Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 18. Задачи с параметром

18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90052

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{2x + 2ay+ a− 3= 0 x|y|+ 2x− 3= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы:

x|y|+ 2x− 3= 0 x(|y|+ 2)= 3

Заметим, что $|y|+2 ≥ 2.$ Тогда

x(|y|+ 2)= 3 2x = --6-- |y|+ 2

Тогда система имеет вид

( |{ 2x= − a(2y+ 1)+ 3 | --6-- ( 2x= |y|+ 2

Решим задачу графически в системе координат $yOx,$ где $y$ — абсцисса, $x$ — ордината. Тогда первое уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку $(−0,5;1,5).$ Второе уравнение при $y ≥ 0$ задает часть гиперболы $3 x= y-+2$ и при $y < 0$ задает эту же кривую, но отраженную относительно оси $Ox.$

$yxx121−0=1 ---3- |y|+ 2$

Нам подходит только одно положение прямой, когда она касается гиперболы $-3-- x = y+ 2,$ при этом $y >0.$ Тогда уравнение

--3- = −a(y+ 0,5)+ 1,5 y +2 --6- = −a(2y+ 1)+3 y +2 6= − a(2y +1)(y+ 2)+3y +6 ( 2 ) a 2y + 5y+ 2 − 3y = 0 2ay2+ y(5a − 3)+ 2a= 0

квадратное и имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D = 0 (5a− 3)2 − 16a2 = 0 2 2 25a − 30a + 9− 16a =0 3a2− 10a+ 3= 0 (3a − 1)(a− 3)= 0 ⌊ 1 ⌈a = 3 a =3

При $a= 3$ получаем, что

6y2+ 12y+ 6= 0 y2+ 2y+ 1= 0 2 (y+ 1) = 0 y = −1

Значит, такое значение параметра $a$ нам не подходит.

При $1 a= 3$ получаем, что

2y2 − 4y+ 2 =0 3 3 3 y2− 2y+ 1= 0 (y− 1)2 = 0 y =1

Тогда

3 3 x = y+-2 = 1+-2 = 1

Значит, касание происходит в точке $(1;1).$

Следовательно, нам подходит только ${ } a∈ 1 . 3$

Ответ:

${ } a ∈ 1 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90055

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x + ay+ a− 2= 0 x|y|+ x− 2= 0

имеет ровно одно решение.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы:

x|y|+ x− 2 =0 x(|y|+ 1)= 2

Заметим, что $|y|+1 ≥ 1.$ Тогда

x(|y|+ 1)= 2 x= --2-- |y|+1

Тогда система имеет вид

( |{ x= − a(y +1)+ 2 | --2-- ( x= |y|+ 1

Решим задачу графически в системе координат $yOx,$ где $y$ — абсцисса, $x$ — ордината. Тогда первое уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку $(−1;2).$ Второе уравнение при $y ≥ 0$ задает часть гиперболы $2 x = y+-1$ и при $y < 0$ задает эту же кривую, но отраженную относительно оси $Ox.$

$yxx((121−0=1)2)1 ---2- |y|+ 1$

Пусть $a1$ и $a2$ — значения параметра $a,$ соответствующие положениям (1) и (2). Тогда нам подходят $a> a1$ или $a≤ a2.$

Положение (1): прямая $x = −a (y+ 1) +2 1$ касается гиперболы $x= --2-. y+ 1$ Тогда уравнение

--2- = −a1(y+ 1)+2 y +1 2 = −a1(y + 1)2+ 2y+ 2 2 a1y + 2a1y +a1− 2y =0 a1y2 +2y(a1− 1)+ a1 = 0

квадратное и имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D = 0 4(a1− 1)2− 4a21 = 0 −2a + 1 =0 1 a1 = 1 2

Положение (2): прямая $x= −a2(y+ 1)+ 2$ горизонтальна, то есть $a2 = 0.$

Следовательно, нам подходят значения параметра

( 1 ) a ∈(−∞; 0]∪ 2;+∞ .

Ответ:

$a ∈(−∞; 0]∪(0,5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90056

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x +y = a ||2 || |y|= x − 2x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Система из условия равносильна следующей:

(| y = − x+ a { [ 2 |( y = x −22x y = − x + 2x

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением совокупности. Тогда необходимо найти такие $a,$ при которых прямая $y = −x+ a$ имеет 2 общие точки со множеством $S.$ Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y =− x+ a.$

$2 2 xyyy((1120 = =12))x− −x 2+x2x$

Нам подходят положения прямой $y = − x+ a$ ниже положения (1) или выше положения (2).

Положение (1): прямая $y = −x+ a1$ касается параболы $y = x2− 2x.$ Тогда уравнение

x2− 2x= − x+ a1 2 x − x− a1 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D1 = 0 1+ 4a1 = 0 1 a1 = −4

Положение (2): прямая $y = −x+ a2$ касается параболы $2 y = −x + 2x.$ Тогда уравнение

− x2+ 2x = −x +a2 x2− 3x+ a2 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D2 = 0 9− 4a2 = 0 a2 = 9 4

Следовательно, нам подходят значения параметра

( 1) ( 9 ) a∈ −∞; − 4 ∪ 4;+ ∞ .

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ −∞; − 1 ∪ 9;+∞ 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90058

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x +y = a ||2 || |y|= x − 4x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Система из условия равносильна следующей:

(| y = − x+ a { [ 2 |( y = x −24x y = − x + 4x

$xyyy((1140 = =12))x−2−x24+x4x$

Нам подходят положения прямой $y = − x+ a$ ниже положения (1) или выше положения (2).

Положение (1): прямая $y = −x+ a1$ касается параболы $y = x2− 4x.$ Тогда уравнение

2 x −2 4x= − x+ a1 x − 3x− a1 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D1 = 0 9+ 4a1 = 0 a1 = − 9 4

Положение (2): прямая $y = −x+ a2$ касается параболы $y = −x2+ 4x.$ Тогда уравнение

− x2+ 4x = −x +a2 2 x − 5x+ a2 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D2 = 0 25− 4a2 = 0 25 a2 = 4

Следовательно, нам подходят значения параметра

( ) ( ) a ∈ −∞; − 9 ∪ 25;+∞ . 4 4

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ −∞; − 9 ∪ 25;+∞ 4 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90060

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x +y = 2a ||2 || |y|= x + 2x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Система из условия равносильна следующей:

(| y = − x+ 2a { [ 2 |( y = x +22x y = − x − 2x

$22 xyyy((11012==)) x−x+−2x2x$

Нам подходят положения прямой $y = − x+ 2a$ ниже положения (1) или выше положения (2).

Положение (1): прямая $y = −x+ 2a1$ касается параболы $y = x2+ 2x.$ Тогда уравнение

x2+2x = −x+ 2a1 2 x + 3x− 2a1 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D1 = 0 9+ 8a1 = 0 9 a1 = −8

Положение (2): прямая $y = −x+ 2a2$ касается параболы $2 y = −x − 2x.$ Тогда уравнение

−x2− 2x =− x+ 2a2 x2− x+ 2a2 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D2 = 0 1− 8a2 = 0 a2 = 1 8

Следовательно, нам подходят значения параметра

( 9) ( 1 ) a∈ −∞; − 8 ∪ 8;+ ∞ .

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ −∞; − 9 ∪ 1;+∞ 8 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90063

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = |x− a|− 1 2 |y|+x − 2x = 0

имеет ровно четыре различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы:

$pict$

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением полученной системы. Графиком уравнения $y = |x− a|− 1$ является уголок, ветви которого направлены вверх, а вершина имеет координаты $(a;−1),$ то есть скользит по прямой $y = − 1.$ Нам нужно найти такие $a,$ при которых уголок имеет четыре общие точки со множеством $S.$

$xyyy1120((( = =123)))x−2−x22+x2x$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i)$ уголка, то нам подходят $a∈ (a1;a2)∪ (a2;a3).$

Положение (1): левая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yl = −x+ a1− 1,$ где $x ≤ a1,$ касается параболы $2 y = x − 2x.$ Тогда уравнение

2 x − 2x = −x+ a1− 1 x2− x+ 1− a1 = 0

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 1− 4(1− a1)= 0 4a1− 3 = 0 a1 = 3 4

Тогда решением уравнения является $x= 1. 2$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $3 a1 = 4,$ причем точка касания имеет координаты $( ) 1 3 2;− 4 .$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и левой ветви уголка.

Положение (2): вершина уголка совпадает с вершиной параболы $2 y = x − 2x:$

(a2;− 1)= (1;−1) a2 = 1

Положение (3): правая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yr = x− a3− 1,$ где $x ≥ a3,$ касается параболы $2 y = x − 2x.$ Тогда уравнение

2 x − 2x= x − a3 − 1 x2− 3x+ 1+ a3 = 0

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 9− 4(1+ a3)= 0 5− 4a3 = 0 a3 = 5 4

Тогда решением уравнение является $x = 3. 2$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $5 a3 = 4,$ причем точка касания имеет координаты $( ) 1 3 2;− 4 .$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и правой ветви уголка.

Следовательно, нам подходят значения параметра

( ) ( ) a∈ 3;1 ∪ 1; 5 . 4 4

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ 3;1 ∪ 1; 5 4 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90066

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = |x− a|− 4 2 4|y|+ x + 8x= 0

имеет ровно четыре различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы:

$pict$

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением полученной системы. Графиком уравнения $y = |x− a|− 4$ является уголок, ветви которого направлены вверх, а вершина имеет координаты $(a;−4),$ то есть скользит по прямой $y = − 4.$ Нам нужно найти такие $a,$ при которых уголок имеет четыре общие точки со множеством $S.$

$xx22 xyyy4−−0(((123==84))) −4-4+ −2 2xx$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i)$ уголка, то нам подходят $a∈ (a1;a2)∪ (a2;a3).$

Положение (1): левая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yl = −x+ a1− 4,$ где $x ≤ a1,$ касается параболы $2 y = x-+ 2x. 4$ Тогда уравнение

2 x- + 2x = −x +a1− 4 4 x2 +3x +4 − a1 = 0 4

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 1 9− 4 ⋅4 ⋅(4− a1) 5+ a1 = 0 a1 = −5

Тогда решением уравнения является $x = −6.$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $a1 = −5,$ причем точка касания имеет координаты $(− 6;− 3).$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и левой ветви уголка.

Положение (2): вершина уголка совпадает с вершиной параболы $x2 y = 4 + 2x :$

(a2;−4)= (−4;−4) a2 = −4

Положение (3): правая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yr = x− a3− 4,$ где $x ≥ a3,$ касается параболы $2 y = − x − 2x. 4$ Тогда уравнение

x2 − 4 − 2x = −x+ a3− 4 x2 4-+ x+ a3− 4= 0

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 1 1− 4 ⋅4 ⋅(a3− 4) a3+ 3= 0 a3 = −3

Тогда решением уравнение является $x = −2.$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $a3 = −3,$ причем точка касания имеет координаты $(− 2;− 3).$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и правой ветви уголка.

Следовательно, нам подходят значения параметра

a∈ (− 5;− 4)∪(−4;−3).

Ответ:

$a ∈(−5;−4)∪ (−4;−3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90067

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = −|x − a|+ 1 2 |y|+x +2x = 0

имеет ровно четыре различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы:

$pict$

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением полученной системы. Графиком уравнения $y = −|x − a|+ 1$ является уголок, ветви которого направлены вниз, а вершина имеет координаты $(a;1),$ то есть скользит по прямой $y = 1.$ Нам нужно найти такие $a,$ при которых уголок имеет четыре общие точки со множеством $S.$

$xyyy1120(1(2(3 = =))) x−2x+2 2−x 2x$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i)$ уголка, то нам подходят $a∈ (a1;a2)∪ (a2;a3).$

Положение (1): левая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yl = x− a1+ 1,$ где $x ≤ a1,$ касается параболы $2 y = −x − 2x.$ Тогда уравнение

2 − x − 2x= x− a1+ 1 x2+ 3x+ 1− a1 = 0

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 9− 4(1− a1)= 0 4a1+5 = 0 a1 = − 5 4

Тогда решением уравнения является $x = − 3 . 2$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $5 a1 = − 4,$ причем точка касания имеет координаты $( ) 3 3 −2 ;4 .$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и левой ветви уголка.

Положение (2): вершина уголка совпадает с вершиной параболы $2 y = −x − 2x :$

(a2;1)= (−1;1) a2 = −1

Положение (3): правая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yr = −x +a3 +1,$ где $x ≥ a3,$ касается параболы $2 y = −x − 2x.$ Тогда уравнение

2 −x − 2x= − x+ a3+ 1 x2+ x+ 1+ a3 = 0

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 1− 4(1+ a3)= 0 3+ 4a3 = 0 a3 = − 3 4

Тогда решением уравнение является $x = − 1. 2$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $3 a3 = − 4,$ причем точка касания имеет координаты $( ) 1 3 −2 ;4 .$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и правой ветви уголка.

Следовательно, нам подходят значения параметра

( ) ( ) a∈ − 5;−1 ∪ −1;− 3 . 4 4

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ − 5;−1 ∪ −1;− 3 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90068

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = 4x+ a 2 |y|= x − 2x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

( y = 4x+ a |||{ 2 x[ − 2x2≥ 0 |||( y = x −22x y = − x + 2x

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением совокупности при условии $x2− 2x ≥0.$ Тогда необходимо найти такие $a,$ при которых прямая $y = 4x+ a$ имеет 2 общие точки со множеством $S.$ Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y = 4x + a$ (обозначим ее за $l$ ).

$xyyy((((11201234==))))x−2x−2 2+x2x$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i),$ то нам подходят

a∈ (− ∞;a1)∪ (a2;a3)∪(a4;+ ∞ ).

Положение (1): прямая $l$ касается параболы $2 y = x − 2x$ в точке с абсциссой больше 2. Тогда уравнение

x2− 2x =4x +a1 x2− 6x+ 9 =a1 +9 2 (x − 3) = a1+ 9

имеет единственное решение, если $a1+ 9 =0,$ то есть $a1 = −9.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(3;3).$

Положение (2): точка $(2;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅2 + a2 a2 = −8

Положение (3): точка $(0;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅0 + a3 a3 = 0

Положение (4): прямая $l$ касается параболы $y = −x2+ 2x$ в точке с абсциссой меньше 0. Тогда уравнение

2 −x + 2x= 4x+ a4 x2 +2x +1 = −a4+ 1 (x +1)2 = 1− a4

имеет единственное решение, если $1 − a4 = 0,$ то есть $a4 = 1.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(−1;−3).$

Следовательно, нам подходят значения параметра

a∈ (−∞; −9)∪ (− 8;0)∪ (1;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; −9)∪ (−8;0) ∪(1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90071

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = 4x+ a 2 2|y|= x − 4x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

(|y =4x + a |||| 2 ||{x⌊ − 4x ≥0 | y = 1x2− 2x ||||||⌈ 2 |( y = − 1x2 +2x 2

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением совокупности при условии $x2− 4x ≥0.$ Тогда необходимо найти такие $a,$ при которых прямая $y = 4x+ a$ имеет 2 общие точки со множеством $S.$ Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y = 4x + a$ (обозначим ее за $l$ ).

$1122 xyyy((((11401234==)))) 2−x2x−+2x2x$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i),$ то нам подходят

a∈ (− ∞;a1)∪ (a2;a3)∪(a4;+ ∞ ).

Положение (1): прямая $l$ касается параболы $y = 0,5x2− 2x$ в точке с абсциссой больше 4. Тогда уравнение

2 0,5x − 2x = 4x + a1 x2 − 12x =2a1 x2 − 12x +36 =2a1+ 36 2 (x − 6) = 2a1+ 36

имеет единственное решение, если $2a1+ 36= 0,$ то есть $a1 = −18.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(6;6).$

Положение (2): точка $(4;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅4 + a2 a2 = −16

Положение (3): точка $(0;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅0 + a3 a3 = 0

Положение (4): прямая $l$ касается параболы $y = −0,5x2+2x$ в точке с абсциссой меньше 0. Тогда уравнение

2 − 0,5x + 2x= 4x+ a4 x2− 4x= − 8x− 2a4 x2+ 4x= − 2a4 2 x + 4x+ 4= 4− 2a4 (x+ 2)2 = 4− 2a4

имеет единственное решение, если $4 − 2a4 =0,$ то есть $a4 = 2.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(−2;−6).$

Следовательно, нам подходят значения параметра

a∈ (−∞; −18)∪ (− 16;0)∪ (2;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; −18)∪ (− 16;0)∪ (2;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90073

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ |y|− 4x− a= 0 2 x − 2x− y = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Исключив $y$ из системы, получим уравнение

$pict$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x ;a) 0 0$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений совокупности. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно две из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ℝ,$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

$xaaa12360== x−2−x26−x2x$

Видим, что нам подходят все положения горизонтальной прямой $a = a0$ выше положения, когда горизонтальная прямая проходит через вершину параболы $a = x2− 6x,$ то есть через точку $(3;− 9).$ Следовательно, нам подходят значения параметра $a > −9.$

Ответ:

$a ∈(−9;+∞ )$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90074

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{|y|+|x|= a √----- y = x+ 4

имеет два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

При $a ≤0$ первое уравнение системы имеет не более одного решения, значит, и вся система тоже имеет не более одного решения. Тогда решим задачу графически при $a > 0.$ Исследуем первое уравнение:

$pict$

Таким образом, графиком этого уравнения является квадрат $ABCD$ с вершинами в точках $A (− a;0),$ $B (0;a),$ $C(a;0),$ $D(0;− a).$

Действительно, все стороны четырехугольника равны, значит, это ромб. Сторона $AB$ лежит на прямой $y = x+ a,$ сторона $BC$ лежит на прямой $y = −x+ a,$ угол между этими прямыми равен $∘ 90,$ следовательно, $ABCD$ — квадрат.

Нужно найти такие $a,$ при которых квадрат имеет две общие точки с графиком корня $y =√x-+-4.$

$√----- xyy(1(2(3ABCD110 =))) x +4$

Пусть $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i).$ Тогда нам подходят

a∈ (a1;a2)∪ {a3}.

Положение (1): вершина $B (0;a1)$ находится в точке пересечения графика $y = √x+-4-$ с осью ординат. Значит,

√---- a1 = 0+ 4 a1 = 2

Положение (2): вершина $A (− a;0)$ находится в точке пересечения графика $√----- y = x+ 4$ с осью абсцисс. Значит,

√------- 0= − a2+ 4 a2 = 4

Положение (3): сторона $AB$ касается графика $√ ----- y = x+ 4.$ Сторона $AB$ задается уравнением $y = x+ a$ при $− a ≤ x≤ 0.$ Прямая касается графика корня, если система

( |{ √x+-4-=x + a3 1 |( 2√x-+4-= 1

имеет решения. Значит,

$pict$

Тогда

15 17 1 y = x +a3 = − 4-+-4 = 2.

Точка $( ) − 15; 1 4 2$ действительно лежит на отрезке $AB,$ так как её координаты обращают уравнение $y = x +a 3$ в верное равенство и $− a ≤x ≤ 0. 3$ Также она лежит на графике функции $y = √x-+-4,$ так как её координаты обращают это уравнение в верное равенство.

Следовательно, нам подходят значения параметра

{ } a ∈(2;4)∪ 17 4

Ответ:

${ } a ∈(2;4)∪ 17 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90075

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{|y|+|x|= a √----- y = x+ 9

имеет два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

$pict$

Нужно найти такие $a,$ при которых квадрат имеет две общие точки с графиком корня $y =√x-+-9.$

$√----- xyy(1(2(3ABCD12120 =))) x + 9$

Пусть $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i).$ Тогда нам подходят

a∈ (a1;a2)∪ {a3}.

Положение (1): вершина $B (0;a1)$ находится в точке пересечения графика $√----- y = x+ 9$ с осью ординат. Значит,

a1 = √0+-9 a1 = 3

Положение (2): вершина $A (− a2;0)$ находится в точке пересечения графика $y = √x+-9-$ с осью абсцисс. Значит,

0= √−-a-+-9 2 a2 = 9

Положение (3): сторона $AB$ касается графика $y =√x-+-9.$ Сторона $AB$ задается уравнением $y = x+ a$ при $− a ≤ x≤ 0.$ Прямая касается графика корня, если система

(| √----- { x+ 9 =x + a3 |( -√-1---= 1 2 x +9

имеет решения. Значит,

$pict$

Тогда

y = x +a3 = − 35+ 37 = 1. 4 4 2

Точка $( ) − 35; 1 4 2$ действительно лежит на отрезке $AB,$ так как её координаты обращают уравнение $y = x +a3$ в верное равенство и $− a3 ≤x ≤ 0.$ Также она лежит на графике функции $√ ----- y = x+ 9,$ так как её координаты обращают это уравнение в верное равенство.

Следовательно, нам подходят значения параметра

{ } a ∈(3;9)∪ 37 4

Ответ:

${ } a ∈(3;9)∪ 37 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90215

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x +y = a ||2 || |y|= x + 2x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Система из условия равносильна следующей:

(| y = − x+ a { [ 2 |( y = x +22x y = − x − 2x

$22 xyyy((11012==)) x−x+−2x2x$

Нам подходят положения прямой $y = − x+ a$ ниже положения (1) или выше положения (2).

Положение (1): прямая $y = −x+ a1$ касается параболы $y = x2+ 2x.$ Тогда уравнение

x2+ 2x= − x+ a1 2 x + 3x− a1 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D1 = 0 9+ 4a1 = 0 9 a1 = −4

Положение (2): прямая $y = −x+ a2$ касается параболы $2 y = −x − 2x.$ Тогда уравнение

− x2− 2x = −x +a2 x2+ x+ a2 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D2 = 0 1− 4a2 = 0 a2 = 1 4

Следовательно, нам подходят значения параметра

( 9) ( 1 ) a∈ −∞; − 4 ∪ 4;+ ∞ .

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ −∞; − 9 ∪ 1;+∞ 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#88579

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

(x− a− 7)(x +a − 2) ---√10x−-x2−-a2-- = 0

имеет ровно один корень на отрезке $[4;8].$

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение при всех $x∈ [4;8]$ :

([x − a − 7 = 0 ( [a= x− 7 |||{ |||{ x +a −2 2 =20 ⇔ a= −x2 + 22 2 |||(10x− x − a > 0 |||( (x − 5) + a < 5 4≤ x ≤ 8 4≤ x≤ 8

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ ℝ$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S$ .

$PIC$

Итак, в системе координат $xOa$ совокупность задает объединение двух прямых, первое неравенство — внутренность круга (без границы) с центром в $(5;0)$ и радиусом $R = 5$ , а второе неравенство — вертикальную полосу-область (с границей) между прямыми $x= 4$ и $x = 8$ .

Решением системы является множество точек, принадлежащих прямым $a = x− 7$ и $a= − x+ 2,$ лежащих внутри области, являющейся пересечением внутренности круга и полосы. Таким образом, множество $S$ — это отрезки $AD$ (с выколотым концом $A$ ) и $BE$ .

Найдем координаты всех важных точек:

{ √ -- √-- a= − x+ 2 ( 7+---41- −3−--41) A: 10x− x2− a2 = 0 ⇔ A 2 ; 2 { B : a= x − 7 ⇔ B(4;−3) {x= 4 a= x − 7 C : a= − x+ 2 ⇔ C(4,5;−2,5) { D : a= − x+ 2 ⇔ D(4;−2) x =4 {a= x − 7 E : x= 8 ⇔ E(8;1)

Тогда ответ $aA < a< aB$ ; $a = aC$ ; $aD < a≤ aE$ , то есть

√ -- −3-−--41< a < −3;a= − 5 ;− 2< a≤ 1. 2 2

Ответ:

$( √ -- ) { } a ∈ −3-−--41;−3 ∪ − 5 ∪(−2;1] 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#83775

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

x2 − (x− 1)√2x-−-a= x

имеет ровно один корень.

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x(x− 1)= (x − 1)√2x-−-a ⌊ ( | {x − 1 = 0 || (2x− a ≥0 ⌈ √----- x= 2x − a ⌊ ({x = 1 || || ((2x− a ≥0 || {(x− 1)2 = 1− a ⌈ ( x ≥ 0

При $1− a< 0 ⇔ a > 1$ уравнение из второй системы не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение, если $x = 1$ удовлетворяет условию $2x− a≥ 0,$ то есть при $a ≤2.$ Следовательно, при $a ∈(1;2]$ исходное уравнение имеет единственное решение.

При $a= 1$ уравнение из второй системы имеет единственный корень $x =1,$ совпадающий с корнем из первой системы, который удовлетворяет условию $2x − a ≥ 0$ и $x≥ 0.$ Следовательно, это значение параметра нам также подходит.

Пусть далее $a < 1.$ Тогда уравнение из первой системы удовлетворяет условию $2x − a ≥ 0,$ уравнение из второй системы имеет два различных корня $√---- x = 1± 1− a,$ каждый из которых не должен являться корнем исходного уравнения, следовательно, не должен удовлетворять условию $x ≥0.$ Но $---- 1 +√ 1− a> 1,$ следовательно, удовлетворяет условию $x ≥ 0.$ Значит. исходное уравнение уже имеет как минимум два корня. Следовательно, $a< 1$ нам не подходит.

Таким образом, ответ

a∈ [1;2]

Ответ:

$a ∈[1;2]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#63283

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ √ -------- (xy − x + 8) ⋅ y− x+ 8 =0 ( y = 2x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система определена при $y− x+ 8≥ 0.$ На этой области определения первое уравнение системы равносильно совокупности

⌊ ⌈y = x− 8 y = 1− 8x (при x= 0 получается неверное равенство 0= 8)

В координатах $xOy$ получаем прямую и гиперболу в области $y ≥ x− 8.$

Второе уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, у которой параметр $a$ отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси.

Точка пересечения прямых $y = 2x+ a$ и $y =x − 8$ при каждом фиксированном $a$ является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь, если прямая $y = 2x+ a$ касается одной из веток гиперболы, либо пересекает правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой $y =x − 8,$ а второй раз в области ниже прямой $y = x − 8.$

Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.

$yy(3(4(1(2 = =)))) 1x−− 8x8$

Положения 1 и 2. Прямая $y = 2x+ a$ касается гиперболы $y =1 − 8, x$ если уравнение

2x +a = 1− 8 ⇔ 2x2 +(a− 1)x+ 8= 0 x

имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант $(a − 1)2− 4⋅2⋅8$ равен нулю:

a − 1 = ±8 ⇔ a ∈{− 7;9}

Гипербола $y = 1−-8 x$ пересекается с прямой $y = x− 8$ при

x− 8 =1 − 8 ⇔ x2− 8x =x − 8 ⇔ x2− 9x+ 8= 0. x

Получаем $x = 1,$ $y = − 7$ и $x= 8,$ $y = 0.$

Найдем значения параметра, при которых прямая $y = 2x+ a$ проходит через эти точки.

Положение 3: $− 7= 2+ a ⇔ a =− 9.$

При этом значении параметра решением системы является точка $(1;−7)$ и вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y = 2x+ a,$ которая находится в пределах области выше прямой $y = x− 8.$ Всего будет два решения системы, так что это значение параметра нам подходит.

Положение 4: $0= 16+ a ⇔ a= − 16.$

При этом значении параметра решением системы является точка $(8;0),$ а вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y = 2x+ a$ находится в пределах области ниже прямой $y = x− 8.$ Всего будет одно решение системы, так что это значение параметра нам не подходит.

Тогда окончательно имеем $a ∈(−16;−9]∪ {−7}∪ {9}.$

Способ 2. Алгебраический

Так как замена $y = 2x +a$ линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки $y =2x +a$ будет иметь 2 решения:

(⌊ |||{⌈ 2x2+ (a − 1)x+ 8 =0 x= − a− 8 |||( x ≥ −a− 8

Назовем корень $− a − 8$ числом $x1.$ Заметим, что $x1$ при любом $a$ является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение $x , 0$ то есть $D =0,$ причем $x0 >x1;$

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть $D > 0,$ причем меньший из этих двух корней $≤ x1,$ а больший $> x1.$

Найдем $D = (a − 1)2− 82.$ Найдем абсциссу вершины параболы $g = 2x2 +(a− 1)x+ 8$ — это $x0 = 1−a. 4$

Следовательно, для первого случая получаем

({ ({ D = 0 ⇔ a= −7;9 ⇔ a= − 7;9 ( x0 > x1 ( a> −11

Второй случай выполняется, если парабола $g = 2x2+ (a− 1)x +8$ пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число $x1$ лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

$x1$

Эта картинка задается следующими условиями:

(| (| |||| D⌊(> 0 ||||a⌊ ∈((−∞; −7)∪ (9;+∞ ) |{ |{ g(x1)= 0 |{| {a =− 16;− 9 || ||( x > x ⇔ |||| (a >− 11 ⇔ − 16 < a≤ −9 ||||( ⌈ 0 1 ||||(⌈ g(x1)< 0 (a +16)(a+ 9) < 0

Следовательно, ответ

a∈ (− 16;− 9]∪ {−7}∪ {9}

Ответ:

$a ∈(−16;−9]∪ {−7}∪ {9}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но есть недостаток в обосновании	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#63284

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

( {(xy− x +7)(y− x+ 7)= 0 ( y = 3x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

(⌊ || y = 1− 7 ||{|⌈ x | y = x− 7 |||( y = 3x + a

Заметим, что при любом $a$ прямые $y = x − 7$ и $y = 3x+ a$ пересекаются. Назовем эту точку $O.$ Следовательно, нам подойдут те значения параметра $a,$ при которых прямая $y = 3x +a$ находится в таком положении, что имеет:

1) ровно одну точку пересечения с гиперболой $y = 1 − 7, x$ причем эта точка не совпадает с точкой $O;$

2) ровно две точки пересечения с гиперболой $y = 1 − 7x,$ причем одна из них — это точка $O.$

Изобразим подходящие положения прямой $y = 3x+ a:$

$7 yy(1(2(3(4 = =)))) 1x−− x7$

Положения (1) и (2) — прямая $y = 3x+ a$ касается гиперболы $y =1 − 7x.$ Найдем, при каких $a$ это происходит.

( ( ||{ x−-7-= 3x+ a ||{a = x−-7−-3x2 x ⇔ x ||( -7 =3 ||(x2 = 7 x2 3

При $∘ 7- x= 3$ получаем $√ -- a =1 − 2 21,$ при $∘ 7- x= − 3$ получаем $√ -- a = 1+ 2 21.$

Следовательно, положению (1) соответствует $√-- a = 1+ 2 21,$ а положению (2) соответствует $a= 1 − 2√21.$

Положения (3) и (4) — когда $y = 3x +a$ проходит через одну из двух точек пересечения гиперболы $7 y = 1− x$ и прямой $y = x − 7.$ Найдем для начала эти точки:

⌊ ⌊ x-− 7-= x− 7 ⇔ ⌈ x− 7= 0 ⇔ ⌈ x= 7 x x= 1 x= 1

Следовательно, получаем точки $A (1;− 6)$ и $B (7;0).$

Положение (3): прямая $y = 3x+ a$ проходит через $A :$

−6 = 3+ a ⇔ a= −9

Положение (4): прямая $y = 3x+ a$ проходит через $B :$

0= 21+ a ⇔ a =− 21

Ответ:

a ∈ {−21;−9;1− 2√21;1+ 2√21-}

Способ 2. Алгебраический

Так как замена $y = 3x +a$ линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки $y =3x +a$ будет иметь 2 решения:

⌊ 2 2 |3x + (a− 1)x + 7= 0 (3x + (a− 1)x +7)(2x+ a+ 7)= 0 ⇔ ⌈ a-+7 x = − 2

Назовем корень $− a+72-$ числом $x1.$

Полученная совокупность будет иметь 2 решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение, то есть $D = 0,$ причем это решение не совпадает с $x1;$

2) квадратное уравнение имеет 2 решения, то есть $D > 0,$ причем одно из этих решений совпадает с $x1.$

Найдем $D = (a − 1)2− 84.$ Найдем также абсциссу вершины параболы $g = 3x2 +(a− 1)x+ 7$ — это $x = 1−a. 0 6$

Тогда первый случай задается условиями

({ D =0 ⇔ a= 1± 2√21 ( x0 ⁄= x1

Второй случай задается условиями

( {D > 0 ( ⇔ a= − 21;− 9 g(x1)= 0

Ответ:

{ √-- √ --} a ∈ −21;−9;1− 2 21;1+ 2 21

Ответ:

$a ∈{− 21;− 9;1 − 2√21;1 +2√21}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#63285

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ √--------- (xy − 2x +16) y − 2x +16 =0 ( y = ax− 14

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

⌊ (|| y = 2 − 16 |||| |⌈ x |{ y = 2x − 16 || ||||| y ≥ 2x− 16 ( y = ax− 14

Сделаем замену $y + 14 = p.$ Тогда система примет вид

( ⌊ ( ) ||| p = 16 1− 1 |||| |⌈ x { p = 2x− 2 ||| p≥ 2x− 2 ||||( p= ax

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOp,$ лежащих либо на части гиперболы $p = 16 (1 − 1x),$ лежащей выше прямой $p = 2x − 2,$ либо на прямой $p =2x − 2.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $p = ax,$ проходящая через начало координат плоскости $xOp,$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения гиперболы $( 1) p = 16 1 − x$ и прямой $p = 2x − 2:$

( 1 ) 2 16 1− x = 2x− 2 ⇔ x − 9x +8 = 0 ⇔ x= 1;8

Получаем точки $(1;0)$ и $(8;14).$

Изобразим граничные положения прямой $p = ax:$

$( 1) xppp11118(((((==4612345)))))126x−1−2 x$

Нам подходят все $a <0$ (положение 5). При $a> 0$ нам подходят все положения между 4 (когда $p= ax$ горизонтальна) и 3 (когда $p = ax$ проходит через точку $(8;14)$ ), положение 2 (когда $p= ax$ параллельна прямой $p =2x − 2$ ), а также положение 1 (когда $p= ax$ касается гиперболы), если в положении 1 параметр $a ⁄= 2.$

п. (1): Прямая $p= ax$ — касательная к графику $p= 16(1− 1) x$ в точке $x,$ если $(| ( 1) ( |{16 1− x = ax {x = 2 ||16 ⇔ ( (x2 = a a = 4$
п. (2): Прямая $p= ax$ параллельна прямой $p= 2x− 2:$ $a =2$
п. (3): Прямая $p= ax$ проходит через точку $(8;14),$ если $7 14= 8a ⇔ a= 4$
п. (4): $a= 0.$
п. (5): $a< 0.$

Следовательно, ответ

( ] a∈ (−∞; 0)∪ 0; 7 ∪{2;4} 4

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = ax− 14$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно $x$ должно иметь 2 решения:

(| ⌊ 2 √-------------- ||{ ⌈ax − 16x+ 16= 0 (x(ax − 14)− 2x+ 16) ax− 14− 2x+ 16= 0 ⇔ (a− 2)x= −2 |||( (a− 2)x ≥ −2

$a > 2$

Тогда система равносильна

(| ⌊ 2 |||{ |⌈ax − 16x+ 16= 0 x = x1 = −-2- ||||( a − 2 x≥ x1

$x= x1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший $x, 1$ либо два корня, причем ровно один из них больше $x1$ (а второй соответственно $≤ x1$ ).

Дискриминант квадратного уравнения $2 D = 8(4− a).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = ax − 16x+ 16$ равна $8 x0 = a.$

Если $D = 0,$ то есть $a = 4,$ то единственный корень квадратного уравнения равен $x= x . 0$ Необходимо, чтобы $x >x . 0 1$ Это выполнено. Значит, $a = 4$ нам подходит, так как оно также удовлетворяет $a > 2.$

$a = 2$

Тогда система равносильна

(⌊ ||| x2− 8x + 8= 0 {⌈ √ - || 0⋅x= −2 ⇔ x = 4± 2 2 |(0⋅x ≥ −2

Следовательно, $a= 2$ нам подходит.

$0 <a < 2$

Тогда система равносильна

( ⌊ |||{ ⌈ax2− 16x+ 16= 0 x = x1 |||( x≤ x1

Заметим, что $D > 0,$ следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был $< x , 1$ а второй $≥ x1.$

Ветви параболы $f = ax2− 16x +16$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $x1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$x1$

Это задается следующими условиями:

(|⌊ (|a(4a−-7) (| ⌊({ f(x )= 0 |||||| ||{ (a− 2)2 = 0 ||||| || 1 ||||||| |8 2 { |⌈( x0 < x1 ⇔ {|| ||(a < −a-−-2 ⇔ 0 < a≤ 7 ||| f(x1)< 0 ||||⌈ a(4a − 7) 4 |||( |||| (a−-2)2-< 0 0< a< 2 |||( 0< a < 2

$a = 0$

Тогда система равносильна

( ⌊ |||{ ⌈x = 1 x = 1 ⇔ x= 1 |||( x≤ 1

Следовательно, $a= 0$ нам не подходит.

$a < 0$

Тогда система равносильна

(| ⌊ 2 ||{ ⌈ax − 16x+ 16= 0 | x = x1 ||( x≤ x1

Заметим, что $D > 0,$ следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был $<x1,$ а второй $≥ x1.$

Ветви параболы $2 f = ax − 16x +16$ направлены вниз, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $x1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$x 1$

Это задается следующими условиями:

( ⌊( a(4a− 7) (|⌊ ({ ||||| ||||{ -(a-− 2)2-= 0 ||||| f (x1)= 0 |||| || 8 2 |{||⌈ (x0 < x1 |{ ||||||( a < −a-− 2 || f(x) >0 ⇔ || |⌈ ⇔ a < 0 ||||( 1 ||||| a(4a−-72)->0 a < 0 |||( (a− 2) a< 0

Следовательно, ответ

( 7] a∈ (−∞; 0)∪ 0;4 ∪{2;4}

Ответ:

$( ] a ∈(−∞; 0)∪ 0; 7 ∪ {2;4} 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#63286

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ 2 √-------- (x − 6x+ y+ 2) x − y +2 = 0 (y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Сделаем замену $x+ 1= t.$ Тогда система равносильна

(|| ⌊(t− 1)2− 6(t− 1)+ y+ 2 =0 |||| ⌈ { t− 1− y+ 2= 0 ||| t− 1 − y + 2≥ 0 |||( y = at ( ⌊ 2 |||| ⌈y =− (t− 4) + 7 ||{ y =t+ 1 | ||||| y ≤ t+ 1 ( y = at

Пусть $S$ — множество точек плоскости $tOy,$ лежащих либо на части параболы $y = −(t− 4)2+ 7,$ лежащей ниже прямой $y = t+ 1,$ либо на прямой $y = t+1.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $y = at,$ проходящая через начало координат плоскости $tOy,$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения параболы $y = −(t− 4)2+ 7$ и прямой $y = t+ 1:$

2 − (t− 4) +7 = t+ 1 ⇔ t= 2;5

Получаем точки $(2;3)$ и $(5;6).$

Изобразим граничные положения прямой $y = at:$

$tyyy136125(((( = =1234))))−t+(t−1 4)2+ 7$

Нам подходят следующие положения.

Положение 1, при котором прямая $y = at$ параллельна прямой $y = t+ 1.$

Все положения между положением 2, когда прямая $y = at$ проходит через точку $(5;6)$ и положением 3, когда прямая $y = at$ проходит через точку $(2;3),$ включая положение 2.

Положение 4, когда прямая $y =at$ касается левой ветви параболы.

Выпишем соответствующие каждому положению значения параметра.

Положение 1. Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то $a = 1.$

Положение 2. Прямая $y = at$ проходит через точку $(5;6):$

6 =5a ⇔ a= 6 5

Положение 3. Прямая $y = at$ проходит через точку $(2;3):$

3 3 =2a ⇔ a= 2

Положение 4. Прямая $y = at$ касается параболы $2 y = −(t− 4) +7,$ если имеет единственное решение уравнение

−(t− 4)2 +7 = at ⇔ t2+ (a− 8)t+ 9 =0

Следовательно, его дискриминант

D = (a− 8)2 − 62 = 0 ⇔ a = 2;14

При $a= 2$ прямая $y =at$ касается части параболы, лежащей выше прямой $y = t+1,$ то есть не принадлежащей множеству $S,$ так как точка касания ищется по формуле $8−-a t0 = 2 .$ При $a= 14$ прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит $a = 14.$

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

[ ) a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14} 5 2

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = ax+ a$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно $x$ должно иметь 2 решения:

(x2− 6x+ ax +a +2)√x-−-ax-−-a+-2= 0 (⌊ || x2+ (a − 6)x +a +2 = 0 |{⌈ || (1− a)x = a− 2 |((1− a)x≥ a− 2

$a > 1$

Тогда система равносильна

(|⌊ 2 |||{|⌈ x + (a − 6)x+ a +2 = 0 x= x1 = a-−-2 ||||( 1 − a x ≤ x1

Число $x= x1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший $x1,$ либо два корня, причем ровно один из них меньше $x1,$ а второй соответственно $≥ x1.$

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a − 2)(a− 14).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = x + (a− 6)x+ a+ 2$ равна $6−a x0 = 2 .$

Если $D = 0,$ то $a = 2;14.$ При $a = 2$ получаем $x0 =2,$ $x1 = 0$ — не подходит. При $a= 14$ получаем $x0 = −4,$ $x1 = − 12 13$ — подходит.

Если $D > 0,$ то $a < 2$ или $a> 14.$ Ветви параболы $f = x2+ (a− 6)x +a + 2$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $x1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$x1$

Это задается следующими условиями:

(| ⌊({ (| ⌊(| (2a-− 3)(5a−-6) |||| | f(x1)= 0 |||| ||{ (a− 1)2 = 0 ||||{ ||⌈( x0 < x1 ||||{ ||||| 6− a a− 2 f (x )< 0 ⇔ ||( -2--< 1−-a ||| 1 ||| ⌈(2a−-3)(5a−-6) ||||| D > 0 ||||| (a− 1)2 < 0 |( a> 1 |( a∈ (1;2)∪(14;+∞ )

Отсюда получаем

6 3 5 ≤ a< 2

Следовательно, в этом случае получаем $6≤ a < 3 5 2$ или $a= 14.$

$a < 1$

Тогда система равносильна

(⌊ 2 ||||{| x + (a − 6)x+ a +2 = 0 ⌈ x= x = a-−-2 |||| 1 1 − a (x ≥ x1

Число $x = x 1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший $x1,$ либо два корня, причем ровно один из них больше $x1,$ а второй соответственно $≤ x1.$

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a − 2)(a− 14).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = x + (a− 6)x+ a+ 2$ равна $6−a x0 =-2-.$

Если $D = 0,$ то $a= 2;14.$ Но эти $a$ не удовлетворяют условию $a< 1.$

Если $D > 0,$ то $a < 2$ или $a> 14.$ Учитывая, что $a< 1,$ рассматриваем только $a< 1.$ Тогда $x1 < 0,$ а $x0 > 0.$ Следовательно, $x1 < x0.$ Следовательно, число $x1$ может находиться разве что между корнями, либо совпадать с меньшим корнем. Получаем такую картинку:

$xx10$

Это задается условием

f(x1)≤ 0 ⇒ (2a−-3)(5a−2-6)≤ 0 (a− 1)

Отсюда получаем

6 ≤ a≤ 3 5 2

Эти значения не удовлетворяют условию $a< 1.$

Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

$a = 1$

Тогда система равносильна

( ⌊ |||{ ⌈x2 − 5x +3 = 0 √-- 0 ⋅x= −1 ⇔ x= 5±--13- |||( 2 0⋅x ≥− 1

Следовательно, $a= 1$ нам подходит.

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

[ ) a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14} 5 2

Ответ:

$[ ) a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14} 5 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Предыдущий раздел

Следующий раздел