14.20 Метод объемов

Найдем расстояние от точки до плоскости через объем пирамиды

Так как призма правильная, то боковые грани — равные прямоугольники. Следовательно, так как то откуда

Следовательно, если — точка пересечения диагоналей и то как медиана и высота в равнобедренном треугольнике.

Пусть — середина Тогда Значит, так как то Отсюда прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости Следовательно, Значит, — высота пирамиды проведенная к основанию

Запишем объем пирамиды двумя способами:

Здесь — расстояние от точки до плоскости

Вычислим длину отрезка и площади треугольников в уравнении выше.

Отрезки как противоположные стороны параллелограмма в котором Тогда имеем:

Тогда искомое расстояние равно

Пусть — высота пирамиды, следовательно, — точка пересечений диагоналей квадрата Рассмотрим пирамиду Пусть — расстояние от вершины до основания этой пирамиды, то есть искомое расстояние. Тогда

• 

• Проведем Тогда — середина так как равнобедренный. Также по обратной теореме о трех перпендикулярах Причем заметим, что — медиана в прямоугольном проведенная к гипотенузе, следовательно, Тогда по теореме Пифагора

  Следовательно,

Тогда

Пусть — искомое расстояние от точки до плоскости Рассмотрим прямоугольную пирамиду

• 

• Так как то полупериметр Следовательно, по формуле Герона

  

Следовательно,

Пусть — длина перпендикуляра от точки до плоскости Тогда — проекция прямой на плоскость Следовательно, — угол между прямой и плоскостью Найдем

Рассмотрим прямоугольную пирамиду

• 

• Так как то полупериметр Следовательно, по формуле Герона

  

Следовательно,

Тогда

В задаче 41979 была доказана формула

для объема треугольной пирамиды, где и — площади двух граней, — их общее ребро, — угол между плоскостями этих граней. Воспользуемся этой формулой для поиска угла между плоскостями и

Расмотрим тетраэдр Во-первых, заметим, что его объем равен трети объема параллелепипеда Действительно,

Во-вторых, его объем равен

где — искомый угол, а по трем сторонам.

Следовательно,

• 
• 

• полупериметр Следовательно, по формуле Герона

  

Следовательно,

а) Назовем плоскость плоскостью Так как пересечет параллельные плоскости по параллельным прямым, то плоскость она пересечет по прямой Следовательно, — середина Тогда — сечение параллелепипеда плоскостью

Прямые и пересечения плоскостей и пересекаются в одной точке. Назовем эту точку точкой Рассмотрим две треугольные пирамиды: и Пусть Тогда

где и требуется доказать, что

Проведем и — перпендикуляры к Так как то Действительно, прямая следовательно, угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и плоскостью Следовательно, как прямоугольные по острому углу Из подобия уже следует вышесказанное отношение.

по стороне и двум углам, следовательно, их площади равны. Следовательно, если то

Тогда ()

Следовательно,

б) Пусть — искомое расстояние. Тогда для пирамиды

• 

• Найдем

  Заметим, что — квадрат. Пусть — точка пересечения его диагоналей. Тогда Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах

  

  Следовательно,

  

Тогда

а) Прямые и пересечения плоскостей и пересекаются в одной точке. Назовем эту точку Рассмотрим и прямую По теореме Менелая:

Следовательно, — середина значит, по теореме Фалеса — середина и — средняя линия Отсюда следовательно, — середина

 

б) Пусть Рассмотрим пирамиду Назовем ее объем Тогда

• По теореме Пифагора Тогда Следовательно,

  

• По теореме Пифагора Так как то по теореме косинусов для

  

   

  

  Следовательно, равнобедренный. Так как — середина то — высота, проведенная к основанию Тогда имеем:

  

  Следовательно,

  

Тогда искомое расстояние равно

а) Назовем плоскость плоскостью Плоскость пересечет параллельные плоскости по параллельным прямым, следовательно, плоскость она пересечет по прямой Тогда Тогда

б) Рассмотрим треугольную пирамиду Ее объем равен

где — расстояние от точки до плоскости Следовательно,

• следовательно,

  

  Тогда

  

• По теореме Пифагора

  

  Пусть Тогда по теореме косинусов из

  

  Следовательно, Тогда

  

Следовательно,

а) Докажем, что плоскость, которую мы назовем пересекает ребро Для этого покажем, что плоскость отсекает от пирамиды пирамиду объем которой больше половины объема пирамиды

Так как объемы треугольных пирамид с общим трехгранным углом относятся как произведения ребер, выходящих из вершины этого трехгранного угла, то

Следовательно, плоскость пересекает ребро Пусть она его пересекает в точке Определим положение точки на ребре Тогда по той же самой теореме

Сечение пирамиды плоскостью определено и построено.

б) Пусть плоскость пересекает в точке Пусть прямая пересекается с прямой в точке Запишем теорему Менелая для и прямой

Следовательно, можно принять Тогда по теореме Менелая для и прямой

а) Пусть и — высоты основания пирамиды, которые пересекаются в точке Тогда — высота пирамиды. — проекция наклонной на плоскость Следовательно, так как по теореме о трех перпендикулярах

б) Объем пирамиды равен

где — искомое расстояние от точки до плоскости

• Высота правильного треугольника со стороной равна следовательно,

• По теореме о трех перпендикулярах По теореме Пифагора Следовательно, Тогда

  

• Площадь правильного треугольника со стороной равна следовательно,

  

Тогда

а) Объем куба равен Объем пирамиды равен

б) Запишем объем пирамиды двумя разными способами, обозначив за искомое расстояние от точки до плоскости

Заметим, что как прямоугольные по двум катетам. Следовательно, значит, равнобедренный. Пусть — его высота, проведенная к основанию. По теореме Пифагора Следовательно, Тогда

Следовательно,

Пусть и — середины и соответственно. Назовем плоскость плоскостью Так как то угол между и равен углу между и Проведем Тогда — проекция на Следовательно,

Найдем Запишем объем пирамиды двумя разными способами:

где — высота пирамиды

Вычислим нужные величины.

• 
• 
• и
• 
• 
• 

Следовательно,

Тогда

Так как равносторонний, то также равносторонний, следовательно, как соответственные, значит, Из условия следует, что

Пусть — высота основания, тогда если — высота пирамиды, то По обратной теореме Фалеса, так как имеем Следовательно,

Заметим, что так как то следовательно, то расстояние от любой точки прямой до плоскости будет одинаковым. Пусть — расстояние от точки до плоскости Запишем объем пирамиды двумя разными способами:

Так как высота правильного треугольника со стороной равна то Тогда

По теореме Пифагора апофема

Следовательно,

Пусть — расстояние от точки до плоскости Рассмотрим тетраэдр Запишем его объем:

По теореме Пифагора Пусть Так как равнобедренный, то Следовательно, по теореме Пифагора

Следовательно,

Пусть боковое ребро пирмиды равно высота пирамиды сторона основания равна а радиус вписанного в пирамиду шара равен Запишем объем пирамиды двумя разными способами:

Пусть Тогда по теореме Пифагора следовательно, Так как высота правильного треугольника равна то

Следовательно,

Следовательно, по теореме Пифагора Тогда

Следовательно,

Проведем Тогда следовательно, расстояние между прямыми и равно расстоянию между прямой и плоскостью а оно в свою очередь равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости.

Пусть — расстояние от точки до плоскости Рассмотрим тетраэдр Запишем его объем:

• 

• — равносторонний, его стороны равны диагоналям квадратов со стороной 3. Так как то

  

Следовательно,

Рассмотрим тетраэдр Его объем равен от объема параллелепипеда. Действительно,

С другой стороны, если обозначить за расстояние от точки до плоскости объем этого тетраэдра равен

Следовательно,

• 

  

• Пусть

  

  Следовательно,

  

  Тогда Следовательно,

  

Тогда

Так как то расстояние между прямыми и равно расстоянию от любой точки прямой до плоскости Пусть — расстояние от до этой плоскости. Рассмотрим тетраэдр . Запишем его объем двумя способами:

• 

  

• Пусть

  

  Следовательно,

  

  Тогда Следовательно,

  
• 

Тогда

Пусть — тетраэдр, плоскость — биссекторная плоскость, Пусть Докажем, что

Проведем перпендикуляры Проведем также Тогда по ТТП Тогда так как это линейные углы двугранных углов, образованных биссекторной плоскостью и гранями двугранного угла. Следовательно, по острому углу и общей гипотенузе Отсюда Следовательно, если обозначить за то

Проведем теперь Тогда

Но точки лежат на одной прямой и причем

Следовательно, получаем нужное равенство

Пусть и — перпендикуляры на плоскость Тогда с коэффициентом подобия Следовательно, Будем искать

Рассмотрим тетраэдр Его объем равен от объема параллелепипеда. Действительно,

С другой стороны, если обозначить за расстояние от точки до плоскости объем этого тетраэдра равен

Следовательно,

• 

• равнобедренный с основанием Пусть Тогда, так как имеем:

  

Следовательно,