Тема 18. Задачи с параметром
18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83775

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

x2 − (x− 1)√2x-−-a= x

имеет ровно один корень.

Источник: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x(x− 1)= (x − 1)√2x-−-a
⌊ (
| {x − 1 = 0
|| (2x− a ≥0
⌈    √-----
  x=  2x − a
⌊ ({x = 1
||
|| ((2x− a ≥0
|| {(x− 1)2 = 1− a
⌈ (
   x ≥ 0

При 1− a< 0  ⇔   a > 1  уравнение из второй системы не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение, если x = 1  удовлетворяет условию 2x− a≥ 0,  то есть при a ≤2.  Следовательно, при a ∈(1;2]  исходное уравнение имеет единственное решение.

При a= 1  уравнение из второй системы имеет единственный корень x =1,  совпадающий с корнем из первой системы, который удовлетворяет условию 2x − a ≥ 0  и x≥ 0.  Следовательно, это значение параметра нам также подходит.

Пусть далее a < 1.  Тогда уравнение из первой системы удовлетворяет условию 2x − a ≥ 0,  уравнение из второй системы имеет два различных корня        √----
x = 1±  1− a,  каждый из которых не должен являться корнем исходного уравнения, следовательно, не должен удовлетворять условию x ≥0.  Но      ----
1 +√ 1− a> 1,  следовательно, удовлетворяет условию x ≥ 0.  Значит. исходное уравнение уже имеет как минимум два корня. Следовательно, a< 1  нам не подходит.

Таким образом, ответ

a∈ [1;2]
Ответ:

a ∈[1;2]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64212

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система уравнений

{ (x2 − 5x +3 − y) ⋅√x-−-y+-3= 0

  y = 3x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

([     2
|||{ y = x − 5x+ 3
  y = x+ 3
|||(y ≤x + 3
 y =3x +a

Пусть S  — множество точек плоскости xOy,  лежащих либо на части параболы y = x2− 5x+ 3,  лежащей ниже прямой y =x + 3,  либо на прямой y = x+ 3.

Необходимо найти те a,  при которых прямая y = 3x + a  имеет ровно две точки пересечения с множеством S.

Найдем точки пересечения параболы y = x2− 5x+ 3  и прямой y = x+ 3:

 2
x  − 5x +3 = x+ 3 ⇔   x= 0;6

Получаем точки A(0;3)  и B (6;9).

Изобразим граничные положения прямой y = 3x+ a:

xyyy139016AB(1(2(3 = =))) xx2+−35x+ 3

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 2 и 3.

п. (1)
Прямая y = 3x+ a  касается параболы y = x2− 5x+ 3,  если уравнение
x2 − 5x +3 = 3x + a ⇔   x2− 8x+ 3− a= 0

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

D = 52+ 4a= 0  ⇔   a = −13
п. (2)
Прямая y = 3x+ a  проходит через точку B(6;9) :
9 =18 +a   ⇔   a= −9
п. (3)
Прямая y = 3x+ a  проходит через точку A(0;3):
a =3

Следовательно, ответ

a∈ [− 9;3)∪ {−13}

Способ 2. Алгебраический

Подставим y = 3x + a  в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно x  должна иметь 2 решения:

( ⌊
||{ ⌈x2− 8x+ 3− a= 0
   x= x1 = 3−-a
||(           2
  x≤ x1

Нам подходят две ситуации: когда первое уравнение имеет единственный корень x0 <x1,  и когда первое уравнение имеет два корня, причем ровно один из них меньше x1  (а второй ≥x1  ).

1.
Пусть первое уравнение имеет единственный корень, меньший x1.  Это задается следующими условиями:
{D = 4(13+ a)= 0
 x  = 4< x          ⇔   a= − 13
  0       1
2.
Пусть первое уравнение имеет два корня и ровно один меньше x1.  Это задается следующей картинкой для параболы     2
f = x − 8x+ 3− a:

x1

Это задается следующими условиями:

                      ( ⌊(
(⌊ {                  |||  ||{ (a+-9)(a−-3)= 0
|||   f(x1)= 0          ||||| ||       4
{|⌈  x0 < x1            { |||||( 4< 3-− a
|||  f(x1) <0        ⇔   ||| ⌈ (a +9)(2a− 3)           ⇔   −9≤ a < 3
(D > 0                ||||   ----4------< 0
                      |( a> −13

Следовательно, ответ

a∈ [− 9;3)∪ {−13}
Ответ:

a ∈{− 13} ∪[−9;3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64211

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система уравнений

{ (x2 − 7x − y +4) ⋅√x-−-y+-4= 0

  y = −x +a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

([     2
|||{ y = x − 7x+ 4
  y = x+ 4
|||(y ≤x + 4
 y =− x+ a

Пусть S  — множество точек плоскости xOy,  лежащих либо на части параболы y = x2− 7x+ 4,  лежащей ниже прямой y =x + 4,  либо на прямой y = x+ 4.

Необходимо найти те a,  при которых прямая y = −x+ a  имеет ровно две точки пересечения с множеством S.

Найдем точки пересечения параболы y = x2− 7x+ 4  и прямой y = x+ 4:

 2
x  − 7x +4 = x+ 4 ⇔   x= 0;8

Получаем точки A(0;4)  и B (8;12).

Изобразим граничные положения прямой y = −x+ a :

xyyy141018AB((( = =2123)))xx2−+47x+ 4

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 2 и 3.

п. (1)
Прямая y = − x+ a  касается параболы y = x2− 7x+ 4,  если уравнение
x2− 7x+ 4= − x+ a  ⇔   x2− 6x+ 4− a= 0

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

D =4(5+ a)= 0  ⇔   a =− 5
п. (2)
Прямая y = −x +a  проходит через точку A (0;4):
a =4
п. (3)
Прямая y = −x +a  проходит через точку B (8;12):
12= −8 +a  ⇔    a= 20

Следовательно, ответ

a ∈[4;20)∪ {−5}

Способ 2. Алгебраический

Подставим y = −x+ a  в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно x  должна иметь 2 решения:

( ⌊
||{ ⌈x2− 6x+ 4− a= 0
   x= x1 = a−-4
||(           2
  x≥ x1

Нам подходят две ситуации: когда первое уравнение имеет единственный корень x0 >x1,  и когда первое уравнение имеет два корня, причем ровно один из них больше x1  (а второй ≤ x1  ).

1.
Пусть первое уравнение имеет единственный корень, больший x1.  Это задается следующими условиями:
{D = 4(5+ a)= 0
 x  =3 > x         ⇔   a= − 5
  0       1
2.
Пусть первое уравнение имеет два корня и ровно один больше x1.  Это задается следующей картинкой для параболы     2
f = x − 6x+ 4− a:

x1

Это задается следующими условиями:

                      (|| ⌊(| (a−-4)(a−-20)
(|⌊ {f(x1)= 0          |||| ||{      4      = 0
||{|⌈  x0 > x1           ||{ |||||    a−-4
|                 ⇔   | |⌈( 3>   2               ⇔   4 ≤ a< 20
||(  f(x1)< 0            ||||  (a−-4)(a-− 20) <0
 D > 0                |||(        4
                        a> −5

Следовательно, ответ

a ∈[4;20)∪ {−5}
Ответ:

a ∈{− 5} ∪[4;20)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63812

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система уравнений

({ ( 2  2    ) √ --------
   x + y +6x ⋅  y+ x+ 6= 0
( y = x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

(||⌊ x2+ y2+ 6x = 0        (|| ⌊(x+ 3)2+y2 = 9
||||⌈                      |||| ⌈
{  y+ x+ 6= 0       ⇔   {  y =− x− 6
|||y +x +6 ≥ 0            ||| y ≥ −x − 6
|||(                       |||(
 y = x+ a                 y = x+ a

Графиком первого уравнения совокупности является окружность с центром в точке (−3;0)  и радиусом 3. Графиком второго уравнения является прямая.

Пусть S  — множество точек плоскости xOy,  лежащих на прямой y = −x− 6  или на части окружности       2  2
(x+ 3) + y = 9,  лежащей выше этой прямой. Тогда два решения система будет иметь при тех a,  при которых прямая y =x + a  имеет две точки пересечения со множеством S.

Найдем точки пересечения окружности x2+ y2+ 6x= 0  и прямой y = −x− 6:

(
{x2 +y2+ 6x =0
(                  ⇔   A(−6;0), B (−3;−3)
 y = −x− 6

Изобразим граничные положения прямой y = x+ a:

xyyAB((((1234=)))) −x− 6

Положения 1 и 4: прямая y =x + a  касается окружности x2+ y2+ 6x= 0.  Следовательно, уравнение

 2       2               2             2
x + (x + a) + 6x= 0  ⇔   2x  +2(a+ 3)x + a = 0

имеет одно решение. Значит, его дискриминант равен нулю:

          2    2                 √ -
D = 4(a+ 3)− 8a = 0  ⇔   a = 3(1±   2)

Положение 2: прямая y = x + a  проходит через точку B :

−3 = −3+ a  ⇔   a =0

Положение 3: прямая y = x + a  проходит через точку A :

0= −6 +a  ⇔    a= 6

Нам подходят положения 1, 2, 3, 4, а также все положения между 2 и 3. Следовательно, ответ

              √ -
a ∈[0;6]∪ {3(1±   2)}

Способ 2. Алгебраический

Подставим y = x+ a  в первое уравнение и получим следующую систему

( ⌊  2            2
||||{ |2x + 2(a +3)x+ a = 0
  ⌈x= − a+-6
||||        2
( x≥ − a-+-6
        2

Так как замена y = x +a  линейная, то полученная система должна иметь два решения.

Примем число  a+6
− 2  за x1.  Заметим, что x1  является решением системы при любом a.  Следовательно, либо квадратное уравнение должно иметь единственный корень, причем больший x1,  либо оно должно иметь два корня, причем ровно один больше x1  (а второй, соответственно, ≤x1  ).

Рассмотрим параболу f(x)= 2x2+ 2(a +3)x+ a2.  Выпишем необходимые данные:

D = 4((a+ 3)2− 2a2)

x0 = − a+-3
        2
       a(a−-6)
f(x1)=    2

1 случай. Квадратное уравнение имеет один корень > x1.  Этот корень равен x0.  Значит:

(               (         √-
{ D = 0         { a= 3(1±  2)                √-
( x0 > x1   ⇔   ( a∈ ℝ           ⇔   a= 3(1±  2)

2 случай. Квадратное уравнение имеет два корня: один > x1,  второй ≤ x1.  Это задается следующей картинкой для параболы f :

x1

Такая картинка описывается следующей системой:

(
|||| D > 0
||{ ⌊f(x1)< 0
| ||(               ⇔   0≤ a≤ 6
|||| |⌈{ f(x1) =0
|(  ( x1 < x0

Следовательно, ответ

a ∈[0;6]∪ {3(1± √2 )}
Ответ:

a ∈[0;6]∪ {3(1± √2)}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63811

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система уравнений

({ (2          ) √ --------
  x  − 7x +8 − y ⋅ x− y+ 8 =0
( y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Сделаем замену x+ 1= t.  Тогда система равносильна

( ⌊                                (⌊
|||  (t− 1)2− 7(t− 1)+ 8− y =0        |||  y = t2− 9t+16
|||{ ⌈                                |||{⌈
   t− 1− y+ 8= 0               ⇔      y = t+ 7
|||| t− 1 − y +8 ≥ 0                  ||||y ≤ t+7
||( y = at                           ||(y = at

Пусть S  — множество точек плоскости tOy,  лежащих либо на части параболы y = t2 − 9t+ 16,  лежащей ниже прямой y = t+7,  либо на прямой y = t+7.

Необходимо найти те a,  при которых прямая y = at,  проходящая через начало координат плоскости tOy,  имеет ровно две точки пересечения с множеством S.

Найдем точки пересечения параболы y = t2 − 9t+ 16  и прямой y = t+ 7:

t2 − 9t+ 16= t+ 7 ⇔   t= 1;9

Получаем точки A(1;8)  и B (9;16).

Изобразим граничные положения прямой y = at:

tyyy18119AB(((( = =61234))))tt2+−79t+16

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 3 и 4, включая 3.

п. (1)
Прямая y = at  касается параболы y = t2− 9t+ 16,  если уравнение
 2                  2
t − 9t+16 = at ⇔   t − (a+ 9)t+ 16= 0

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

D = (a +9)2− 82 = 0 ⇔   a =− 17;− 1

При a = −17  прямая y =at  касается части параболы, лежащей выше прямой y =t+ 7,  то есть не принадлежащей множеству S  (так как точка касания ищется по формуле t0 = a+29  ). При a = −1  прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит a= −1.

п. (2)
Прямая y = at  параллельна прямой y = t+ 7:
a =1
п. (3)
Прямая y = at  проходит через точку B (9;16):
                16
16 =9a  ⇔    a= 9-
п. (4)
Прямая y = at  проходит через точку A (1;8):
a =8

Следовательно, ответ

   [    )
a∈  16;8 ∪ {−1;1}
    9

Способ 2. Алгебраический

Будем пользоваться той же заменой x+ 1 =t.  Подставим y = at  в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно t  должна иметь 2 решения:

(| ⌊ 2
||{ ⌈t − (a + 9)t+ 16= 0
|  (a− 1)t= 7
||( (a − 1)t≤ 7

a > 1

Тогда система равносильна

( ⌊ 2
||||{ |t − (a + 9)t+ 16= 0
  ⌈t= t = --7-
||||      1  a − 1
( t≤ t1

Число t1  при любом a  является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший t1,  либо два корня, причем ровно один из них меньше t1  (а второй соответственно ≥ t1  ).

Дискриминант квадратного уравнения D = (a +1)(a+ 17).  Абсцисса вершины параболы     2
f = t − (a+ 9)t+ 16  равна     a+9
t0 = -2 .

Если D = 0,  то a = −17;− 1.  Но эти a  не удовлетворяют условию a> 1.

Если D > 0,  то a < −17  или a> − 1.  Ветви параболы f = t2 − (a+ 9)t+16  направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число t1  должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

t1

Это задается следующими условиями:

(|⌊ ({              (| ⌊(| (9a− 16)(a− 8)          (| ⌊(    16
|||||  f(t1) = 0      |||| ||{ ---(a−-1)2---= 0       |||| |||{ a= -9 ;8
||||||⌈ (t0 < t1       |||| |||| a +9     7             |||| |||        √--       √ --
{  f(t)< 0      ⇔ { |||( --2- < a−-1          ⇔ { |||( (a+-4+--39)(a-+4-−--39)< 0
|||    1            ||| ⌈ (9a-− 16)(a-− 8)          ||| ⌈16         a− 1
|||||D > 0            |||||      (a − 1)2    < 0        |||||   9 < a< 8
|(a > 1            |( a> 1                      |( a> 1

Следовательно, в этом случае получаем 196≤ a< 8.

a < 1

Тогда система равносильна

( ⌊ 2
||||{ |t − (a + 9)t+ 16= 0
  ⌈t= t = --7-
||||      1  a − 1
( t≥ t1

t= t1  при любом a  является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший t1,  либо два корня, причем ровно один из них больше t1  (а второй соответственно ≤ t1  ).

Дискриминант квадратного уравнения D = (a +1)(a+ 17).  Абсцисса вершины параболы     2
f = t − (a+ 9)t+ 16  равна     a+9
t0 = -2 .

Если D = 0,  то a= −17;−1.  При a = −17  получаем t0 = −4,  t =− 7-
1    18  — не подходит. При a =− 1  получаем t =4,
0  t= − 7
1    2  — подходит.

Если D > 0,  то a < −17  или a> − 1.  Тогда парабола y = t2− (a+ 9)t+ 16  пересекает ось абсцисс в двух точках и необходимо, чтобы число t1  находилось между этими точками либо совпадало с левой точкой.

Получаем такую картинку:

t1

Это задается следующими условиями:

(⌊ (              ( ⌊(                        (
||  {f(t1) = 0      ||  || (9a−-16)(a−-8)= 0       || ⌊(|| a= 16;8
||||||| (              ||||| ||{    (a− 1)2             ||||| ||{     9
||{|⌈  t0 > t1       ||{ ||||( a-+9 > --7-            ||{ |||| (a+ 4+ √39)(a +4 − √39-)
   f(t1)< 0      ⇔   ||    2    a− 1          ⇔   |⌈( ---------a−-1---------> 0
|||||                 ||||| ⌈ (9a-− 16)(a-− 8)-< 0      |||||  16 < a< 8
||||D > 0            ||||      (a − 1)2               ||||   9
(a < 1            ( a∈ (−∞; −17)∪(−1;1)       ( a∈ (− ∞;− 17)∪ (−1;1)

В случае D > 0  не получаем никаких значений параметра.

Получается, при a< 1  нам подходит только a = −1.

a = 1

Тогда система равносильна

(| ⌊ 2
||{ ⌈t − 10t+ 16 =0
|  0⋅t= 7            ⇔   t= 2;8
||( 0⋅t≤ 7

Следовательно, a= 1  нам подходит.

Следовательно, ответ

   [16  )
a∈  9-;8 ∪ {−1;1}
Ответ:

   [    )
a ∈ 16;8  ∪{− 1;1}
     9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63810

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система уравнений

({ (2          ) √ --------
  x  − 5x − y + 3 ⋅ x− y+ 3 =0
( y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Адыгея

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Сделаем замену x+ 1= t.  Тогда система равносильна

( ⌊                                ( ⌊
|||  (t− 1)2− 5(t− 1)+ 3− y = 0      |||  y = t2− 7t+ 9
|||{ ⌈                                |||{ ⌈
   t − 1 − y +3 = 0            ⇔      y = t+2
|||| t− 1− y+ 3≥ 0                    |||| y ≤ t+ 2
||( y = at                           ||( y = at

Пусть S  — множество точек плоскости tOy,  лежащих либо на части параболы y = t2 − 7t+ 9,  лежащей ниже прямой y = t+ 2,  либо на прямой y = t+2.

Необходимо найти те a,  при которых прямая y = at,  проходящая через начало координат плоскости tOy,  имеет ровно две точки пересечения с множеством S.

Найдем точки пересечения параболы y = t2− 7t+ 9  и прямой y = t+ 2:

t2− 7t+9 = t+2   ⇔   t= 1;7

Получаем точки A(1;3)  и B (7;9).

Изобразим граничные положения прямой y = at:

tyyy13917AB(1(2(3(4 = =)))) tt2+−27t+9

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 3 и 4, включая 3.

п. (1)
Прямая y = at  касается параболы y = t2− 7t+ 9,  если уравнение
t2− 7t+9 = at ⇔   t2− (a+ 7)t+ 9= 0

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

D = (a +7)2− 62 = 0 ⇔   a =− 13;− 1

При a = −13  прямая y =at  касается части параболы, лежащей выше прямой y =t+ 2,  то есть не принадлежащей множеству S  (так как точка касания ищется по формуле     a+7
t0 = 2  ). При a = −1  прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит a= −1.

п. (2)
Прямая y = at  параллельна прямой y = t+ 2:
a =1
п. (3)
Прямая y = at  проходит через точку B (7;9):
9 =7a  ⇔    a= 97
п. (4)
Прямая y = at  проходит через точку A (1;3):
a =3

Следовательно, ответ

   [9  )
a ∈ 7 ;3  ∪{− 1;1}

Способ 2. Алгебраический

Будем пользоваться той же заменой x+ 1 =t.  Подставим y = at  в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно t  должна иметь 2 решения:

(|⌊ 2
||{⌈ t− (a+ 7)t+9 = 0
|  (a − 1)t= 2
||((a− 1)t≤2

a > 1

Тогда система равносильна

(⌊ 2
||||| t− (a+ 7)t+9 = 0
{⌈        -2--
|||  t= t1 = a− 1
|(t≤ t1

Число t1  при любом a  является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший t1,  либо два корня, причем ровно один из них меньше t1  (а второй соответственно ≥ t1  ).

Дискриминант квадратного уравнения D = (a +1)(a+ 13).  Абсцисса вершины параболы f = t2− (a+ 7)t+ 9  равна t0 = a+27.

Если D = 0,  то a = −13;− 1.  Но эти a  не удовлетворяют условию a> 1.

Если D > 0,  то a < −13  или a> − 1.  Ветви параболы f = t2 − (a+ 7)t+ 9  направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число t
1  должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

t1

Это задается следующими условиями:

(⌊ (              ( ⌊( (7a− 9)(a− 3)          ( ⌊(
||||| {f(t1) = 0      |||| |||{ ---(a−-1)2---= 0       ||||  ||{ a= 9;3
||||||| (t0 < t1       ||||| |||                       ||||| |||     7    √-        √ -
{⌈                { |||( a-+27 < a−21           { ||||( (a+-3+-2-5)(a-+3-−-2-5)< 0
||  f(t1)< 0      ⇔ || |⌈ (7a − 9)(a− 3)         ⇔ || ⌈9          a− 1
|||||D > 0            |||||   --(a−-1)2---< 0        |||||  7 < a< 3
||(                 ||( a> 1                     ||( a> 1
 a > 1

Следовательно, в этом случае получаем 97 ≤ a <3.

a < 1

Тогда система равносильна

(⌊
||||| t2− (a+ 7)t+9 = 0
{⌈        -2--
|||  t= t1 = a− 1
|(t≥ t1

t= t1  при любом a  является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший t1,  либо два корня, причем ровно один из них больше t1  (а второй соответственно ≤ t1  ).

Дискриминант квадратного уравнения D = (a +1)(a+ 13).  Абсцисса вершины параболы f = t2− (a+ 7)t+ 9  равна t0 = a+27.

Если D = 0,  то a= −13;−1.  При a =− 13  получаем t0 <t1  — не подходит. При a= − 1  получаем t0 > t1  — подходит.

Если D > 0,  то a < −13  или a> − 1.  Тогда парабола y = t2− (a+ 7)t+ 9  пересекает ось абсцисс в двух точках и необходимо, чтобы число t1  находилось между этими точками либо совпадало с левой точкой.

Получаем такую картинку:

t1

Это задается следующими условиями:

(|⌊ ({f(t) = 0      (| ⌊(| (7a−-9)(a−-3)          (| ⌊(|    9
|||||||     1          ||||| |||{    (a− 1)2   = 0       ||||| ||{ a= 7;3
|||{|⌈ (t0 > t1       |||{ |||| a-+7   --2-           |||{ |||| (a+ 3+ 2√5)(a +3 − 2√5 )
   f(t1)< 0      ⇔   ||(   2  > a− 1         ⇔   ||⌈( ---------a−-1---------> 0
||||                 |||| ⌈ (7a-− 9)(a−-3)-< 0       ||||  9 < a< 3
||||D > 0            ||||     (a− 1)2              ||||  7
|(a < 1            |( a∈ (−∞; −13)∪(−1;1)      |( a∈ (− ∞;− 13)∪(−1;1)

В случае D > 0  не получаем никаких значений параметра.

Получается, при a< 1  нам подходит только a = −1.

a = 1

Тогда система равносильна

(⌊
|||{⌈ t2− 8t+ 9= 0              √ -
   0⋅t= 2         ⇔   t =4 ±  7
|||(
 0⋅t≤ 2

Следовательно, a= 1  нам подходит.

Следовательно, ответ

   [9  )
a ∈ 7 ;3  ∪{− 1;1}
Ответ:

           [   )
a ∈{− 1;1}∪  9;3
            7

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

 Обоснованно получен верный ответ

4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет

3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,

2

ИЛИ

в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемьх ограничений,

1

ИЛИ

в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63809

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система уравнений

({             √ ---------
  (xy− 2x+ 12) ⋅ y− 2x+ 12= 0
( y = 3x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

                          ⌊
(|⌊                      (||  y = 2− 12
||||⌈ xy− 2x+ 12= 0        |||| |⌈       x
|{  y− 2x+ 12= 0         |{  y = 2x− 12
||y − 2x +12 ≥0      ⇔   ||
||||(                       ||||| y ≥ 2x− 12
 y = 3x + a              ( y = 3x+ a

Первое уравнение задает гиперболу, а второе уравнение задает прямую. Пусть S  — множество точек гиперболы y = 2− 12,
       x  лежащих выше прямой y = 2x − 12  , или точек прямой y = 2x− 12.

Тогда нам подходят те значения параметра a,  при которых прямая y = 3x + a  имеет две точки пересечения со множеством S.

Найдем точки пересечения гиперболы y = 2− 1x2  и прямой y = 2x− 12:

(                      (                  (
{xy − 2x +12 =0    ⇔   {xy − y = 0    ⇔   {y(x− 1)= 0
(y − 2x +12 =0         (y =2x − 12         (y =2x − 12

Получаем две точки: A (1;− 10)  и B (6;0).

Рассмотрим ключевые положения прямой y = 3x+ a  и посчитаем значения параметра в каждом из них.

yy(1(2(3(4AB = =)))) 22−x−1x212

Положение 1: прямая y = 3x +a  проходит через точку B :

0= 18+ a  ⇔   a =− 18

Положение 2: прямая y = 3x +a  проходит через точку A :

−10 = 3+ a  ⇔   a= −13

Положения 3 и 4. Прямая y = 3x+ a  касается гиперболы        12
y = 2 − x  в точке x0 :

(|    12               (|       12
{2 − x-= 3x+ a        { a= 2− -x − 3x
|( 12= 3           ⇔   |(  2
  x2                    x = 4

При x= − 2  получаем a = 14,  что соответствует 4-ому положению. При x = 2  получаем a = −10,  что соответствует 3-ему положению.

Нам подходят положения 3 и 4, а также все положения между 1 и 2, включая положение 2.

Следовательно, ответ

a∈ (−18;−13]∪{−10;14}

Способ 2. Алгебраический

Так как замена y = 3x +a  линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки y =3x +a  будет иметь 2 решения:

( ⌊
|||{ ⌈3x2+ (a− 2)x+ 12= 0
   x = −a− 12
|||(
  x≥ − a− 12

Назовем корень − a − 12  числом x1.  Заметим, что x1  при любом a  является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение x ,
 0  то есть D =0,  причем x0 >x1;

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть D > 0,  причем меньший из этих двух корней ≤ x1,  а больший > x1.

Найдем D = (a − 2)2− 122.  Найдем абсциссу вершины параболы g = 3x2 +(a− 2)x+ 12  — это x0 = 2−a.
      6

Следовательно, для первого случая получаем

({ D = 0         ({ a= −10;14
            ⇔                  ⇔   a= − 10;14
( x0 > x1       ( a> −14,8

Второй случай выполняется, если парабола g = 3x2+ (a− 2)x +12  пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число x1  лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

x1

Эта картинка задается следующими условиями:

(|D > 0                (| a∈ (− ∞;− 10) ∪(14;+ ∞)
|||||⌊ (                  ||||| ⌊(
{| {g(x1)= 0      ⇔   { |{ a= −18;−13           ⇔   − 18< a≤ − 13
||||| (x0 >x1            ||| ||( a> −14,8
|||(⌈                    |||( ⌈
   g(x1)< 0               2(a+ 13)(a+ 18)< 0

Следовательно, ответ

a∈ (−18;−13]∪{−10;14}
Ответ:

a ∈(−18;−13]∪ {− 10;14}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63286

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система уравнений

({  2           √--------
 (x − 6x+ y+ 2) x − y +2 = 0
(y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Сделаем замену x+ 1= t.  Тогда система равносильна

(|| ⌊(t− 1)2− 6(t− 1)+ y+ 2 =0
|||| ⌈
{  t− 1− y+ 2= 0
||| t− 1 − y + 2≥ 0
|||(
  y = at
( ⌊          2
|||| ⌈y =− (t− 4) + 7
||{  y =t+ 1
|
||||| y ≤ t+ 1
( y = at

Пусть S  — множество точек плоскости tOy,  лежащих либо на части параболы y = −(t− 4)2+ 7,  лежащей ниже прямой y = t+ 1,  либо на прямой y = t+1.

Необходимо найти те a,  при которых прямая y = at,  проходящая через начало координат плоскости tOy,  имеет ровно две точки пересечения с множеством S.

Найдем точки пересечения параболы y = −(t− 4)2+ 7  и прямой y = t+ 1:

       2
− (t− 4) +7 = t+ 1  ⇔   t= 2;5

Получаем точки (2;3)  и (5;6).

Изобразим граничные положения прямой y = at:

tyyy136125(((( = =1234))))−t+(t−1 4)2+ 7

Нам подходят следующие положения.

Положение 1, при котором прямая y = at  параллельна прямой y = t+ 1.

Все положения между положением 2, когда прямая y = at  проходит через точку (5;6)  и положением 3, когда прямая y = at  проходит через точку (2;3),  включая положение 2.

Положение 4, когда прямая y =at  касается левой ветви параболы.

Выпишем соответствующие каждому положению значения параметра.

Положение 1. Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то a = 1.

Положение 2. Прямая y = at  проходит через точку (5;6):

6 =5a  ⇔    a= 6
               5

Положение 3. Прямая y = at  проходит через точку (2;3):

               3
3 =2a  ⇔    a= 2

Положение 4. Прямая y = at  касается параболы          2
y = −(t− 4) +7,  если имеет единственное решение уравнение

−(t− 4)2 +7 = at ⇔   t2+ (a− 8)t+ 9 =0

Следовательно, его дискриминант

D = (a− 8)2 − 62 = 0 ⇔  a = 2;14

При a= 2  прямая y =at  касается части параболы, лежащей выше прямой y = t+1,  то есть не принадлежащей множеству S,  так как точка касания ищется по формуле     8−-a
t0 =  2 .  При a= 14  прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит a = 14.

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

   [    )
a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14}
    5  2

 

Способ 2. Алгебраический

Подставим y = ax+ a  в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно x  должно иметь 2 решения:

(x2− 6x+ ax +a +2)√x-−-ax-−-a+-2= 0
(⌊
||  x2+ (a − 6)x +a +2 = 0
|{⌈
||  (1− a)x = a− 2
|((1− a)x≥ a− 2

a > 1

Тогда система равносильна

(|⌊  2
|||{|⌈ x + (a − 6)x+ a +2 = 0
   x= x1 = a-−-2
||||(         1 − a
 x ≤ x1

Число x= x1  при любом a  является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший x1,  либо два корня, причем ровно один из них меньше x1,  а второй соответственно ≥ x1.

Дискриминант квадратного уравнения D = (a − 2)(a− 14).  Абсцисса вершины параболы     2
f = x + (a− 6)x+ a+ 2  равна     6−a
x0 = 2 .

Если D = 0,  то a = 2;14.  При a = 2  получаем x0 =2,  x1 = 0  — не подходит. При a= 14  получаем x0 = −4,  x1 = − 12
     13  — подходит.

Если D > 0,  то a < 2  или a> 14.  Ветви параболы f = x2+ (a− 6)x +a + 2  направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число x1  должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

x1

Это задается следующими условиями:

(| ⌊({                   (| ⌊(| (2a-− 3)(5a−-6)
|||| |  f(x1)= 0          |||| ||{    (a− 1)2    = 0
||||{ ||⌈( x0 < x1           ||||{ ||||| 6− a   a− 2
   f (x )< 0        ⇔     ||( -2--<  1−-a
|||     1                ||| ⌈(2a−-3)(5a−-6)
||||| D > 0                |||||     (a− 1)2   < 0
|( a> 1                 |( a∈ (1;2)∪(14;+∞ )

Отсюда получаем

6      3
5 ≤ a< 2

Следовательно, в этом случае получаем 6≤ a < 3
5      2  или a= 14.

a < 1

Тогда система равносильна

(⌊  2
||||{| x + (a − 6)x+ a +2 = 0
 ⌈ x= x = a-−-2
||||      1  1 − a
(x ≥ x1

Число x = x
     1  при любом a  является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший x1,  либо два корня, причем ровно один из них больше x1,  а второй соответственно ≤ x1.

Дискриминант квадратного уравнения D = (a − 2)(a− 14).  Абсцисса вершины параболы     2
f = x + (a− 6)x+ a+ 2  равна     6−a
x0 =-2-.

Если D = 0,  то a= 2;14.  Но эти a  не удовлетворяют условию a< 1.

Если D > 0,  то a < 2  или a> 14.  Учитывая, что a< 1,  рассматриваем только a< 1.  Тогда x1 < 0,  а x0 > 0.  Следовательно, x1 < x0.  Следовательно, число x1  может находиться разве что между корнями, либо совпадать с меньшим корнем. Получаем такую картинку:

xx10

Это задается условием

f(x1)≤ 0  ⇒   (2a−-3)(5a−2-6)≤ 0
                 (a− 1)

Отсюда получаем

6 ≤ a≤ 3
5      2

Эти значения не удовлетворяют условию a< 1.

Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

a = 1

Тогда система равносильна

( ⌊
|||{ ⌈x2 − 5x +3 = 0              √--
   0 ⋅x= −1         ⇔   x=  5±--13-
|||(                             2
  0⋅x ≥− 1

Следовательно, a= 1  нам подходит.

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

   [    )
a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14}
    5  2
Ответ:

   [    )
a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14}
    5  2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет

3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,

2

ИЛИ

в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,

1

ИЛИ

в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63285

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система уравнений

({            √---------
  (xy − 2x +16) y − 2x +16 =0
( y = ax− 14

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

  ⌊
(||  y = 2 − 16
|||| |⌈       x
|{  y = 2x − 16
||
||||| y ≥ 2x− 16
( y = ax− 14

Сделаем замену y + 14 = p.  Тогда система примет вид

( ⌊      (    )
|||  p = 16 1− 1
|||| |⌈          x
{  p = 2x− 2
||| p≥ 2x− 2
||||(
  p= ax

Пусть S  — множество точек плоскости xOp,  лежащих либо на части гиперболы p = 16 (1 − 1x),  лежащей выше прямой p = 2x − 2,  либо на прямой p =2x − 2.

Необходимо найти те a,  при которых прямая p = ax,  проходящая через начало координат плоскости xOp,  имеет ровно две точки пересечения с множеством S.

Найдем точки пересечения гиперболы       (   1)
p = 16 1 − x и прямой p = 2x − 2:

  (   1 )              2
16 1− x  = 2x− 2  ⇔   x  − 9x +8 = 0 ⇔   x= 1;8

Получаем точки (1;0)  и (8;14).

Изобразим граничные положения прямой p = ax:

     (   1)
xppp11118(((((==4612345)))))126x−1−2 x

Нам подходят все a <0  (положение 5). При a> 0  нам подходят все положения между 4 (когда p= ax  горизонтальна) и 3 (когда p = ax  проходит через точку (8;14)  ), положение 2 (когда p= ax  параллельна прямой p =2x − 2  ), а также положение 1 (когда p= ax  касается гиперболы), если в положении 1 параметр a ⁄= 2.

п. (1)
Прямая p= ax  — касательная к графику p= 16(1− 1)
         x в точке x,  если
(|  (    1)             (
|{16  1− x  = ax        {x = 2
||16                ⇔   (
(x2 = a                 a = 4
п. (2)
Прямая p= ax  параллельна прямой p= 2x− 2:
a =2
п. (3)
Прямая p= ax  проходит через точку (8;14),  если
               7
14= 8a  ⇔   a= 4
п. (4)
a= 0.
п. (5)
a< 0.

Следовательно, ответ

           (   ]
a∈ (−∞; 0)∪  0; 7 ∪{2;4}
              4

Способ 2. Алгебраический

Подставим y = ax− 14  в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно x  должно иметь 2 решения:

                                          (| ⌊  2
                  √--------------         ||{ ⌈ax − 16x+ 16= 0
(x(ax − 14)− 2x+ 16) ax− 14− 2x+ 16= 0 ⇔      (a− 2)x= −2
                                          |||(
                                            (a− 2)x ≥ −2

a > 2

Тогда система равносильна

(| ⌊  2
|||{ |⌈ax − 16x+ 16= 0
   x = x1 = −-2-
||||(           a − 2
  x≥ x1

x= x1  при любом a  является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший x,
 1  либо два корня, причем ровно один из них больше x1  (а второй соответственно ≤ x1  ).

Дискриминант квадратного уравнения     2
D = 8(4− a).  Абсцисса вершины параболы      2
f = ax − 16x+ 16  равна     8
x0 = a.

Если D = 0,  то есть a = 4,  то единственный корень квадратного уравнения равен x= x .
    0  Необходимо, чтобы x  >x .
 0   1  Это выполнено. Значит, a = 4  нам подходит, так как оно также удовлетворяет a > 2.

a = 2

Тогда система равносильна

(⌊
|||  x2− 8x + 8= 0
{⌈                            √ -
||  0⋅x= −2         ⇔   x = 4± 2 2
|(0⋅x ≥ −2

Следовательно, a= 2  нам подходит.

0 <a < 2

Тогда система равносильна

( ⌊
|||{ ⌈ax2− 16x+ 16= 0
   x = x1
|||(
  x≤ x1

Заметим, что D > 0,  следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был < x ,
   1  а второй ≥ x1.

Ветви параболы f = ax2− 16x +16  направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число x1  должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

x1

Это задается следующими условиями:

                       (|⌊ (|a(4a−-7)
(| ⌊({ f(x )= 0           |||||| ||{ (a− 2)2 = 0
||||| ||    1               ||||||| |8      2
{ |⌈( x0 < x1       ⇔   {|| ||(a < −a-−-2       ⇔   0 < a≤ 7
|||  f(x1)< 0            ||||⌈ a(4a − 7)                     4
|||(                      ||||  (a−-2)2-< 0
  0< a< 2              |||(
                        0< a < 2

a = 0

Тогда система равносильна

( ⌊
|||{ ⌈x = 1
   x = 1    ⇔   x= 1
|||(
  x≤ 1

Следовательно, a= 0  нам не подходит.

a < 0

Тогда система равносильна

(| ⌊  2
||{ ⌈ax − 16x+ 16= 0
|  x = x1
||( x≤ x1

Заметим, что D > 0,  следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был <x1,  а второй ≥ x1.

Ветви параболы       2
f = ax − 16x +16  направлены вниз, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число x1  должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

x
 1

Это задается следующими условиями:

                      ( ⌊( a(4a− 7)
(|⌊ ({                  ||||| ||||{ -(a-− 2)2-= 0
|||||  f (x1)= 0          |||| ||  8      2
|{||⌈ (x0 < x1           |{ ||||||( a < −a-− 2
||  f(x) >0        ⇔   || |⌈                   ⇔   a < 0
||||(     1               |||||   a(4a−-72)->0
 a < 0                |||(   (a− 2)
                        a< 0

Следовательно, ответ

           (  7]
a∈ (−∞; 0)∪  0;4  ∪{2;4}
Ответ:

           (    ]
a ∈(−∞; 0)∪  0; 7 ∪ {2;4}
               4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63284

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система

(
{(xy− x +7)(y− x+ 7)= 0
(
 y = 3x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

(⌊
||  y = 1− 7
||{|⌈       x
|  y = x− 7
|||(
 y = 3x + a

Заметим, что при любом a  прямые y = x − 7  и y = 3x+ a  пересекаются. Назовем эту точку O.  Следовательно, нам подойдут те значения параметра a,  при которых прямая y = 3x +a  находится в таком положении, что имеет:

1) ровно одну точку пересечения с гиперболой y = 1 − 7,
       x  причем эта точка не совпадает с точкой O;

2) ровно две точки пересечения с гиперболой y = 1 − 7x,  причем одна из них — это точка O.

Изобразим подходящие положения прямой y = 3x+ a:

      7
yy(1(2(3(4 = =)))) 1x−− x7

Положения (1) и (2) — прямая y = 3x+ a  касается гиперболы y =1 − 7x.  Найдем, при каких a  это происходит.

(                     (
||{ x−-7-= 3x+ a        ||{a = x−-7−-3x2
    x             ⇔            x
||( -7 =3               ||(x2 = 7
  x2                        3

При    ∘ 7-
x=   3  получаем        √ --
a =1 − 2 21,  при     ∘ 7-
x= −  3  получаем        √ --
a = 1+ 2 21.

Следовательно, положению (1) соответствует         √--
a = 1+ 2 21,  а положению (2) соответствует a= 1 − 2√21.

Положения (3) и (4) — когда y = 3x +a  проходит через одну из двух точек пересечения гиперболы       7
y = 1− x  и прямой y = x − 7.  Найдем для начала эти точки:

                 ⌊              ⌊
x-− 7-= x− 7 ⇔   ⌈ x− 7= 0  ⇔   ⌈ x= 7
  x                x= 1           x= 1

Следовательно, получаем точки A (1;− 6)  и B (7;0).

Положение (3): прямая y = 3x+ a  проходит через A :

−6 = 3+ a  ⇔   a= −9

Положение (4): прямая y = 3x+ a  проходит через B :

0= 21+ a  ⇔   a =− 21

Ответ:

a ∈ {−21;−9;1− 2√21;1+ 2√21-}

Способ 2. Алгебраический

Так как замена y = 3x +a  линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки y =3x +a  будет иметь 2 решения:

                                   ⌊  2
   2                               |3x + (a− 1)x + 7= 0
(3x + (a− 1)x +7)(2x+ a+ 7)= 0  ⇔   ⌈     a-+7
                                    x = −  2

Назовем корень − a+72-  числом x1.

Полученная совокупность будет иметь 2 решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение, то есть D = 0,  причем это решение не совпадает с x1;

2) квадратное уравнение имеет 2 решения, то есть D > 0,  причем одно из этих решений совпадает с x1.

Найдем D = (a − 1)2− 84.  Найдем также абсциссу вершины параболы g = 3x2 +(a− 1)x+ 7  — это x = 1−a.
 0   6

Тогда первый случай задается условиями

({
  D =0      ⇔   a= 1± 2√21
( x0 ⁄= x1

Второй случай задается условиями

(
{D > 0
(            ⇔   a= − 21;− 9
 g(x1)= 0

Ответ:

    {           √--    √ --}
a ∈  −21;−9;1− 2 21;1+ 2 21
Ответ:

a ∈{− 21;− 9;1 − 2√21;1 +2√21}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#63283

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система уравнений

({           √ --------
  (xy − x + 8) ⋅ y− x+ 8 =0
( y = 2x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система определена при y− x+ 8≥ 0.  На этой области определения первое уравнение системы равносильно совокупности

⌊
⌈y = x− 8
  y = 1− 8x (при x= 0 получается неверное равенство 0= 8)

В координатах xOy  получаем прямую и гиперболу в области y ≥ x− 8.

Второе уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, у которой параметр a  отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси.

Точка пересечения прямых y = 2x+ a  и y =x − 8  при каждом фиксированном a  является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь, если прямая y = 2x+ a  касается одной из веток гиперболы, либо пересекает правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой y =x − 8,  а второй раз в области ниже прямой y = x − 8.

Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.

yy(3(4(1(2 = =)))) 1x−− 8x8

Положения 1 и 2. Прямая y = 2x+ a  касается гиперболы y =1 − 8,
       x  если уравнение

2x +a = 1− 8  ⇔   2x2 +(a− 1)x+ 8= 0
           x

имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант (a − 1)2− 4⋅2⋅8  равен нулю:

a − 1 = ±8 ⇔   a ∈{− 7;9}

Гипербола y = 1−-8
      x  пересекается с прямой y = x− 8  при

x− 8 =1 − 8  ⇔   x2− 8x =x − 8  ⇔   x2− 9x+ 8= 0.
          x

Получаем x = 1,  y = − 7  и x= 8,  y = 0.

Найдем значения параметра, при которых прямая y = 2x+ a  проходит через эти точки.

Положение 3: − 7= 2+ a  ⇔   a =− 9.

При этом значении параметра решением системы является точка (1;−7)  и вторая точка пересечения гиперболы с прямой y = 2x+ a,  которая находится в пределах области выше прямой y = x− 8.  Всего будет два решения системы, так что это значение параметра нам подходит.

Положение 4: 0= 16+ a  ⇔   a= − 16.

При этом значении параметра решением системы является точка (8;0),  а вторая точка пересечения гиперболы с прямой y = 2x+ a  находится в пределах области ниже прямой y = x− 8.  Всего будет одно решение системы, так что это значение параметра нам не подходит.

Тогда окончательно имеем a ∈(−16;−9]∪ {−7}∪ {9}.

Способ 2. Алгебраический

Так как замена y = 2x +a  линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки y =2x +a  будет иметь 2 решения:

(⌊
|||{⌈ 2x2+ (a − 1)x+ 8 =0
   x= − a− 8
|||(
 x ≥ −a− 8

Назовем корень − a − 8  числом x1.  Заметим, что x1  при любом a  является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение x ,
 0  то есть D =0,  причем x0 >x1;

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть D > 0,  причем меньший из этих двух корней ≤ x1,  а больший > x1.

Найдем D = (a − 1)2− 82.  Найдем абсциссу вершины параболы g = 2x2 +(a− 1)x+ 8  — это x0 = 1−a.
     4

Следовательно, для первого случая получаем

({               ({
  D = 0     ⇔     a= −7;9    ⇔   a= − 7;9
( x0 > x1       ( a> −11

Второй случай выполняется, если парабола g = 2x2+ (a− 1)x +8  пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число x1  лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

x1

Эта картинка задается следующими условиями:

(|                      (|
|||| D⌊(> 0                ||||a⌊ ∈((−∞; −7)∪ (9;+∞ )
|{ |{ g(x1)= 0           |{| {a =− 16;− 9
|| ||( x > x         ⇔   |||| (a >− 11             ⇔   − 16 < a≤ −9
||||( ⌈   0   1            ||||(⌈
   g(x1)< 0               (a +16)(a+ 9) < 0

Следовательно, ответ

a∈ (− 16;− 9]∪ {−7}∪ {9}
Ответ:

a ∈(−16;−9]∪ {−7}∪ {9}

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

 Обоснованно получен верный ответ

4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но есть недостаток в обосновании

3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,

2

ИЛИ

в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,

1

ИЛИ

в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#58737

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

√-----       √-----
 x − asinx = − x − acosx

имеет ровно одно решение на отрезке [0;π].

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые в левую часть:

√-----
 x − a ⋅(sinx+ cosx)= 0

Исходное уравнение имеет один корень на отрезке [0;π],  если имеет единственное решение система

( ⌊
||||| ⌈x− a =0
{  sin x+ cosx = 0
||| x− a≥ 0
||(
  0≤ x ≤π
(|| ⌊x1 = a
|||| ⌈    3π
{  x2 =-4 + πn, n ∈Z
||| x≥ a
|||(
  0≤ x ≤π

Назовем «ОДЗ» решение системы

(
{x ≥a
(0 ≤x ≤ π

Заметим, что из серии предполагаемых корней x2  в отрезок [0;π ]  попадает только предполагаемый корень x2 = 3π.
     4

Следовательно, найдем, при каких значениях a  будет иметь одно решение система

( ⌊
||||  x1 = a
||{ ⌈x = 3π
|   2   4
|||| x≥ a
|( 0≤ x ≤π

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет «ОДЗ», в противном случае будем называть число плохим. Нам необходимо, чтобы ровно одно из чисел x1,  x2  было хорошим.

x1  — хорошее, если

0 ≤ a≤ π

x2  — хорошее, если

a ≤ 3π
    4

Таким образом, имеем:

1.
x1  — хорошее, x2  — плохое, если
{
 0 ≤ a≤ π    ⇔   3π < a≤ π
 a > 34π           4
2.
x1  — плохое, x2  — хорошее, если
  [
(|{  a< 0
   a> π     ⇔   a< 0
|( a≤ 3π
      4
3.
x1 = x2,  если     3π
a = 4-,  и тогда исходное уравнение имеет ровно один корень.

Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение на указанном отрезке при

           [3π  ]
a∈ (− ∞;0)∪  4-;π
Ответ:

           [     ]
a ∈(−∞; 0)∪  3π;π
             4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

 Обоснованно получен верный ответ

4

С помощью верного рассуждения получено множество значений a,  отличающееся от искомого только включением/исключением точек a =0,  a = 3π
    4  и/или a= π

3

В решении верно найдены корни x= a  при a∈ℝ  и x = 3π4-+ πk  при    3π
a ≤-4 +πk,  k∈ ℤ,  возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: x =a  при 0 ≤a ≤π,  x= 3π
   4  при a≤ 3π-
   4

2

ИЛИ

верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a  из-за вычислительной ошибки

В решении верно найден один из корней x =a  при a ∈ℝ  или x = 3π4-+πk  при a ≤ 3π4 +πk,  k∈ ℤ,  возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: x =a  при 0 ≤a ≤π,     3π
x= 4  при a≤ 3π-
   4

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#57009

Найдите все значения a,  при каждом из которых уравнение

√-----   (   2   2)  √-----
 1 − 2x ⋅ln 25x − a  =  1 − 2x ⋅ln(5x− a)

имеет ровно один корень.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

√1-−-2x ⋅(ln(25x2− a2) − ln(5x − a)) =0  ⇔
⌊ (√ -----
| |{  1− 2x= 0
|| |25x2− a2 > 0
|| ({5x(− a > 0 )                 ⇔
|⌈  ln 25x2− a2 − ln(5x − a)= 0
   1− 2x ≥0
⌊ (    1
| ||{x = 2
|| |5x +a > 0
|| |(5x − a > 0
|| (|ln(5x − a) +ln(5x + a) − ln(5x − a) =0   ⇔
||| |||{5x +a > 0
||
⌈ ||||5x − a1 > 0
  (x ≤ 2
⌊ (|     1
|| |{x1 = 2
|| ||5x +a > 0
|| ((5x − a > 0
|| |||x2 = 1−-a
|| {      5
|⌈ |||5x − a1 > 0
  (x ≤ 2

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, находящимся с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим. В такой терминологии нам подходят ситуации, когда среди предполагаемых решений совокупности ровно одно хорошее. Определим, когда каждое из чисел x1  и x2  хорошее.

x1  — хорошее, если

(
|{5 + a> 0          5      5
|25           ⇔   − 2 < a < 2
(2 − a> 0

x2  — хорошее, если

(
{ 1− a− a> 0          3      1
( 1−-a   1      ⇔   − 2 ≤a < 2
    5  ≤ 2

x1  — хорошее, а x2  — плохое, если

(   (     )
||{a ∈  − 52; 52                      (       )  [   )
    (       )  [      )    ⇔   a ∈  − 5;− 3 ∪ 1; 5
||(a ∈  −∞;− 3  ∪  1;+∞                2   2    2 2
           2     2

x
 2  — хорошее, а x
 1  — плохое, если

(    (       ]  [     )
|| a∈  − ∞;− 5 ∪  5;+∞
{    [     )2    2          ⇔   a∈ ∅
||( a∈  − 3; 1
        2 2

x1  и x2  совпадают и оба при этом хорошие, если

(
|{ 1 = 1−-a
  2    5        ⇔   a= − 3
|( − 3≤ a<  1             2
    2      2

Объединяя полученные значения параметра, получаем окончательно

   (  5  3]  [1 5)
a∈  − 2;− 2 ∪  2;2