17.12 Теоремы Менелая и Чевы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть нам дан , проведем в нем медианы
и докажем что они пересекаются в
одной точке.
Воспользуемся теоремой Чевы:
Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На медиане треугольника
взята точка
причём
В каком отношении прямая
делит
сторону
Пусть — точка пересечения прямых
и
Запишем теорему Менелая для треугольника
и прямой
Отсюда искомое отношение равно
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и
расположены соответственно на сторонах
и
треугольника
причём
Прямая
пересекает продолжение стороны
в точке
Найдите отношение
Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой
Отсюда получаем
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике на середине стороны
отмечена точка
Точка
на продолжении стороны
за
точку
такова, что
Найдите меньший из отрезков, на которые прямая
делит сторону
если
Пусть — точка пересечения прямых
и
Способ 1.
По условию имеем:
Тогда по теореме Менелая для треугольника и прямой
Так как то искомый отрезок равен
Способ 2.
Проведем Тогда по теореме Фалеса точка
поделит
в том же отношении, что точка
поделит отрезок
Тогда
и так как
то
Заметим, что по двум углам, так как
— общий и
как соответственные. Тогда
имеем:
Отсюда получаем Далее, так как
— средняя линия в
то
Тогда окончательно
получаем
Очевидно, что так как отрезок
в таком случае равен
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через точку лежащую на медиане
треугольника
проведены прямые
и
При этом точки
и
лежат на сторонах
и
соответственно. Докажите, что
Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой
Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой
Из двух отношений получаем
Cледовательно, по обратной обобщенной теореме Фалеса
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах
и
треугольника
отмечены точки
соответственно, причем
Отрезки
и
пересекаются в точке
Докажите, что
—
параллелограмм.
Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой
Получили, что по обратной теореме о пропорциональных
отрезках.
Пусть — точка пересечения
и
Запишем теорему Менелая для треугольника
и прямой
Получили, что по обратной теореме о пропорциональных
отрезках.
Итого имеем и
следовательно,
— параллелограмм.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть нам дан , проведем в нем биссектрисы
и докажем что они пересекаются в
одной точке.
Воспользуемся свойством биссектрисы для всех трех биссектрис:
Для биссектрисы
Для биссектрисы
Для биссектрисы
Воспользуемся теоремой Чевы:
Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и
— середины сторон
и
соответственно выпуклого четырёхугольника
Отрезок
пересекает
диагонали
и
в различных точках
и
соответственно. Докажите, что
Пусть — точка пересечения диагоналей.
Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой
Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой
Объединив два результата выше, получаем
Что и требовалось доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть нам дан , проведем в нем высоты
и докажем что они пересекаются в
одной точке.
Заметим, что:
Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке.