Тема 14. Задачи по стереометрии

14.18 Угол между скрещивающимися прямыми

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41973

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1  с боковым ребром AA1 = 2  . Угол между скрещивающимися прямыми AC1  и A1B  равен      ∘
α < 60.

а) Докажите, что треугольник, вершины которого — середины ребер AB, AA1,A1C1  — тупоугольный.

б) Найдите площадь этого треугольника, если α =arccos 1.
         3

Показать ответ и решение

а) Пусть P,K,N  — середины ребер A1C1,  AA1,  AB  соответственно. Тогда P K ∥AC1,  KN ∥ A1B,  следовательно, угол между скрещивающимися прямыми AC1  и A1B  равен углу между прямыми PK  и KN  .

PIC

Введем AB  =2a  , проведем PM ⊥ AC  , тогда M  — середина AC,  следовательно, MN  — средняя линия △ABC,  MN  = a  .

Заметим, что △AKN   = △A1KP  как прямоугольные по двум катетам, следовательно,            √-----
PK = KN  =  a2+ 1  по теореме Пифагора. По этой же теореме из △P MN  имеем      √ -----
PN  =  a2+ 4  . Запишем теорему косинусов для △P KN  :

PN2 = PK2 + KN2 − 2⋅PK ⋅KN  ⋅cos∠P KN   ⇔
a2 +4 = 2a2 +2 − 2(a2+ 1)cos∠P KN  ⇔

2      1+ cos∠P KN
a = 2⋅1−-2cos∠PKN--

Так как a2 ≥ 0  , то

1− 2cos∠P KN ≥ 0  ⇔   cos∠PKN  ≤ 1
                                 2

Следовательно, ∠P KN ⁄= α < 60∘ , так как cos60∘ = 12  . Значит, ∠P KN  =180∘− α > 120∘ . Таким образом, △P KN  тупоугольный. Чтд.

б) Из пункта а) следует, что

 2     1+-cos(180∘−-α)-    -1−-cosα   4
a = 2 ⋅1− 2cos(180∘− α ) = 2⋅1 +2cosα = 5

Также KP 2 = 95,                               ∘ -----  √-
sin∠P KN  =sin(180∘− α)= sinα =   1− 19 = 232  . Тогда

S△PKN = 1P K2 ⋅sin∠P KN = 0,6√2.
        2
Ответ:

б) 0,6√2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!