Тема 14. Задачи по стереометрии

14.19 Расстояние между скрещивающимися прямыми

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#20620

В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD  сторона основания ABCD  равна 12, а боковое ребро PA  равно   √ -
12  2.  Через вершину A  проведена плоскость α,  перпендикулярная прямой P C  и пересекающая ребро PC  в точке K.

а) Докажите, что плоскость α  делит высоту PH  пирамиды P ABCD  в отношении 2:1,  считая от вершины P.

б) Найдите расстояние между прямыми PH  и BK.

Показать ответ и решение

а) Прямая AK  ⊥ CP,  так как AK  принадлежит плоскости α,  перпендикулярной PC.  Пусть AK  пересекает PH  в точке G,  тогда нам нужно доказать, что

P G:GH  = 2:1

Рассмотрим треугольник PAC.  Его сторона AC  равна   √-
12 2  как диагональ квадрата со стороной 12. Получили, что

            √-
PC = PA = 12 2 =AC

Следовательно, треугольник PAC  равносторонний. Поскольку AK  и PH  — его высоты, а значит, и медианы, то медиана AK  делит медиану P H  в отношении 2:1,  считая от точки P.

PIC

б) Отрезок CH  является проекцией отрезка CP  на плоскость основания. Пусть L  — проекция середины K  отрезка  CP  на основание пирамиды. Тогда L  — середина CH  и KL  ⊥ (ABC ),  откуда KL  ∥PH.  Из этого следует, что прямая PH  параллельна плоскости (KBL  ).

Таким образом, расстояние между прямыми PH  и BK  равно расстоянию между прямой PH  и плоскостью (KBL ).

PIC

Рассмотрим высоту h  из вершины H  треугольника LBH.  Имеем h ⊥ PH,  а также h  перпендикулярна прямым LK  (так как LK ∥P H)  и LB  плоскости (KBL ).  Тогда длина h  — это и есть расстояние между прямой PH  и плоскостью (KBL ).

Далее имеем:

      1      √-
LH =  4AC = 3 2

Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника LBH  :

     ∘ ----------
BL  =  HL2 + HB2 = √18-+72 = 3√10-

Значит, окончательно из прямоугольного треугольника LBH :

h= HL-⋅HB--= -3√6--= √12-
     LB      3 10    10
Ответ:

б) 6√10-
 5

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#815

В кубе ABCDA1B1C1D1   , ребро которого равно √ ---
  32  , найдите расстояние между прямыми DB1   и CC1   .

Показать ответ и решение

Прямые DB1   и CC1   скрещиваются по признаку, т.к. прямая DB1   пересекает плоскость (DD1C1  )  , в которой лежит CC1   , в точке D  , не лежащей на CC1   .
 
PIC

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой CC1   и плоскостью, проходящей через DB
   1   параллельно CC
    1   . Т.к. DD   ∥ CC
    1     1   , то плоскость (B  D D )
   1 1  параллельна CC1   .
Докажем, что CO  – перпендикуляр на эту плоскость. Действительно, CO  ⊥ BD  (как диагонали квадрата) и CO  ⊥  DD1   (т.к. ребро DD1   перпендикулярно всей плоскости (ABC  )  ). Таким образом, CO  перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости, следовательно, CO  ⊥  (B D  D )
         1  1  .

 

AC  , как диагональ квадрата, равна    √ --
AB   2  , то есть       √ --- √ --
AC  =   32 ⋅  2 = 8  . Тогда        1
CO  =  2 ⋅ AC = 4  .

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16808

Через вершину A  прямоугольника ABCD  проведена прямая AK  , перпендикулярная   плоскости прямоугольника. Известно, что KD  = 6  , KB  = 7  , KC  = 9  .

а) Найдите расстояние от точки K  до плоскости прямоугольника ABCD  .

б) Найдите расстояние между прямыми AK  и CD  .

Показать ответ и решение

По условию AK  ⊥ (ABC ) ⇒ AB  является проекцией KB  на плоскость ABC  . Так как ABCD  — прямоугольник, то прямая CB  перпендикулярна проекции AB  , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна и наклонной KB  .

PIC

Тогда по теореме Пифагора для треугольника KBC

     ∘ -----------   √ -
BC =   KC2  − KB2 = 4  2

В прямоугольнике ABCD  имеем             √ -
AD  = BC = 4  2  , тогда по теореме Пифагора для треугольника DKA

     ∘ -----------
AK =   KD2  − AD2 = 2

AK  ⊥ (ABC ) ⇒ ρ(K, (ABC )) = AK = 2  .

AD  ⊥ AK  и                                √-
AD  ⊥ DC  ⇒ ρ(AK, DC ) = AD = 4 2  .

Ответ:

                             √ -
ρ(K,(ABC  )) = 2; ρ(AK, DC ) = 4 2  .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#810

Дан куб ABCDA1B1C1D1   . Найдите расстояние между прямыми A1B  и AC1   , если ребро куба равно √ --
  6 .

Показать ответ и решение

PIC

 

По определению угол между скрещивающимися прямыми - это угол между одной прямой и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой. Найдем плоскость, проходящую через A1B  параллельно AC1   .

 

Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Т.к. B C  ⊥  (AA  B  )
 1  1       1  1  , то проекция наклонной AC1   на эту плоскость – это прямая AB1   .

 

Пусть AB1  ∩ A1B  =  O  . Опустим из точки O  на AC1   перпендикуляр OK  и докажем, что это и есть искомое расстояние. Т.к. по определению расстояние между скрещивающимися прямыми – длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым, то осталось доказать, что OK  перпендикулярен прямой A1B  .
Действительно, проведем KH   ∥ B1C1   (следовательно, H ∈  AB1   ). Тогда т.к. B1C1 ⊥  (AA1B1 )  , то и KH   ⊥ (AA1B1  )  . Тогда по теореме о трех перпендикулярах (т.к. проекция HO   ⊥ A1B  ) наклонная KO   ⊥ A1B  , чтд.
Таким образом, KO  – искомое расстояние.

 

Заметим, что △AOK    ∼  △AC1B1   (по двум углам). Следовательно,

                            √ -- √--
AO      OK                    6 ⋅ 2
AC---= B--C--   ⇒    OK  =  ---√----=  1.
   1     1  1                 2  3
Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#816

Дан куб ABCDA1B1C1D1   . Найдите расстояние между прямыми AB1   и BC1   , если ребро куба равно a  .

Показать ответ и решение

1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая AB1   пересекает плоскость (BB1C1  )  , в которой лежит BC1   , в точке B1   , не лежащей на BC1   .
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой BC1   и плоскостью, проходящей через AB1   параллельно BC1   .
 
PIC
 
Для этого проведем AD
   1   — она параллельна BC
   1   . Следовательно, по признаку плоскость (AB1D1  ) ∥ BC1   .

 

2) Опустим перпендикуляр C1H  на эту плоскость и докажем, что точка H  упадет на продолжение отрезка AO  , где O  – точка пересечения диагоналей квадрата A1B1C1D1   .
Действительно, т.к. по свойству квадрата C O  ⊥ B  D
 1       1  1   , то по теореме о трех перпендикуляр проекция HO   ⊥ B1D1   . Но △AB1D1   равнобедренный, следовательно, AO  – медиана и высота. Значит, точка H  должна лежать на прямой AO  .

 

3) Рассмотрим плоскость (AA1C1  )  .
 
PIC

 

△AA1O   ∼  △OHC1   по двум углам (∠AA1O   =  ∠OHC1   =  90∘ , ∠AOA1   = ∠HOC1   ). Таким образом,

C1H-- = OC1--    (∗)
AA1      AO

По теореме Пифагора из △AA1O  :

      ∘  --------  √ --
          2   a2-  --6-
AO  =    a +  2  =  2 a.

Следовательно, из (∗)  теперь можно найти перпендикуляр

C1H  =  √a-.
          3
Ответ:

 a
√---
  3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#23597

В основании пирамиды PABCD  лежит трапеция ABCD,  в которой           ∘
∠BAD  = 60 ,            ∘
∠CDA  = 30.  Боковые грани P AB  и P CD  перпендикулярны основанию пирамиды.

а) Докажите, что плоскости (PAB )  и (PCD )  перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми PB  и CD,  если известно, что BC = 6,  а высота пирамиды P ABCD  равна 4.

Показать ответ и решение

а) Пусть E  — точка пересечения продолжений боковых сторон AB  и CD  трапеции ABCD.  Тогда плоскости (P AB)  и (PCD )  пересекаются по прямой PE.

Так как плоскости (P AB)  и (PCD )  перпендикулярны плоскости (ABC ),  то по свойству перпендикулярных плоскостей их общая прямая P E  тоже перпендикулярна плоскости (ABC  ).  Это значит, что PE  перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (ABC ),  в частности, P E ⊥ AE  и P E ⊥CE.  Следовательно, угол между плоскостями (PAB )  и (PCD )  равен углу AED.

PIC

Рассмотрим треугольник AED.  В нём по условию ∠EAD  = 60∘ и ∠EDA  = 30∘.  Тогда по сумме углов треугольника имеем:

∠AED  = 180∘− ∠EAD  − ∠EDA =

     = 180∘− 60∘− 30∘ = 90∘

Значит, плоскости (PAB )  и (PCD )  перпендикулярны.

б) Из решения пункта а) следует, что CD ⊥ P E  и CD  ⊥ AE,  значит, CD ⊥ (PAE ).

Опустим в плоскости (P AE)  перпендикуляр EH  из точки E  на прямую P B.  Тогда EH ⊥ P B  и так как EH  лежит в плоскости (P AE),  то EH ⊥ CD.  Значит, EH  — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых PB  и CD.

Рассмотрим треугольник BCE  в плоскости (ABC ).  Так как ABCD  — трапеция и BC ∥AD,  то

∠BCE  = ∠CDA  = 30∘,  ∠CEB  =90∘

Тогда в прямоугольном треугольнике BCE  с острым углом 30∘ имеем:

BE  = 1BC = 1 ⋅6= 3
      2     2

PIC

В пункте а) доказано, что PE ⊥ (ABC ),  значит, PE  — высота пирамиды. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике PEB :

     ∘ ---2-----2  ∘ 2---2- √ --
P B =  BE  + PE  =   3 +4  =  25= 5

Тогда отрезок EH  как высота в прямоугольном треугольнике P EB  равен

     BE-⋅P-E   3⋅4-  12
EH =   P B   =  5  = 5 = 2,4
Ответ: б) 2,4
Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#26640

ABCDA1B1C1D1  — прямоугольный параллелепипед, все грани которого не квадраты. M  — середина CD  , K  — середина грани BB1C1C  , L  — середина грани A1B1C1D1  . Косинус угла между прямыми MD1  и KL  равен √310.

а) Докажите, что CD = 2DD1.

б) Найдите расстояние между прямыми MD1  и KL  , если объем параллелепипеда равен 54√3  , угол между прямой B1C  и гранью CC1D1D  равен  ∘
60.

Показать ответ и решение

а) В треугольнике △D1B1C  отрезок KL  — средняя линия, следовательно, KL ∥ D1C  . Значит, угол α  между прямыми KL  и M D1  равен углу между прямыми D1C  и M D1  .

PIC

Введем обозначения CD = 2x  , DD1 = y  . Тогда по теореме Пифагора из △DD1M  и △DD1C  соответственно:

CD2 = 4x2 +y2
   1
M D21 = x2 + y2

Следовательно, по теореме косинусов для △M  D1C  :

    2     2      2
CM   = CD 1 + M D1 − 2 ⋅CD1 ⋅M D1 ⋅cosα
 2     2   2   2    2    ∘ --------∘ -------  3
x  = 4x + y + x  + y − 2⋅  4x2 + y2 ⋅ x2 + y2 ⋅√10
√ --              ∘-------- ∘ -------
  10⋅(2x2 + y2) = 3 4x2 + y2 ⋅ x2 + y2

10(4x4 + y4 +4x2y2) = 9(4x4 + y4 + 5x2y2)

4x4 − 5x2y2 + y4 = 0

(x2 − y2)(4x2 − y2) = 0
 ⌊
  x = y
 ⌈
  2x = y

Из равенства 2x = y  следует, что CD  = DD1  , то есть грань CDD1C1  представляет собой квадрат, что противоречит условию. Следовательно, возможно только равенство x = y  , из которого следует, что CD  = 2DD1,  что и требовалось доказать.

б) Так как ABCDA1B1C1D1  — прямоугольный параллелепипед, то B1C1 ⊥ (CDD1  )  , следовательно, CC1  — проекция CB1  на плоскость (CDD1 )  . Значит, угол между прямой CB1  и плоскостью (CDD1 )  равен ∠B1CC1  = 60∘ .

PIC

Тогда из прямоугольного △B1CC1  следует, что √ -
  3 = tg60∘ = B1C1 : CC1  , откуда        √ -
B1C1 =   3y.  Объем параллелепипеда равен

  √ -                             √ -    √ -
54  3 = V = AB ⋅B1C1 ⋅DD1 = 2x ⋅y⋅  3y = 2 3y3  ⇔   y = 3

Так как KL ∥ CD1  , то расстояние между скрещивающимися прямыми KL  и M D1  (M D1 ∈ (CDD1  )  ) равно расстоянию между прямой KL  и плоскостью (CDD  )
     1  , что равно отрезку KH  ∥ B C
       1 1  . KH  — средняя линия в △B1CC1  , откуда

                        √ -
      1        1  √ -  3--3
KH  = 2B1C1 =  2 ⋅y 3 =  2
Ответ:

б) 3√3
----
 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#27982

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1  является прямоугольный треугольник ABC  с прямым углом C.  Прямые CA1  и AB1  перпендикулярны.

a) Докажите, что AA1 =AC.

б) Найдите расстояние между прямыми CA1  и AB1,  если BC = 8  и AC = 7.

Показать ответ и решение

а) Прямая BC  перпендикулярна плоскости (ACA1 ),  так как BC ⊥ AC  и BC ⊥ AA1.  Поскольку B1C1 ∥BC,  то B1C1  — перпендикуляр к плоскости (ACA1 ),  а AC1  — ортогональная проекция наклонной AB1  на эту плоскость. По условию задачи CA1 ⊥ AB1,  значит, по теореме о трёх перпендикулярах AC1 ⊥ CA1.  Диагонали прямоугольника AA1C1C  перпендикулярны, значит, это квадрат. Следовательно, AA1 = AC.

PIC

б) Пусть H  — основание перпендикуляра, опущенного из центра O  квадрата AA1C1C  на прямую AB1.  Прямая CA1  перпендикулярна плоскости (AC1B1),  так как CA1 ⊥ AC1  и CA1 ⊥ B1C1.  Значит, OH ⊥ AC1,  и OH  — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых CA
  1  и AB  .
   1  Тогда расстояние между этими прямыми равно длине отрезка OH,  то есть половине высоты C1P  прямоугольного треугольника AC1B1,  опущенной из вершины прямого угла.

PIC

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ACC1 :

     ∘ ----------  ∘------   √ -
AC1 =  AC2 + CC21 =  72+ 72 = 7 2

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AC1B1 :

      ∘ ----------  √------  √ ---   √-
AB1 =   AC21 + B1C21 = 98+ 64=  162= 9 2

Тогда в прямоугольном треугольнике AB1C1  мы можем найти высоту C1P :

                   √-
C1P = AC1-⋅B1C1 = 7-2√⋅8-= 56  ⇒   OH  = 1C1P = 28
         AB1       9 2    9             2      9

Следовательно, расстояние между прямыми CA
  1  и AB
   1  равно 28.
9

Ответ:

б) 28
9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#41859

Докажите, что если a  и b  — противоположные ребра тетраэдра, d  — расстояние между ними, в α  — угол между ними, то объем этого тетраэдра равен 1
6 abdsinα.

Показать ответ и решение

Рассмотрим призму MNKP   M1N1K1P1  , в основании которой лежит четырехугольник MNKP  , диагонали которого равны и параллельны двум противоположным ребрам данного тетраэдра: MK  = a,NP = b,∠(MK,  NP )= α  . Тогда расстояние между основаниями призмы равно d.  Значит, объем этой призмы V = d⋅ 12absin α.

PIC

Распишем, чему равен объем данного тетраэдра M1NK1P  :

            (                                     )
                                                        (        )
VM2NK1P = V−|| VM1MNP + VK1NKP +VNM1N1K1 + VPM1K1P1|| = V−  1V + 1V  = 1V = 1abdsin α.
            ( ◟------◝◜------◞ ◟--------◝◜-------◞)       3    3     3    6
                 =VM1MNKP          =VNM1N1K1P1
Ответ:

Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#41865

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны a  и b.  Найдите расстояние между диагональю параллелепипеда и непересекающим ее боковым ребром.

Показать ответ и решение

Возьмем диагональ A1C  . Непересекающее ее боковое ребро — это DD1  . Заметим, что любая прямая плоскости (ABC )  перпендикулярна DD1  . Проведем DH  ⊥ (ACC1 )  ⇒ DH  ⊥ A1C  , а также DH  ⊥ DD1  , следовательно, DH  — искомое расстояние.

PIC

AC = √a2-+b2  . Для △ADC  :

AD  ⋅DC = 2SADC =DH  ⋅AC   ⇔   DH = AD--⋅DC = √--ab--.
                                       AC       a2+ b2
Ответ:

√--ab---
  a2+ b2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#41866

Постройте общий перпендикуляр скрещивающихся диагоналей двух смежных граней куба и найдите его длину, если ребро куба равно a.

Показать ответ и решение

Будем искать расстояние между прямыми AB ′ и A′D  . Проведем DC ′ ∥AB ′ ⇒   ′  ′     ′
(A DC  )∥AB , следовательно, расстояние от    ′
AB до   ′  ′
(A DC  )  — расстояние между   ′
AB и  ′
A D  .  ′     ′ ′
B O ⊥ A C ,        ′ ′
DO  ⊥ AC ,   ′
B H ⊥ DO  ⇒ D ′H ⊥ (A′DC ′)  . Таким образом, B ′H  — искомое расстояние, то есть этот отрезок перпендикулярен обеим прямым AB ′ и A′D  . Перенесем его таким образом, чтобы он пересекал обе прямые. Для этого проведем HK  ∥DC ′ , K ∈ A′D  . На отрезке AB ′ отложим B ′P = HK  . Тогда B′HKP  — прямоугольник, следовательно,        ′
P K = B H  и       ′
PK ∥B H  , следовательно, P K  перпендикулярна AB′ и A ′D  . PK  — общий перпендикуляр этих прямых.

PIC

Пусть ∠DOD  ′ = ∠B′OH = ϕ  . Тогда

        ′
tg ϕ= DD--= -aa- =√2-  ⇒   √1-= cosϕ= -OH-   ⇒   OH = √a-
     OD ′   √2             3        OD1               6

△A ′DC ′ — равносторонний с        √-
A ′D = a 2  , следовательно,       √-
DO =  a26-  . Тогда HO  :OD = 1:3  , следовательно, по теореме Фалеса KQ :QD = 1 :3  (OQ ∥ DC′ — средняя линия). Тогда KQ  =x  , QD = 3x  ⇒ A′K = 2x  . Следовательно,   ′
A K :KD  = 1:2  .

△HKD   ∼ △OQD  ⇒

HK =  HD-⋅OQ  = 2a√2 =B ′P   ⇒   AP = a√2− 2a√2 = 1a√2   ⇒   AP :PB′ = 1 :2.
      OD       3                         3      3

Нашла положения концов общего перпендикулярна на отрезках AB ′ и A ′D  .

∘ --
  2 = sinϕ = B′H-  ⇒   B′H = PK = √a-.
  3         B′O                    3
Ответ:

√a-
  3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#72210

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD  с вершиной S  боковое ребро SD = 5,  а высота пирамиды равна √--
 15.  Точки M  и N  — середины ребер CD  и AB  соответственно. В пирамиде NSCD  точка N  является вершиной, а NT  — высотой пирамиды.

а) Докажите, что точка T  является серединой SM.

б) Найдите расстояние между прямыми NT  и SC.

Показать ответ и решение

а)

PIC

1. NT  — высота пирамиды NSCD,  значит, NT ⊥ (CDS )  и NT ⊥ MS  в частности.

2. Пирамида SABCD  правильная, в её основании лежит квадрат. Раз так, то очевидно, что ANMD  — прямоугольник, где AN = MD  и AD  =MN.

3. Более того, основание высоты пирамиды SABCD  точка H  — центр основания, делящий отрезок MN  пополам.

4. Ну и в конце концов раз пирамида правильная, то боковые рёбра равны и △ASB  — равнобедренный, где SN  — высота и медиана одновременно.

5. △BNS  — прямоугольный, в нём по теореме Пифагора:

BS2 = BN2 + SN2,

   2     2     2
SN  = BS  − BN  .

6. △NHS  — прямоугольный, в нём по теореме Пифагора:

SN2 = NH2 + SH2,

BS2 − BN2 = NH2 + SH2.

Поскольку BN  = AB-= NH = MN-,
      2          2  имеем:

  2     2      2
BS  − SH = 2NH  ,

     ∘ -------
NH  =  25-− 15 = √5.
          2

7. В таком случае MN  = 2√5,  а SN = √25−-5 =2√5.  То есть △MNS  — равнобедренный, где NT  — высота и медиана одновременно, а значит, точка T  — середина SM.  Ч.Т.Д.

б) Расстояние между двумя прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из приведённого тезиса следует, что NT  перпендикулярна любой прямой в плоскости (CDS ).

То есть чтобы построить искомый общий перпендикуляр, нам всего лишь следует провести перпендикуляр TV  из точки T  на прямую SC.

В таком случае TV ⊥ NT  по озвученному факту и TV ⊥ SC  по построению.

2. Найдём TV  из подобия △CMS   ∼ △T VS,  поскольку ∠T SV = ∠CSM  и ∠T VS = ∠CMS.

3. SM = SN,  поскольку △NMS  — равнобедренный, где SH  — высота и медиана одновременно.

4. Из подобия треугольников имеем следующие отношения их соответствующих сторон:

            √-
-TV-= ST- = -5-= T√V-,
CM    SC    5      5

TV = 1.
Ответ: б) 1
Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!