Тема 17. Задачи по планиметрии

17.17 Задачи, требующие дополнительного построения

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#981

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, вдвое меньше другой биссектрисы. Найдите углы треугольника.

(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Показать ответ и решение

PIC

Пусть ABC  — равнобедренный треугольник с основанием AC.  Пусть BH  = 1CK,
      2  где BH  и CK  — биссектрисы. Пусть половина угла B  равна β,  а половина угла C  равна α.  Так как BH  также является и высотой, то 2α +β = 90∘.

Достроим △ABC  до параллелограмма ABCN,  продлив медиану BH  за точку H  на HN  = BH.  Мало того, так как BN  ⊥ AC,  то ABCN  — ромб. Тогда

∠ACN  = ∠ACB  = 2α

Проведем KM  ∥ BN,  M  лежит на прямой CN.  Тогда, так как к тому же KB ∥ MN,  KBNM  — параллелограмм, следовательно,

KM  = BN = KC

Значит, △CKM  равнобедренный и ∠KMC   = ∠KCM  = 3α.  Но ∠KMC   = ∠BNC  как соответственные при KM  ∥BN  и секущей CM.  Следовательно,

3α = ∠BNC  = ∠NBC  =β

Так как уже говорилось, что          ∘
β +2α = 90,  то находим      ∘       ∘
α = 18, β = 54 .  Следовательно, углы треугольника   ∘   ∘
36 , 36 и    ∘
108 .

Ответ:

36∘,36 ∘,108∘

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!