17.17 Задачи, требующие дополнительного построения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равностороннем треугольнике провели медианы и На медиане отметили точку так, что
а) Докажите, что описанная вокруг треугольника окружность делит отрезок в отношении считая от вершины
б) Известно, что эта же окружность пересекает в точке Ёe радиусы и пересекают медианы и в точках и Найдите отношение
а)
1. Пусть медианы пересекаются в точке По свойству данной точки
2. Раз и то — это середина отрезка
3. По определению — это средняя линия которая параллельна
4. Проведём высоту в лежит на высоте треугольника следовательно, и
5. Продлим до пересечения с в точке
6. Поскольку и — середина боковой стороны то — это средняя линия и
7. В равностороннем треугольнике высоты и медианы совпадают, стало быть, — середина откуда
8. Теперь нам осталось доказать, что — это и есть та самая точка пересечения окружности и отрезка (не считая точки ).
9. откуда — вписанный и — действительно точка пересечения окружности с отрезком Ч.Т.Д. б)
1. Провед̈eм перпендикуляры и на и соответственно.
2. Поскольку равносторонний, то и ещё и биссектрисы. Таким образом,
3. По сумме углов
4. Вписанный и центральный опираются на одну дугу, стало быть
5. Поскольку то —- вписанный и
6. как вертикальные.
то есть
7. поскольку и — перпендикуляры.
8. Из прошлых двух пунктов выводим подобие по двум углам. Раз так, то
9. следовательно, — диаметр и
10. и — середина стало быть — средняя линия
11. Из прошлого пункта следует, что с коэффициентом подобия
12. Эти три тезиса в сумме говорят о равенстве
13. Из прошлых двух пунктов следует, что с тем же коэффициентом подобия
14. и — высоты данных треугольников, следовательно, их длины связаны тем же коэффициентом подобия
15. Из пунктов 14) и 8) следует, что
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!