17.13 Окружность. Хорды и касательные
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через концы диаметра окружности проведены две пересекающиеся на окружности хорды, сумма длин которых равна 14. Найдите сумму длин расстояний от центра окружности до этих хорд.
Пусть — диаметр,
— центр окружности,
и
— хорды,
Так как — вписанный и опирающийся на диаметр, то
Проведем
В четырехугольнике
три угла прямые, следовательно, по признаку он является
прямоугольником. Таким образом,
Заметим, что так как перпендикуляр из центра окружности к хорде делит ее пополам, то
Тогда имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что отличная от точка пересечения окружностей, построенных на сторонах
и
треугольника
как на
диаметрах, лежит на прямой
Пусть — вторая точка пересечения окружностей. Тогда имеет место одна из картинок ниже.
Угол как вписанный угол, опирающийся на диаметр
Аналогично
как вписанный угол,
опирающийся на диаметр
Таким образом, через точку прямой
проведены две прямые
и
перпендикулярные
Следовательно, эти
прямые совпадают. Значит, точки
и
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки их пересечения до
центра окружности, если расстояние между серединами хорд равно .
Пусть – точка пересечения взаимно перпендикулярных хорд
и
,
– центр окружности.
Тогда необходимо найти
.
Пусть и
– середины этих хорд, то есть
. Тогда
и
– перпендикуляры к этим
хордам.
Действительно, – равнобедренный (
как радиусы), поэтому медиана
в нем
является и высотой. Аналогично доказывается, что
.
Таким образом, в четырехугольнике три угла – прямые (
),
следовательно, этот четырехугольник по признаку является прямоугольником. Так как в
прямоугольнике диагонали равны, то
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
К двум окружностям, пересекающимся в точках и
проведена общая касательная. Докажите, что если
и
— точки
касания, то
Пусть Если это не так, что переобозначим точки
и
Обозначим за
угол
за
— угол
Так как это углы между касательной
и хордами
и
соответственно, то каждый из них равен половине дуги,
заключенной между касательной и соответствующей хордой:
Заметим, что — вписанный, опирающийся на
следовательно,
Аналогично
Таким
образом,
Тогда из имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите геометрическое место точек, из которых проведены касательные к
данной окружности, равные заданному отрезку.
Пусть касательная, проведённая из точки к данной окружности, равна
(т. е. отрезок с концами в точке
и в точке касания равен заданному), а
радиус этой окружности равен
. Тогда точка
удалена от центра
окружности на расстояние, равное
. Следовательно, точка
расположена на окружности с тем же центром, что и данная, и радиусом,
равным
. С другой стороны, если точка
лежит на окружности
радиуса
с центром в точке
(центре данной окружности), то
касательная, проведённая из точки
к данной окружности, равна
.
Окружность с центром исходной окружности и радиусом , где
—
радиус данной окружности, а
— длина касательной.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите радиус окружности, проходящей через вершину прямого угла треугольника
,
основание
высоты
и точку
— середину катета
, если гипотенуза треугольника равна
.
Сразу заметим, что — вписанный угол, следовательно, он опирается на диаметр. Значит, если
– точка пересечения окружности с катетом
, то
– диаметр.
Заметим, что в
— медиана, проведенная из вершины прямого угла, следовательно, она
равна половине гипотенузы, то есть
.
Таким образом, прямоугольные треугольники и
(
, т.к. опирается на диаметр)
равны по катету и гипотенузе. Значит,
содержит биссектрису
, а так как
равнобедренный, то и высоту, то есть
.
По условию также , следовательно,
. Значит, по теореме Фалеса
– середина
катета
, то есть
– средняя линия в
.
Значит, радиус окружности равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две концентрические окружности с радиусами и
и центром
. Третья окружность
касается одной окружности внешним образом и другой окружности внутренним образом. Найдите угол
между проведенными из точки
касательными к третьей окружности.
Если две окружности касаются, то их центры и точка касания лежат на одной прямой. Таким образом,
для второй и третьей окружностей точки ,
и
лежат на одной прямой, для первой и третьей —
точки
,
и
лежат на одной прямой. Таким образом, точки
лежат на одной
прямой.
Поскольку ,
, то диаметр третьей окружности
, следовательно, ее
радиус
.
Пусть касательные к третьей окружности касаются ее в точках и
. Тогда радиусы
и
перпендикулярны касательным
и
соответственно. Таким образом,
по
катету и гипотенузе, следовательно,
.
Найдем . Заметим, что в
катет
, гипотенуза
. Следовательно,
как угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы.
Тогда .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Хорда разбивает окружность
на две дуги. Окружность
касается хорды
в точке
и
одной из дуг в точке
.
Докажите, что прямая проходит через середину
второй дуги.
Предположим, что прямая пересекает вторую дугу в точке
и
– не середина этой дуги.
Отметим точку
– середину дуги
.
Рассмотрим и
. Они равнобедренные, т.к.
– радиусы окружности
,
– радиусы окружности
.
Рассмотрим окружность . Т.к. угол между касательной и хордой, проходящей через точку
касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то угол между касательной
и хордой
равен половине дуги
(которая меньше полуокружности по рисунку). Обозначим
. Следовательно,
, т.к. он центральный, опирающийся на дугу
,
равную
.
Рассмотрим окружность . Т.к.
– середина дуги
, то
. Следовательно, в
равнобедренном треугольнике
– биссектриса. Следовательно, она и высота, то
есть
. Но
(как радиус, проведенный в точку касания в окружности
), следовательно, обе прямые
и
перпендикулярны
, следовательно, они
параллельны.
Заметим, что т.к. окружности и
касаются, то их центры
и
и точка касания
лежат на
одной прямой.
Таким образом, как соответственные углы при
и
–
секущей.
Значит, . А т.к. точки
лежат на одной прямой, то и
точки
лежат на одной прямой. Следовательно,
совпадает с
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан такой треугольник , что окружность с центром в точке
проходит через точки
и
и
касается биссектрисы угла
. Прямая
пересекает повторно окружность в точке
. Внутри угла,
вертикального к
, выбрана точка
так, что две касательные, проведенные из точки
к
окружности, параллельны прямым
и
соответственно, а отрезки этих касательных равны
. Найдите квадрат стороны
, если известно, что
, а радиус окружности равен
.
Заметим, что – диаметр, а
как опирающийся на диаметр.
По условию . Пусть также
– биссектриса угла
.
Обозначим . Т.к. угол между касательной и хордой, проходящей через точку
касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то
.
Т.к. .
— биссектриса угла
, следовательно,
. Тогда из
:
Тогда .
Следовательно, . Следовательно
Найдем из
по теореме косинусов: для этого нужно найти
.
.
Значит, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
А вот и вторая геометрическая задачка из воспоминаний Деда Мороза: Две
окружности разных радиусов пересекаются в точках и
причем их
центры лежат по разные стороны от хорды
Вне обеих окружностей
взята точка
лежащая по ту же сторону от хорды
что и центр
меньшей окружности. Прямая
пересекает меньшую окружность в
точках
и
а большую — в точках
и
Прямая
пересекает
меньшую окружность в точках
и
а большую — в точках
и
а) Докажите, что =
б) Найдите сумму произведений длин противоположных сторон четырехугольника
если
и
а) Вспомним теорему о двух секущих и распишем ее для обеих окружностей.
Для меньшей окружности справедливо:
откуда
Для большей окружности справедливо:
откуда
Из двух пропорций, в которых левые части одинаковы, выводим:
Ч.Т.Д.
б)
1. В пункте а) мы доказали равенство:
Из него по обратной теореме Фалеса следует, что и
2. Из подобия выводим равенства углов:
3. В условии пункта б) утверждается, что С учетом с
прошлых двух тождеств этот тезис дает понять, что
и
на самом
деле равнобедренные.
4. Отсюда получаем, что трапеция также равнобедренная. У любой
равнобедренной трапеции сумма противоположных углов равна
следовательно, она вписанная.
5. Для вписанного четырехугольника справедлива теорема Птолемея, гласящая о том, что сумма произведений длин противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению длин его диагоналей, то есть
NOTA BENE: Заметим, что теоремы Птолемея нет в учебниках федерального перечня, поэтому перед её применением на ЕГЭ следует привести её доказательство.