14.19 Расстояние между скрещивающимися прямыми
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания
равна 12, а боковое ребро
равно
Через вершину
проведена плоскость
перпендикулярная прямой
и пересекающая ребро
в точке
а) Докажите, что плоскость делит высоту
пирамиды
в отношении
считая от вершины
б) Найдите расстояние между прямыми и
а) Прямая так как
принадлежит плоскости
перпендикулярной
Пусть
пересекает
в точке
тогда нам нужно доказать, что
Рассмотрим треугольник Его сторона
равна
как диагональ квадрата со стороной 12. Получили,
что
Следовательно, треугольник равносторонний. Поскольку
и
— его высоты, а значит, и медианы, то медиана
делит медиану
в отношении
считая от точки
б) Отрезок является проекцией отрезка
на плоскость основания. Пусть
— проекция середины
отрезка
на основание пирамиды. Тогда
— середина
и
откуда
Из этого следует, что прямая
параллельна плоскости
Таким образом, расстояние между прямыми и
равно расстоянию между прямой
и плоскостью
Рассмотрим высоту из вершины
треугольника
Имеем
а также
перпендикулярна прямым
(так как
и
плоскости
Тогда длина
— это и есть расстояние между прямой
и плоскостью
Далее имеем:
Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника
Значит, окончательно из прямоугольного треугольника
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В кубе , ребро которого равно
, найдите расстояние между прямыми
и
.
Прямые и
скрещиваются по признаку, т.к. прямая
пересекает плоскость
, в
которой лежит
, в точке
, не лежащей на
.
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой и
плоскостью, проходящей через
параллельно
. Т.к.
, то плоскость
параллельна
.
Докажем, что – перпендикуляр на эту плоскость. Действительно,
(как диагонали
квадрата) и
(т.к. ребро
перпендикулярно всей плоскости
). Таким
образом,
перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости, следовательно,
.
, как диагональ квадрата, равна
, то есть
. Тогда
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через вершину прямоугольника
проведена прямая
, перпендикулярная
плоскости прямоугольника.
Известно, что
,
,
.
а) Найдите расстояние от точки до плоскости прямоугольника
.
б) Найдите расстояние между прямыми и
.
По условию является проекцией
на плоскость
. Так как
— прямоугольник,
то прямая
перпендикулярна проекции
, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна
и наклонной
.
Тогда по теореме Пифагора для треугольника
В прямоугольнике имеем
, тогда по теореме Пифагора для треугольника
.
и
.
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб . Найдите расстояние между прямыми
и
, если ребро куба равно
.
По определению угол между скрещивающимися прямыми - это угол между одной прямой и
плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой. Найдем плоскость, проходящую
через параллельно
.
Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Т.к. , то проекция
наклонной
на эту плоскость – это прямая
.
Пусть . Опустим из точки
на
перпендикуляр
и докажем, что это и
есть искомое расстояние. Т.к. по определению расстояние между скрещивающимися прямыми – длина
отрезка, перпендикулярного обеим прямым, то осталось доказать, что
перпендикулярен прямой
.
Действительно, проведем (следовательно,
). Тогда т.к.
, то и
. Тогда по теореме о трех перпендикулярах (т.к. проекция
) наклонная
, чтд.
Таким образом, – искомое расстояние.
Заметим, что (по двум углам). Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб . Найдите расстояние между прямыми
и
, если ребро куба равно
.
1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая пересекает плоскость
, в которой лежит
, в точке
, не лежащей на
.
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой и
плоскостью, проходящей через
параллельно
.
Для этого проведем — она параллельна
. Следовательно, по признаку плоскость
.
2) Опустим перпендикуляр на эту плоскость и докажем, что точка
упадет на продолжение
отрезка
, где
– точка пересечения диагоналей квадрата
.
Действительно, т.к. по свойству квадрата , то по теореме о трех перпендикуляр проекция
. Но
равнобедренный, следовательно,
– медиана и высота. Значит, точка
должна лежать на прямой
.
3) Рассмотрим плоскость .
по двум углам (
,
). Таким
образом,
По теореме Пифагора из :
Следовательно, из теперь можно найти перпендикуляр
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании пирамиды лежит трапеция
в которой
Боковые грани
и
перпендикулярны основанию пирамиды.
а) Докажите, что плоскости и
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и
если известно, что
а высота пирамиды
равна
4.
а) Пусть — точка пересечения продолжений боковых сторон
и
трапеции
Тогда плоскости
и
пересекаются по прямой
Так как плоскости и
перпендикулярны плоскости
то по свойству перпендикулярных плоскостей их
общая прямая
тоже перпендикулярна плоскости
Это значит, что
перпендикулярна любой прямой, лежащей в
плоскости
в частности,
и
Следовательно, угол между плоскостями
и
равен
углу
Рассмотрим треугольник В нём по условию
и
Тогда по сумме углов треугольника
имеем:
Значит, плоскости и
перпендикулярны.
б) Из решения пункта а) следует, что и
значит,
Опустим в плоскости перпендикуляр
из точки
на прямую
Тогда
и так как
лежит
в плоскости
то
Значит,
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых
и
Рассмотрим треугольник в плоскости
Так как
— трапеция и
то
Тогда в прямоугольном треугольнике с острым углом
имеем:
В пункте а) доказано, что значит,
— высота пирамиды. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном
треугольнике
Тогда отрезок как высота в прямоугольном треугольнике
равен
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
— прямоугольный параллелепипед, все грани которого не квадраты.
— середина
,
—
середина грани
,
— середина грани
. Косинус угла между прямыми
и
равен
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние между прямыми и
, если объем параллелепипеда равен
, угол между прямой
и
гранью
равен
а) В треугольнике отрезок
— средняя линия, следовательно,
. Значит, угол
между
прямыми
и
равен углу между прямыми
и
.
Введем обозначения ,
. Тогда по теореме Пифагора из
и
соответственно:
Следовательно, по теореме косинусов для :
Из равенства следует, что
, то есть грань
представляет собой квадрат, что
противоречит условию. Следовательно, возможно только равенство
, из которого следует, что
что
и требовалось доказать.
б) Так как — прямоугольный параллелепипед, то
, следовательно,
—
проекция
на плоскость
. Значит, угол между прямой
и плоскостью
равен
.
Тогда из прямоугольного следует, что
, откуда
Объем
параллелепипеда равен
Так как , то расстояние между скрещивающимися прямыми
и
(
) равно
расстоянию между прямой
и плоскостью
, что равно отрезку
.
— средняя линия в
, откуда
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник
с прямым углом
Прямые
и
перпендикулярны.
a) Докажите, что
б) Найдите расстояние между прямыми и
если
и
а) Прямая перпендикулярна плоскости
так как
и
Поскольку
то
—
перпендикуляр к плоскости
а
— ортогональная проекция наклонной
на эту плоскость. По условию задачи
значит, по теореме о трёх перпендикулярах
Диагонали прямоугольника
перпендикулярны,
значит, это квадрат. Следовательно,
б) Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из центра
квадрата
на прямую
Прямая
перпендикулярна плоскости
так как
и
Значит,
и
— общий
перпендикуляр скрещивающихся прямых
и
Тогда расстояние между этими прямыми равно длине отрезка
то есть половине высоты
прямоугольного треугольника
опущенной из вершины прямого угла.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике
Тогда в прямоугольном треугольнике мы можем найти высоту
Следовательно, расстояние между прямыми и
равно
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если и
— противоположные ребра тетраэдра,
— расстояние
между ними, в
— угол между ними, то объем этого тетраэдра равен
Рассмотрим призму , в основании которой лежит
четырехугольник
, диагонали которого равны и параллельны двум
противоположным ребрам данного тетраэдра:
.
Тогда расстояние между основаниями призмы равно
Значит, объем этой
призмы
Распишем, чему равен объем данного тетраэдра
Доказательство
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны и
Найдите
расстояние между диагональю параллелепипеда и непересекающим ее боковым
ребром.
Возьмем диагональ . Непересекающее ее боковое ребро — это
.
Заметим, что любая прямая плоскости
перпендикулярна
. Проведем
, а также
, следовательно,
— искомое расстояние.
. Для
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Постройте общий перпендикуляр скрещивающихся диагоналей двух смежных
граней куба и найдите его длину, если ребро куба равно
Будем искать расстояние между прямыми и
. Проведем
, следовательно, расстояние от
до
—
расстояние между
и
.
,
,
. Таким образом,
— искомое расстояние, то есть этот
отрезок перпендикулярен обеим прямым
и
. Перенесем его таким
образом, чтобы он пересекал обе прямые. Для этого проведем
,
. На отрезке
отложим
. Тогда
—
прямоугольник, следовательно,
и
, следовательно,
перпендикулярна
и
.
— общий перпендикуляр этих
прямых.
Пусть . Тогда
— равносторонний с
, следовательно,
. Тогда
, следовательно, по теореме Фалеса
(
— средняя линия). Тогда
,
. Следовательно,
.
Нашла положения концов общего перпендикулярна на отрезках и
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной
боковое ребро
а высота пирамиды равна
Точки
и
— середины ребер
и
соответственно. В пирамиде
точка
является вершиной, а
— высотой пирамиды.
а) Докажите, что точка является серединой
б) Найдите расстояние между прямыми и
а)
1. — высота пирамиды
значит,
и
в
частности.
2. Пирамида правильная, в её основании лежит квадрат.
Раз так, то очевидно, что
— прямоугольник, где
и
3. Более того, основание высоты пирамиды точка
— центр
основания, делящий отрезок
пополам.
4. Ну и в конце концов раз пирамида правильная, то боковые рёбра равны и
— равнобедренный, где
— высота и медиана одновременно.
5. — прямоугольный, в нём по теореме Пифагора:
6. — прямоугольный, в нём по теореме Пифагора:
Поскольку имеем:
7. В таком случае а
То есть
—
равнобедренный, где
— высота и медиана одновременно, а значит, точка
— середина
Ч.Т.Д.
б) Расстояние между двумя прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой
прямой, лежащей в этой плоскости. Из приведённого тезиса следует, что
перпендикулярна любой прямой в плоскости
То есть чтобы построить искомый общий перпендикуляр, нам всего лишь
следует провести перпендикуляр из точки
на прямую
В таком случае по озвученному факту и
по
построению.
2. Найдём из подобия
поскольку
и
3. поскольку
— равнобедренный, где
— высота и
медиана одновременно.
4. Из подобия треугольников имеем следующие отношения их соответствующих сторон:
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |