Тема 14. Задачи по стереометрии

14.19 Расстояние между скрещивающимися прямыми

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#816

Дан куб ABCDA1B1C1D1   . Найдите расстояние между прямыми AB1   и BC1   , если ребро куба равно a  .

Показать ответ и решение

1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая AB1   пересекает плоскость (BB1C1  )  , в которой лежит BC1   , в точке B1   , не лежащей на BC1   .
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой BC1   и плоскостью, проходящей через AB1   параллельно BC1   .
 
PIC
 
Для этого проведем AD
   1   — она параллельна BC
   1   . Следовательно, по признаку плоскость (AB1D1  ) ∥ BC1   .

 

2) Опустим перпендикуляр C1H  на эту плоскость и докажем, что точка H  упадет на продолжение отрезка AO  , где O  – точка пересечения диагоналей квадрата A1B1C1D1   .
Действительно, т.к. по свойству квадрата C O  ⊥ B  D
 1       1  1   , то по теореме о трех перпендикуляр проекция HO   ⊥ B1D1   . Но △AB1D1   равнобедренный, следовательно, AO  – медиана и высота. Значит, точка H  должна лежать на прямой AO  .

 

3) Рассмотрим плоскость (AA1C1  )  .
 
PIC

 

△AA1O   ∼  △OHC1   по двум углам (∠AA1O   =  ∠OHC1   =  90∘ , ∠AOA1   = ∠HOC1   ). Таким образом,

C1H-- = OC1--    (∗)
AA1      AO

По теореме Пифагора из △AA1O  :

      ∘  --------  √ --
          2   a2-  --6-
AO  =    a +  2  =  2 a.

Следовательно, из (∗)  теперь можно найти перпендикуляр

C1H  =  √a-.
          3
Ответ:

 a
√---
  3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!