17.14 Вписанная и вневписанная окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Катеты прямоугольного треугольника равны и
, а гипотенуза равна
. Докажите, что радиус
вписанной окружности равен
1 способ
Рассмотрим прямоугольный , пусть
. Проведем радиусы
в точки касания. Обозначим также радиус
.
Рассмотрим четырехугольник . У него 3 угла прямые, следовательно, по признаку он
является прямоугольником. Также соседние стороны (
) у него равны. Следовательно,
все его стороны равны
(то есть это квадрат). Таким образом,
.
Значит, ,
. Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки к
окружности, равны, то
,
.
Таким образом, гипотенуза . Но с другой стороны гипотенуза равна
.
Таким образом,
2 способ
Как известно, площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной
окружности. Т.к. ,
, то
По теореме Пифагора , следовательно,
. Сделаем преобразования:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность касается стороны и продолжений сторон
треугольника
Найдите радиус этой
окружности.
Заметим, что треугольник — равнобедренный. Так как центр окружности равноудален от сторон угла
то он лежит на
биссектрисе этого угла, то есть
— биссектриса
Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса является также медианой и высотой. Следовательно, так как
—
точка касания и
то точка
лежит на отрезке
Далее, по двум углам. Следовательно,
Таким образом, для того, чтобы найти нужно сначала найти
По теореме Пифагора из
Тогда имеем уравнение:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность касается стороны и продолжения сторон
и
треугольника
причем
Найдите радиус этой окружности.
Так как окружность вписана в угол то ее центр лежит на его биссектрисе, следовательно,
— биссектриса
Обозначим Тогда имеем:
Так как — равнобедренный, то
Таким образом,
Следовательно, углы и являются соответственными при прямых
и
и секущей
Тогда по
признаку
Проведем Так как
— равнобедренный, то
— медиана.
Далее, как отрезки перпендикулярных прямых, заключенные между параллельными прямыми
и
Отрезок
можно найти по теореме Пифагора из
Тогда искомый радиус равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность с центром , вписанная в треугольник
, касается сторон
и
в точках
и
соответственно. В четырёхугольник
можно вписать окружность. Найдите угол
, если известно, что радиус
этой окружности вдвое меньше радиуса вписанной окружности треугольника
. Ответ дайте в градусах.
Пусть — радиус окружности вписанной в четырёхугольник
. Тогда
радиус вписанной окружности треугольника
равен
. Если
окружность с центром
, вписанная в четырёхугольник
,
касается его стороны
в точке
, а стороны
— в точке
,
то
Из прямоугольного треугольника находим, что
.
Тогда
. Следовательно,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырехугольник описан около окружности с центром
Докажите, что
Если окружность вписана в многоугольник, то ее центр лежит на пересечении биссектрис углов этого многоугольника.
Действительно, окружность вписана в угол следовательно, центр окружности лежит на биссектрисе этого угла. Аналогично
можно сказать и про остальные углы.
Введем обозначения:
Сумма углов четырехугольника равна следовательно,
Из имеем:
Из имеем:
Таким образом,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность, вписанная в треугольник , площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной
стороне
. Известно, что
. Найдите сторону
.
(МИОО 2013)
Пусть средняя линия, параллельная
.
,
,
,
— точки касания вписанной в
окружности со сторонами трапеции
. Везде далее
— полупериметр
,
— радиус вписанной
окружности.
,
как радиусы к точкам касания, тогда
.
Пусть — высота из вершины
треугольника
, тогда
.
Пусть — расстояние от
до
,
— расстояние от
до
. Ясно, что
, при этом
, т.к.
— средняя линия. Значит,
.
Обозначим ,
, тогда
.
,
,
как
отрезки касательных.
13 или 20.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В угол с градусной мерой вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей
окружности равен
. Найдите радиус большей окружности.
Пусть — радиус большей окружности,
и
— центры маленькой и большой окружностей соответственно.
Опустим перпендикуляр из центра
меньшей окружности на радиус
большей окружности,
проведённый в точку касания с одной из сторон данного угла. Получим прямоугольный треугольник
с
гипотенузой
и катетом
. Найдем острый угол
.
Пусть — вершина угла, в который вписаны обе окружности. Заметим, что прямая
является биссектрисой
угла, в который вписаны окружности. Значит,
. Прямые
и
параллельны, так как
и
. Тогда соответственные углы
и
, образованные параллельными прямыми
и
и секущей
, равны, то есть
.
Тогда в прямоугольном треугольнике катет
, лежащий напротив угла в
, в два раза меньше
гипотенузы
, то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности касаются друг друга внутренним образом. Известно, что два радиуса большей окружности, угол
между которыми , касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.
Пусть окружности с центрами и
и радиусами
и
(
) соответственно касаются внутренним образом в
точке
, а радиусы
и
большей окружности касаются меньшей в точках
и
соответственно, причём
.
Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то , а так как
линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, то
Рассмотрим треугольник . В этом треугольнике
, так как радиус
, проведенный в
точку
, перпендикулярен касательной к окружности в этой точке. Тогда в прямоугольном треугольнике
катет
, лежащий напротив
, в два раза меньше гипотенузы
, то
есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность с центром на основании треугольника касается его боковых сторон и средней линии. Найдите основание, если боковые стороны
треугольника равны и
.
Рассмотрим рисунок. Пусть — основание,
,
,
— средняя линия,
— центр окружности,
— точка касания
со средней линией. Проведем диаметр
и через точку
проведем прямую, параллельную
и пересекающую прямые
и
в
точках
и
соответственно. Тогда
— трапеция. Так как
, то по теореме Фалеса
,
,
следовательно,
— средняя линия этой трапеции.
Пусть , значит,
,
. Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон
этого четырехугольника равны, следовательно,
. Так как
,
, то
,
, следовательно,
. Отсюда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике известны стороны:
,
,
.
Окружность, проходящая через точки
и
, пересекает прямые
и
соответственно в точках
и
, отличных от вершин треугольника. Отрезок
касается окружности, вписанной в треугольник
. Найдите длину
отрезка
.
Обе точки и
не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае
отрезок
не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней
мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки и
лежат на сторонах треугольника. Четырёхугольник
— вписанный, следовательно,
Значит, треугольник подобен треугольнику
, так как угол
— общий.
Пусть вписанная окружность касается стороны в точке
,
и
— полупериметры треугольников
и
соответственно.
Тогда
значит, коэффициент подобия треугольников равен . Следовательно,
Пусть точка лежит на продолжении стороны
. Вписанные углы
и
равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. Значит,
треугольник
подобен треугольнику
, так как угол
—
общий. Эти треугольники описаны около одной и той же окружности,
следовательно, коэффициент подобия равен 1, т. е. треугольники равны,
поэтому
.
Заметим, что и точка
действительно лежит на
продолжении стороны
.
Если же точка лежит на продолжении стороны
, то
, но
аналогично предыдущему случаю получаем, что
. Значит, этот
случай не достигается.
И 10
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность касается стороны треугольника
в точке
, а
продолжений сторон
и
— в точках
и
соответственно.
Вписанная окружность треугольника
касается стороны
в точке
,
а стороны
— в точке
. Докажите, что:
а) отрезок равен полупериметру
треугольника
;
б) ;
в) .
а) Поскольку ,
и
, то
Следовательно,
б)
в)
Задача на доказательство
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямые и
касаются окружности с центром
(
и
— точки
касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая прямые
и
в точках
и
Докажите, что величина угла
не зависит
от выбора третьей касательной.
Обозначим Пусть
— точка касания окружности с прямой
Тогда
Задача на доказательство
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан остроугольный треугольник Биссектриса внутреннего угла при
вершине
пересекает биссектрису внешнего угла при вершине
в точке
а биссектриса внутреннего угла при вершине
пересекает биссектрису
внешнего угла при вершине
в точке
а) Докажите, что
б) Найдите если
а) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому
Из точек
и
отрезок
виден под прямым углом, значит,
эти точки лежат на окружности с диаметром
Вписанные в эту
окружность углы
и
опираются на одну и ту же дугу,
следовательно,
б) Пусть — точка на продолжении стороны
за вершину
Поскольку
— точка пересечения биссектрисы внутреннего угла при вершине
треугольника
и внешнего угла при вершине
этого треугольника,
луч
— биссектриса внешнего угла при вершине
т. е. угла
а так
как
— вершина равнобедренного треугольника
то
(биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника
параллельна основанию). Аналогично
. Тогда точка
лежит на
отрезке
— равнобедренная трапеция, вписанная в окружность с
диаметром
а точка
— центр окружности, описанной около этой
трапеции.
Пусть — высота равнобедренного треугольника
а
— высота
трапеции
Тогда
Следовательно,
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в пять раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
а) Пусть вписанная окружность с центром касается боковой стороны
и
основания
равнобедренного треугольника
в точках
и
(рис. 1), а окружность с центром
касается боковой стороны
,
продолжения основания
в точке
и продолжения боковой стороны
в точке
Тогда
— высота треугольника
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
— биссектриса угла
В четырёхугольнике
угол
—
прямой как угол между биссектрисами смежных углов
и
а так
как
то
— прямоугольник, поэтому
б) Пусть радиус окружности с центром равен
(рис. 2). Тогда радиус
окружности с центром
равен
Из прямоугольного треугольника находим, что
Прямоугольные треугольники и
подобны по двум углам,
поэтому
откуда
По теореме об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной
точки . Следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике проведена биссектриса
На стороне
взята точка
такая, что
Докажите, что
— биссектриса
Пусть
Тогда по условию
Отложим на луче точку
так, что
Тогда
как внешний угол треугольника
Тогда имеем:
Таким образом, — биссектриса внешнего угла
треугольника
которая пересекается с биссектрисой
в точке
Тогда — центр вневписанной окружности треугольника
которая
касается стороны
Значит,
является биссектрисой угла
Что и
требовалось доказать.
Задача на доказательство
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан описанный четырехугольник c диагональю
В треугольники
и
вписали окружности. Докажите,
что эти окружности касаются и диагональ
является их общей касательной.
Пусть и
Пусть
— вписанная окружность треугольника
—
вписанная окружность треугольника
По условию — описанный четырехугольник, значит, суммы длин его противоположных сторон равны, то
есть
Нам нужно доказать, что окружности касаются и диагональ является их общей касательной. Мы знаем, что прямая
является касательной каждой из окружностей, значит, нам достаточно доказать, что точки касания окружностей с прямой
совпадают.
Пусть касается
в точке
а
касается
в точке
Тогда нужно доказать, что точки
и
совпадают, то есть, что отрезки
и
равны.
Докажем лемму.
Длина касательной из вершины треугольника к его вписанной окружности равна разности полупериметра и
противоположной стороны. В частности,
Рассмотрим произвольный треугольник Пусть его вписанная окружность касается сторон
и
в точках
и
соответственно. Тогда найдем длину отрезка касательной
к вписанной окружности. Мы знаем, что отрезки
касательных с окружности, проведенных из одной точки, равны. Поэтому
и
Тогда можем составить систему:
Вернемся к исходной задаче. Применим доказанную лемму к треугольнику и вписанной окружности
Получим,
что
Применим лемму к треугольнику и вписанной окружности
Вспомним, что так как
— описанный четырехугольник. Тогда
Значит, то есть
совпадает с
Следовательно, окружности
и
касаются, а диагональ
является их общей касательной.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.
(МИОО 2012)
Пусть — треугольник с прямым углом при вершине
. Сразу ясно, что возможны два случая: обе окружности
касаются катетов либо одна из окружностей касается гипотенузы.
I случай
Пусть — центр вневписанной окружности, касающейся стороны
,
— центр вневписанной окружности,
касающейся стороны
. Точки
,
,
,
— соответствующие точки касания с прямыми, содержащими
стороны треугольника. Тогда
, так как соответствующие радиусы в точки
касания перпендикулярны касательным, при этом угол
треугольника
прямой, значит,
и
— прямоугольники. Кроме того,
,
как отрезки касательных
и
—
квадраты.
Точки и
равноудалены от сторон углов с вершиной в точке
точки
,
лежат на
биссектрисах этих углов
точки
,
,
лежат на одной прямой. Окончательно по теореме Пифагора
.
II случай
Пусть — центр вневписанной окружности, касающейся стороны
,
— центр вневписанной окружности,
касающейся стороны
. Точки
,
,
,
— соответствующие точки касания с прямыми, содержащими
стороны треугольника. Тогда
, так как соответствующие радиусы в точки
касания перпендикулярны касательным, при этом угол
треугольника
прямой, значит,
и
— прямоугольники. Кроме того,
,
как отрезки касательных
и
—
квадраты.
Пусть — точка пересечения прямой
и отрезка
. Тогда очевидно, что
— прямоугольник и
,
,
. Окончательно по теореме Пифагора
.
или