, из прямоугольного треугольника
:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть и
— скрещивающиеся прямые. На прямой
находится отрезок длины
,его ортогональной проекцией на прямую
является
отрезок длиной
. Тогда для угла
между
и
верна формула
Проведем плоскость , содержащую прямую
и пересекающую прямую
. Спроектируем прямую
на эту плоскость — получим ее
проекцию проямую
. Пусть
— проекция отрезка
на
. Тогда
. П теореме о трех перпендикулярах
—
сроекция
на
, следовательно,
.
Тогда по теореме о трех косинусах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде известны углы
и
, которые составляют с плоскостью основания
скрещивающиеся диагонали
и
смежных боковых граней. Вычислите угол между этими диагоналями.
Спроектируем диагональ на прямую
. В результате на грани
получится отрезок
, причем
. Тогда
,
.
Пусть , тогда
,
. Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугльной пирамиде все углы при вершине
прямые. Вычислите угол между прямыми
и
, где
—
середина
, а
— середина
.
Спроектируем прямую на плоскость
. Тогда
— проекция
на эту плоскость. По теореме о трех косинусах
.
Так как равнобедренный и прямоугольный, то
.
Пусть . Тогда
. Тогда
. Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре ребро
перпендикулярно грани
,
,
. Найдите угол между прямыми
и
Спроектируем на плоскость
, получим проекцию — прямую
. Тогда по теореме о трех косинусах
Так как равнобедренный и прямоугольный, то
, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной пирамиде высота
равна стороне основания. Точки
,
и
— середины отрезков
,
и
соответственно. Найдите углы между прямыми:
а) и
;
б) и
;
в) и
.
Обозначим — искомый угол,
,
,
,
.
а) — проекция
на плоскость
, следовательно, по теореме о трех косинусах
.
б) — проекция
на плсокость
, следовательно, по теореме о трех косинусах
.
в) — проекция
на плоскость
, следовательно, по теореме о трех косинусах
.
Перейдем к вычислениям. Пусть . Рассмотрим треугольник
и в нем отметим углы
. Так как
, то
, следовательно,
.
равнобедренный, следовательно,
. Тогда
.
, следовательно,
, откуда
, причем
, следовательно,
, следовательно,
. Тогда
, откуда
.
Таким образом, ответы:
а) ;
б) ;
в) .
а)
б)
в)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Высота правильной четырехугольной призмы вдвое больше ребра основания. Вычислите угол между диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.
Способ 1
Назовём призму и найдём угол между диагоналями
и
Проведём из точки
отрезок
равный и
параллельный
Тогда нужно найти угол
Отметим, что
— параллелограмм, так как противоположные стороны
и
равны и параллельны. Тогда
то есть точка
лежит на продолжении ребра
Пусть сторона
основания призмы равна
, тогда боковые рёбра равны
Вычислим
из теоремы Пифагора для треугольника
Для
верно равенство:
вычислим по теореме Пифагора для треугольника
Найдём косинус угла по теореме косинусов для треугольника
:
Тогда угол равен
Способ 2. Используем теорему косинусов трёхгранного угла
Найдем угол между и
. Проведем проекцию прямой
на плоскость
, в которой лежит
— получим
прямую
. Тогда
.
прямоугольный, следовательно,
.
По теореме косинусов из :
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная треугольная призма с боковым ребром
. Угол между скрещивающимися прямыми
и
равен
а) Докажите, что треугольник, вершины которого — середины ребер
— тупоугольный.
б) Найдите площадь этого треугольника, если
а) Пусть — середины ребер
соответственно. Тогда
следовательно, угол между скрещивающимися прямыми
и
равен углу между прямыми
и
.
Введем , проведем
, тогда
— середина
следовательно,
— средняя линия
.
Заметим, что как прямоугольные по двум катетам,
следовательно,
по теореме Пифагора. По этой же
теореме из
имеем
. Запишем теорему косинусов для
Так как , то
Следовательно, , так как
. Значит,
. Таким образом,
тупоугольный. Чтд.
б) Из пункта а) следует, что
Также
.
Тогда
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан тетраэдр с углом
Найдите угол между двумя
прямыми, проходящими через две пары точек: середины ребер
и
середины ребер
— средняя линия в
, следовательно,
.
— средняя линия
в
, следовательно,
. Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть и
— данные скрещивающиеся прямые. Проведем через прямую
плоскость
пересекающую
прямую
Спроецируем прямую
на плоскость
и назовем
ее проекцию. Докажите, что верна следующая
формула
(Теорема о трех косинусах)
Пусть Параллельно перенесем прямую
в точку
и получим трехгранный угол. Пусть
следовательно,
Проведем
Тогда
прямоугольный. Обозначим
По теореме косинусов из
По теореме Пифагора из
Вычтем из первого равенство второе:
Из прямоугольных треугольников и
имеем:
Тогда окончательно получаем