17.17 Задачи, требующие дополнительного построения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах и
треугольника
отмечены точки
и
соответственно так, что
Отрезки
и
пересекаются в точке
Найдите
если
Из условия задачи следует, что
Проведем прямую Тогда по теореме Фалеса
Т.к. по условию то можно принять
Тогда
Опять же по теореме Фалеса
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике угол
равен
угол
равен
Биссектриса
равна 2. Найдите разность
(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)
следовательно,
Значит,
Отметим на точку
так, чтобы
Тогда разность
равна длине отрезка
Следовательно, его
длину и необходимо найти.
Треугольник равнобедренный с углом при вершине
Значит, углы при основании равны
То есть Следовательно, треугольник
тоже равнобедренный и
Так как то
следовательно, треугольник
тоже равнобедренный и
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне равностороннего треугольника
взята точка
а на продолжении стороны
за точку
— точка
причем
Докажите, что
(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)
Так как равно стороне правильного треугольника
то условие
равносильно тому, что
тоже будет равно стороне правильного треугольника
Поэтому отметим на точку
такую, что
Тогда нам необходимо доказать, что
равно стороне
правильного треугольника, например,
Заметим, что треугольник равнобедренный с углом при вершине
следовательно, он равносторонний. Значит,
Так как то треугольник
равнобедренный и
аналогично
Следовательно,
Следовательно, по двум сторонам (
) и углу между ними. Отсюда
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, вдвое меньше другой биссектрисы. Найдите углы треугольника.
(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)
Пусть — равнобедренный треугольник с основанием
Пусть
где
и
— биссектрисы.
Пусть половина угла
равна
а половина угла
равна
Так как
также является и высотой, то
Достроим до параллелограмма
продлив медиану
за точку
на
Мало того, так как
то
— ромб. Тогда
Проведем
лежит на прямой
Тогда, так как к тому же
— параллелограмм,
следовательно,
Значит, равнобедренный и
Но
как соответственные при
и
секущей
Следовательно,
Так как уже говорилось, что то находим
Следовательно, углы треугольника
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На катетах и
прямоугольного треугольника вне его построены квадраты
и
Из точек
и
на
продолжение гипотенузы опущены перпендикуляры
и
Докажите, что
(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)
Пусть
Тогда
Проведем
Тогда
1) Действительно,
Следовательно, по гипотенузе и
острому углу они равны.
2) аналогично по гипотенузе и острому углу.
Следовательно,
Таким образом,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в точке
— биссектриса угла
Найдите угол
(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)
Так как равнобедренный и
то
Тогда
Проведем
Так как
лежит на биссектрисе угла
то
равноудалена от сторон угла
следовательно,
Следовательно,
по катету и гипотенузе. Следовательно,
Так
как
(также по катету и гипотенузе), то
Следовательно, из
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике точка
— середина стороны
а точка
на стороне
— основание биссектрисы, проведенной из
вершины
Оказалось, что
Известно, что
а) Найдите длину стороны
б) Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
(Задача от подписчиков)
1) Проведем и
Так как
лежит на биссектрисе угла
то она равноудалена от сторон этого угла, то есть
Также из равенств
и
следует, что
Так как биссектриса треугольника разбивает сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то
Так как равнобедренный, то
является также и медианой, следовательно,
Следовательно, значит,
значит,
Тогда по теореме Пифагора из и
Следовательно,
2) Из предыдущего пункта следует, что Тогда
Радиус вписанной окружности равен:
1)
2)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Внутри прямоугольника взята точка
Докажите, что существует выпуклый четырёхугольник с перпендикулярными
диагоналями длины
и
стороны которого равны
Проведем через точку прямую, параллельную
и
Отметим на ней точку
так, чтобы
В четырехугольнике по постороению сторона
равна и параллельна стороне
следовательно,
— параллелограмм и
По аналогичным соображениям
— тоже параллелограмм и
Рассмотрим четырехугольник Его стороны равны
и
а диагонали
и
Диагонали
и
перпендикулярны, так как
и
Этот четырехугольник удовлетворяет
всем необходимым условиям.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Отрезки и
длины 1 пересекаются в точке
причём
Докажите, что
Проведем через точку прямую, параллельную
Отметим на ней точку
так, чтобы
В четырехугольнике по постороению сторона
равна и параллельна стороне
следовательно,
— параллелограмм и
следовательно,
как накрест
лежащие.
Рассмотрим треугольник В нем угол между равными сторонами
и
равен
значит, это треугольник
равносторонний и
По неравенству треугольника для
получаем
причем
Тогда
что и требовалось доказать. Единственный случай, в котором неравенство обращается
в равенство, достигается, когда
попадает на прямую
Это равносильно тому, что
(т.к. отрезок
мы
строили как параллельный
).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах и
квадрата
выбраны точки
и
соответственно таким образом, что
а) Докажите, что
б) Докажите, что
а) Обозначим Тогда
как накрест лежащие при параллельных
прямых
и
На продолжении отрезка за точку
отметим такую точку
что
Тогда прямоугольные треугольники и
равны по двум катетам (
), следовательно, их
соответствующие острые углы тоже равны
Рассмотрим треугольник В нем
так как
Получаем
что и требовалось доказать.
б) Обозначим Тогда
На продолжении отрезка за точку
отметим такую точку
что
Тогда прямоугольные треугольники и
равны по двум катетам (
), следовательно, их
соответствующие острые углы и гипотенузы тоже равны
Рассмотрим треугольники и
Они равны по углу (
) и
прилегающим к нему сторонам (
— общая,
). Тогда их оставшиеся стороны тоже равны и
что и требовалось доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равностороннем треугольнике провели медианы
и
На медиане
отметили точку
так, что
а) Докажите, что описанная вокруг треугольника окружность делит
отрезок
в отношении
считая от вершины
б) Известно, что эта же окружность пересекает в точке
Ёe радиусы
и
пересекают медианы
и
в точках
и
Найдите
отношение
а)
1. Пусть медианы пересекаются в точке
По свойству данной точки
2. Раз и
то
— это середина отрезка
3. По определению — это средняя линия
которая параллельна
4. Проведём высоту в
лежит на высоте треугольника
следовательно,
и
5. Продлим до пересечения с
в точке
6. Поскольку и
— середина боковой стороны
то
— это
средняя линия
и
7. В равностороннем треугольнике высоты и медианы совпадают, стало быть,
— середина
откуда
8. Теперь нам осталось доказать, что — это и есть та самая точка
пересечения окружности и отрезка
(не считая точки
).
9. откуда
— вписанный и
—
действительно точка пересечения окружности с отрезком
Ч.Т.Д.
б)
1. Провед̈eм перпендикуляры и
на
и
соответственно.
2. Поскольку равносторонний, то
и
ещё и биссектрисы.
Таким образом,
3. По сумме углов
4. Вписанный и центральный
опираются на одну дугу, стало
быть
5. Поскольку то
—- вписанный и
6. как вертикальные.
то есть
7. поскольку
и
— перпендикуляры.
8. Из прошлых двух пунктов выводим подобие по двум
углам. Раз так, то
9. следовательно,
— диаметр и
10. и
— середина
стало быть
— средняя линия
11. Из прошлого пункта следует, что с коэффициентом
подобия
12.
Эти три тезиса в сумме
говорят о равенстве
13. Из прошлых двух пунктов следует, что с тем же
коэффициентом подобия
14. и
— высоты данных треугольников, следовательно, их длины
связаны тем же коэффициентом подобия
15. Из пунктов 14) и 8) следует, что
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагональ выпуклого четырёхугольника
делится точкой пересечения диагоналей пополам. Известно,
что
На диагонали
нашлась точка
для которой
Докажите, что
Пусть — точка пересечения диагоналей четырехугольника
тогда
На продолжении отрезка за точку
отложим отрезок
равный
Тогда
Пусть Тогда по условию
Так как
— внешний угол равнобедренного треугольника
то
Следовательно,
Тогда
Таким образом, треугольники
и
равны по второму признаку. В равных треугольниках соответственные элементы равны, в частности,
Тогда
— параллелограмм. Значит,
как накрест лежащие.
Так как — внешний угол равнобедренного треугольника
то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
К двум окружностям, пересекающимся в точках и
проведена общая касательная. Докажите, что если
и
— точки
касания, то
Соединим точки и
прямой, тогда эта прямая пересечет отрезок
в середине, в точке
Сделаем симметрию
относительно точки
, получим следующую картинку:
Тогда в силу симметрии следовательно, по признаку (диагонали
и
точкой пересечения делятся пополам)
– параллелограмм. Следовательно,
Докажем, что Для этого достаточно доказать, что четырехугольник
— вписанный.
По признаку около четырехугольника можно описать окружность, если, например,
Заметим, что — угол между касательной
и хордой
следовательно, он равен половине маленькой дуги
С другой стороны, — вписанный угол, опирающийся в такой же окружности на такую же дугу
(т.к. хорды
и
равны, то и дуги, стягиваемые этими хордами, равны). Значит,
также равен половине дуги
Но — это то же самое, что и
Таким образом, мы доказали, что углы
и
равны половине от
одинаковых дуг
и
соответственно, то есть они равны, чтд.
Эта же задача с другим решением представлена в разделе “Задачи с окружностями”.