17.14 Вписанная и вневписанная окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан описанный четырехугольник c диагональю В треугольники и вписали окружности. Докажите, что эти окружности касаются и диагональ является их общей касательной.
Пусть и Пусть — вписанная окружность треугольника — вписанная окружность треугольника
По условию — описанный четырехугольник, значит, суммы длин его противоположных сторон равны, то есть
Нам нужно доказать, что окружности касаются и диагональ является их общей касательной. Мы знаем, что прямая является касательной каждой из окружностей, значит, нам достаточно доказать, что точки касания окружностей с прямой совпадают.
Пусть касается в точке а касается в точке Тогда нужно доказать, что точки и совпадают, то есть, что отрезки и равны.
Докажем лемму.
Длина касательной из вершины треугольника к его вписанной окружности равна разности полупериметра и противоположной стороны. В частности,
Рассмотрим произвольный треугольник Пусть его вписанная окружность касается сторон и в точках и соответственно. Тогда найдем длину отрезка касательной к вписанной окружности. Мы знаем, что отрезки касательных с окружности, проведенных из одной точки, равны. Поэтому и
Тогда можем составить систему:
Вернемся к исходной задаче. Применим доказанную лемму к треугольнику и вписанной окружности Получим, что
Применим лемму к треугольнику и вписанной окружности
Вспомним, что так как — описанный четырехугольник. Тогда
Значит, то есть совпадает с Следовательно, окружности и касаются, а диагональ является их общей касательной.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!