Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.03 Банковский кредит: аннуитетный платеж

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#377

Для покупки квартиры Алексею не хватало 1 209 600 рублей, поэтому в январе 2015 года он решил взять в банке кредит под 10% годовых на 2 года. Условия пользования кредитом таковы:

– раз в год 15 декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты, то есть долг увеличивается на 10%;

– в период с 16 по 31 декабря Алексей обязан перевести в банк некоторый платеж в x  рублей.

Чему должен быть равен x,  чтобы Алексей выплатил долг равными платежами?

Показать ответ и решение

Так как процентная ставка в банке равна 10%, то 15 декабря 2015 года долг Алексея составит 110% от первоначальной суммы (1 209 600 рублей), то есть будет равен 1,1⋅1209600  рублей. После этого Алексей переводит банку x  рублей, то есть его долг уменьшается на x  и будет равен (1,1 ⋅1209600− x)  рублей.

До 15 декабря 2016 года долг Алексея остается неизменным, то есть равен (1,1⋅1209600− x)  рублей. 15 декабря 2016 банк снова увеличивает долг на 10%, то есть долг Алексея уже будет равен 1,1⋅(1,1⋅1209600− x)  рублей.

После этого Алексей снова переводит банку x  рублей, следовательно, долг равен

1,1⋅(1,1 ⋅1 209 600 − x)− x

Так как в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то

  1,1⋅(1,1⋅1209600− x)− x= 0  ⇒
⇒   1,12⋅1209600− 1,1x− x= 0  ⇒
          1,12⋅1209600
   ⇒   x= ---1,1+-1---= 696960

Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу:

Год Сумма долга до начисления % После начисления % После платежа
(до 15 декабря) (15 декабря) (с 16 по 31 декабря)
1 1 209 600 1,1⋅1209600  1,1⋅1209600− x
2 1,1 ⋅1209600− x  1,1 ⋅(1,1⋅1209600− x)  1,1⋅(1,1⋅1209600− x)− x
Ответ: 696 960 рублей
Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Верно построена математическая модель

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#378

Екатерина взяла кредит в банке на сумму 680000 рублей, которой ей не хватало для покупки квартиры. Кредит она решила взять 1 марта на 2 месяца на следующих условиях:

– 17-ого числа каждого месяца, начиная с марта, долг увеличивается на 12,5% по сравнению с долгом на начало текущего месяца;

– в период с 18-ого по 30-ое числа Екатерина должна выплатить часть долга одним платежом, причем ежемесячные платежи одинаковы.

Сколько рублей составила переплата Екатерины по данному кредиту?

Показать ответ и решение

Если долг увеличивается на 12,5%, то это значит, что он умножается на число, равное

    12,5-  112,5-  9
1 + 100 =  100  = 8

Составим таблицу (считать будем в тыс. рублей), где x  — ежемесячный платеж:

Месяц Сумма долга до % Сумма долга % Платеж После платежа
1 680 98 ⋅680  x  98 ⋅680 − x
2 98 ⋅680− x     (        )
98 ⋅ 98 ⋅680− x x    (        )
98  98 ⋅680− x − x

Кредит был полностью выплачен, следовательно,

      (        )
   9 ⋅ 9 ⋅680 − x − x= 0
   8   8
        92-       2
x= 6809-⋅82 = 680⋅ 92 ⋅-8 = 405
     8 + 1      8  17

Таким образом, переплата по кредиту в тыс. рублей составила

2x − 680 =810− 680= 130
Ответ: 130 000 рублей
Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Верно построена математическая модель

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#379

Бизнесмен Олег в январе 2016 года взял кредит в банке под 20 % годовых, причем выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту составила 675 500 рублей?

Показать ответ и решение

Пусть A  рублей – сумма кредита, x  рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:

Год Сумма долга до начисления % Сумма долга после начисления % и платежа
1 A  1,2A − x
2 1,2A− x  1,2(1,2A − x)− x
3 1,2(1,2A − x)− x  1,2(1,2(1,2A − x)− x)− x

Следовательно,

1,2(1,2(1,2A − x) − x)− x =0 (∗)

Всего за три года Олег выплатил банку 3x  рублей, а его переплата составила 3x − A = 675500  рублей. Отсюда A= 3x − 675500.  Подставим это значение в (∗):

  3                   2
1,2  ⋅(3x− 675500)− x(1,2 + 1,2 +1) =0 ⇒

    ---1,23⋅675500---  123⋅675500
x = 3⋅1,23− 1,22− 2,2 =   1544    =756000 ⇒ 3x= 2268000 рублей
Ответ: 2 268 000 рублей
Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Верно построена математическая модель

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1698

Банк «Дрынькофф» предлагает кредит на 3 года на покупку машины стоимостью 546 000 рублей на следующих условиях:

– раз в год банк начисляет на остаток долга 20%;

– после начисления процентов клиент обязан внести некоторую сумму в счет погашения части долга;

– выплачивать кредит необходимо равными ежегодными платежами.

Сколько рублей составит переплата по такому кредиту?

Показать ответ и решение

Составим таблицу, делая вычисления в тыс.рублей и обозначив ежегодный платеж по кредиту за x :

|----|-------------------|----------------------|-------------------------|
 Год  Долг до начисления % Долг после начисления %      Долг после плат&#x043
|1---|--------546---------|-------1,2⋅546--------|-------1,2⋅546−-x--------|
|2---|----1,2⋅546−-x-----|----1,2(1,2⋅546−-x)----|---1,2(1,2-⋅546-− x)−-x----|
-3-----1,2(1,2⋅546-− x)-− x-1,2(1,2(1,2-⋅546-− x)−-x)-1,2(1,2(1,2⋅546−-x)−-x)−-x-

Так как в конце 3-его года кредит должен быть выплачен полностью, то долг на конец 3-его года составит 0 рублей, то есть

1,2⋅(1,2 ⋅(1,2⋅546− x)− x)− x = 0

1,23 ⋅546− x(1,22 +1,2+ 1)= 0  (∗)

Переплата — это та сумма, которую заплатит клиент банку сверх кредита. Так как каждый год клиент переводил в банк    x  рублей, то за 3 года он заплатил банку 3x  рублей, значит, его переплата составит 3x − 546  рублей. Следовательно, необходимо найти x  из уравнения (∗):

x = --1,23-⋅546---= 1,23-⋅546-
    1,22+1,2+ 1     3,64

Домножим числитель и знаменатель дроби на 1000, чтобы избавиться от десятичных дробей:

     3
x= 12-⋅546
     3640

Выполняя сокращения, получим x= 259,2  тыс.рублей.

Значит, переплата в тыс. рублей равна

3x− 546= 231,6
Ответ: 231 600 рублей
Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Верно построена математическая модель

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2712

Руслан взял кредит в банке под y  % годовых. Выплачивать кредит он должен в течение двух лет равными ежегодными платежами, переводимыми в банк после начисления процентов. Под какой процент y  был взят кредит, если ежегодный платеж составил    -81
   136  от суммы кредита?

Показать ответ и решение

Пусть Руслан взял в банке A  рублей, а его ежегодный платеж составил x  рублей. Тогда из условия следует, что     81-
x = 136A  .

 

Если процентная ставка в банке составляет y%  , то это значит, что после начисления процентов долг увеличивается в 100+-y
  100  раз (это процент, переведенный в десятичную дробь, например 120%  – это 1,2  ). Следовательно, например, в конце первого года долг будет равен 100+ y
-100--A  рублей.

 

Обозначим за    100+ y
t= -100--  и составим таблицу:

|Год-|Сум-ма долга до-начисления %|После начисления %|После платеж-
|1---|------------A-------------|-------t⋅A--------|---t⋅A−-x----|
-2-------------t⋅A-−-x--------------t⋅(t⋅A-− x)-----t⋅(t⋅A-−-x)− x-

Т.к. в конце 2  -ого года кредит должен быть выплачен полностью, то

t⋅(t⋅A − x)− x= 0⇔  t2A = x(t +1)⇒  t2A = 81-A⋅(t+ 1)
                                      136  .

 

Т.к. A> 0  , то можно разделить обе части уравнения на A ⇒

136t2− 81t− 81= 0⇒ t = 9= 100+-y ⇒ y = 12,5%
                      8    100

 

Заметим, что в данной задаче сумма кредита не играет роли (мы ее приняли за A  и потом разделили на нее обе части уравнения).

Ответ:

12,5%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#603

Определите, где выгоднее взять кредит: в банке А на 4 года под 12, 5%  годовых или в банке Б на 2 года под 2847%  годовых, если в обоих банках погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов равными ежегодными платежами.
Сколько процентов от суммы кредита составляет переплата по выгодному кредиту? Результат округлите до целого числа.

Показать ответ и решение

а) Пусть необходимо взять кредит на сумму A  рублей.

 

1) Составим таблицу для банка А, приняв за x  ежегодный платеж. Заметим, что каждый год после начисления процентов долг будет составлять 112,5%  от предыдущего долга, то есть будет увеличиваться в 1,125  раз. Также заметим, что          9
1,125 =  8   .

|------------|----------------------------|---------------------------------|
|Ном-ер-года-|Д-олг-посл-е н-ачислен-ия-%-|------До-лг-после-плат-ежа-------|
|1           |            9A              |             9A − x              |
|2-----------|--------9-(98A-−--x)---------|--------9(9A-8−-x)-−-x-=---------|
|            |        8  8                |       (89 8)2       9             |
|------------|------(--(-------)----)-----|-----(--(8--A-−-)x(8-+)-1)--------|
|3           |    98  98  98A − x  − x       |    98  98 98A −  x(  − x  − x = )   |
|            |                            |    (9-)3        (9)2   9        |
|------------|----------------------------|--=---8--A-−(--x---8--+--8 +-1--)-|
|4           | 9(9 (9(9-A − x) − x ) − x )|(9)4A  − x  (9)3 + (9)2 + 9 + 1  |
---------------8-8--8--8--------------------8-----------8------8-----8-------

В конце 4-ого года (после платежа) долг выплачен полностью, то есть это значит, что

             (                       )
( 9 )4        ( 9 )3   ( 9)2    9
  --   A − x    --   +   --  +  --+ 1   = 0,
  8             8        8      8

откуда

            (  )
x             9 4
--=  (9)3---(98)2---9-----
A     8   +  8   + 8 + 1

Знаменатель представляет собой сумму первых 4 членов геометрической прогрессии, где a1 = 1  , а q =  9
     8   . Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получим:

     (9)4 (9    )        4
x-=  -8(-)-8-−-1- = ----9-----
A       9 4 − 1     8 (94 − 84)
        8

Тогда величина 4x-
A  показывает, какую часть составляет общая сумма выплат 4x  по кредиту от самого кредита A  :

4x       4 ⋅ 94
---=  ---4----4-
 A    8(9  − 8 )

2) Аналогично составим таблицу для банка Б (пусть y  – ежегодный платеж), заметив, что          4     900
100 + 28 7% =  -7-%  , а       900   9
0,01 ⋅-7- = 7   :

|-------------|----------------------------|---------------------|
|Н-ом-ер-года-|Д-олг-посл-е н-ачислен-ия-%-|До-лг-после-плат-ежа-|
|1------------|------------97A--------------|-------97A-−-y--------|
|2            |        9 (9A −  y)         |  (9)2A −  y(9+  1)  |
-----------------------7--7--------------------7---------7--------

Поступая аналогично первому пункту, найдем

            2
2y- = --2-⋅ 9---
 A    7 ⋅ (9 + 7)

Тот банк, в котором общая сумма выплат составляет меньшую часть от кредита, и является наиболее выгодным банком. Таким образом, нам необходимо сравнить два числа:

  4 ⋅ 94        2 ⋅ 92
----------  и  ------
8(94 − 84)     7 ⋅ 16

Выполним сравнение, не вычисляя данные выражения:

             4                    2
---------4 ⋅-9----------  ∨   2-⋅ 9-
8(9 − 8 )(9 + 8)(92 + 82)      7 ⋅ 16
                 4 ⋅ 92       1
                --------  ∨   --
                17 ⋅ 145      7
               4 ⋅ 81 ⋅ 7 ∨   17 ⋅ 145
             (4 ⋅ 7) ⋅ 81 ∨   (17 ⋅ 5) ⋅ 29

Заметим, что 4 ⋅ 7 = 28 < 29,  81 < 17 ⋅ 5 = 85  . Значит, правая дробь больше левой. Таким образом, кредит в банке А выгоднее кредита в банке Б.

 

б) Переплата по выгодному кредиту равна 4x −  A  . Значит, необходимо найти

4x − A          ( 4x     )          (    4 ⋅ 94     )           1631
-------⋅ 100% =   --- − 1  ⋅ 100% =   ----4---4- − 1  ⋅ 100% =  -----⋅ 100% =  33,0...%
  A                A                  8 (9  − 8 )                4930

После округления до целого числа получим 33%  .

Ответ:

33%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#604

Фермер взял кредит в банке на 2  года под y%  годовых, причем выплачивать кредит он должен равными ежегодными платежами. Под какое наибольшее целое число y  процентов годовых он должен был взять кредит, чтобы его переплата по кредиту в конце второго года не превысила ежегодный платеж?

Показать ответ и решение

Введем обозначение: 100 + y
--------= t,A
  100  – сумма кредита, x  – ежегодный платеж. Составим таблицу:

|-----|-------------------------------|-----------------------------------------------|
|Год  |сумм а долга до нач ислени я % |су мм а д олга после на числени я % и 
|1----|--------------A----------------|-------------------t ⋅-A-−-x-------------------|
-2----------------t ⋅ A-−-x---------------------------t ⋅ (t-⋅ A-−-x)-−-x-------------|

Т.к. в конце второго года он выплатил кредит, то t ⋅ (t ⋅ A − x) − x = 0 (∗)  .

 

Заметим, что за два года он заплатил банку 2x  рублей, значит, его переплата по кредиту составила 2x − A  рублей. Т.к. переплата не должна превышать ежегодный платеж, то имеем следующее неравенство:
2x − A  ≤ x ⇒  x − A ≤  0  .
Выразим из (∗)  ежегодный платеж:       2
x =  -tA--
     t + 1  и подставим в неравенство:
 
     2                2
A ⋅ t-−-t-−-1-≤ 0 ⇒  t-−--t −-1-≤ 0
      t + 1            t + 1  , т.к. A >  0  .
 
Решив данное неравенство методом интервалов, получим:         1 + √5--
0 ≤ t ≤ -------
           2  (т.к. t  не может быть отрицательным).
 
Сделав обратную замену 100-+-y-= t
  100  , получим:          √ --
y ≤ 50 ⋅ ( 5 − 1)  .
 
Для того, чтобы найти наибольшее целое y  , необходимо оценить      √ --
50 ⋅ ( 5 − 1)  .
 
       √ ------                   √ --                √ --                      √ --
223 <    50000 < 224 ⇒  223 < 100   5 < 224 ⇒  2,23 <   5 < 2,24 ⇒  61,5 < 50 ⋅ ( 5 − 1) < 62  .
Таким образом, наибольшее целое y =  61  .

Ответ:

61%  .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#606

Кредит выдан на 3 года под целое кратное десяти число y  процентов годовых. Известно, что погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов равными платежами. Под какой процент      y  взят кредит, если известно, что ежегодный платеж относится к сумме кредита как 27 : 38  ?

Показать ответ и решение

Пусть A  и x  — суммы кредита и ежегодного платежа соответственно, а     100+y
t = -100-   . Составим таблицу:

------------------------------------------------------------------
|Н ом ер года |Д олг посл е н ачислен ия % |До лг после плат ежа |
|-------------|----------------------------|---------------------|
|1------------|------------tA--------------|-------tA-−-x--------|
|2------------|---------t(tA--−-x)----------|----t(tA-−-x-) −-x----|
-3-------------------t(t(tA-−-x-) −-x)-------t(t(tA--−-x)-−-x) −-x--

Таким образом,

                                x        t3       27
t(t(tA − x ) − x ) − x = 0  ⇔    -- = ----------=  ---
                                A    t2 + t + 1   38

Откуда получается уравнение    3      2
38t  − 27t  − 27t − 27 = 0  .

 

Известно, что y  — целое кратное десяти число, то есть 10; 20; 30; ...  .

 

Тогда t = 1,1; 1,2; 1,3;...  или в рациональном виде

    11  6   13  7  3   8  17  9   19
t = --; --; --; -; --; -; --; --; ---и т.д.
    10  5   10  5  2   5  10  5   10

Если уравнение имеет рациональный корень, то числитель этого корня является делителем свободного члена, то есть − 27  , а знаменатель — делителем старшего коэффициента, то есть 38  . Таким образом, первый подходящий корень из нашего списка — это 32   . Проверим:

    (  )3      ( (  )2         )
38 ⋅  3-  − 27     3-  +  3-+ 1  =  0   ⇔    0 = 0
      2            2      2

Таким образом, t = 3-
    2  и y = 50%  .

Ответ:

50%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#607

Для покупки квартиры в элитном здании Артур скопил всего 5280000  рублей, поэтому недостающую сумму он был вынужден взять в кредит на 4 года под 12,5%  годовых. Выплачивать кредит он должен аннуитетными платежами. Сколько процентов от стоимости квартиры ему не хватало, если известно, что переплатил по кредиту он 6524000  рублей?

Показать ответ и решение

Пусть Артур взял в кредит A  тыс.рублей и x  тыс.рублей — его ежегодный платеж. Составим таблицу, заметив, что 1,125 =  98   :

--------------------------------------------------------------------------------
|Н омер год а | Д олг после на числени я %   |      Д олг после пл атеж а       |
|-------------|-------------9----------------|-------------9--------------------|
|1------------|--------(--)28A---------------|---------(-)28A-−--x--------------|
|2------------|----------98--A-−--98x----------|----------98--A-−--98x-−-x----------|
|3            |    (9)3 A − (9-)2x − 9x      |    (9)3 A − (9-)2x − 9x − x      |
|-------------|(9)4-8---(9)3--8--(9)28----9--|(9)4-8---(9)3--8--(9)28----9------|
-4--------------8--A--−--8---x −--8--x-−--8x---8--A--−--8---x −--8--x-−--8x −-x-|

Таким образом, имеем следующее уравнение

                                                               (                        )
( 9 )4     ( 9)3     ( 9 )2     9                  ( 9)4         ( 9)3    ( 9)2    9
  --   A −   --  x −   --   x − -x − x =  0   ⇔      --  A =  x    --  +    --  +  -+  1
  8          8         8        8                    8             8        8      8

Т.к. всего банку он заплатил 4x  рублей, то переплата равна 4x − A  = 6524  , откуда      1
x =  4 (A + 6524 )  . Подставим это в уравнение:

                        (                       )
( 9)4      1              ( 9)3   ( 9)2    9
  --  A =  --(A + 6524 )    --  +   --   + --+ 1
  8        4                8       8      8

откуда выражаем, что

             (        )
               94-
     2 ⋅ 6524 ⋅ 84 − 1     2 ⋅ 6524 ⋅ (94 − 84)
A =  -----------4-------=  -------4----4-----
           2 − 9--             2 ⋅ 8 − 9
               84

Найдем 94 − 84   :

 

94 − 84 = (9 − 8)(9 + 8)(92 + 82) = 17 ⋅ 145  .

 

Тогда, учитывая известное  10
2  =  1024  , имеем:    4    4    4     4    4     12
2 ⋅ 8 − 9 = 8  − (9 −  8 ) = 2  − 17 ⋅ 145 = 4096 − 2465 = 1631  .

 

Значит,

     2 ⋅ 1631 ⋅ 4 ⋅ 2465
A =  -----------------= 19720  тыс.руб лей
           1631

Значит, вся квартира стоила 19720 + 5280 =  25000  тыс.рублей. Тогда процент денег, которых ему не хватало (то есть которые он взял в кредит), от стоимости квартиры составляет

19720           1972 ⋅ 4         7888
------⋅ 100% =  --------⋅ 100% = -----%  = 78,88%
25000           2500 ⋅ 4          100
Ответ:

78,88%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#895

Банк выдает кредиты только под 10%  годовых. В январе 2014 года Олег взял кредит в банке на 4641000  рублей на открытие своего бизнеса. Кредит он должен выплатить за 4  года равными ежегодными платежами, вносимыми в конце года. В январе третьего года пользования кредитом Олег понял, что на расширение бизнеса ему не хватает некоторой суммы, поэтому он взял в этом же банке четверть от первоначального кредита, договорившись выплатить оба кредита одновременно.
Оказалось, что после взятия второго кредита его последующие ежегодные платежи увеличились на одну и ту же сумму.
Найдите, сколько рублей сверх кредита выплатил Олег банку.

Показать ответ и решение

Заметим, что так как ежегодные выплаты увеличились на одну и ту же сумму, то второй кредит он также выплачивал равными суммами. Следовательно, оба кредита выплачивались аннуитетными платежами. Заметим также, что так как второй кредит он взял в начале третьего года, а выплатить должен одновременно с первым, то второй кредит он выплачивал в третий и четвертый годы, то есть в течение двух лет. Составим отдельно таблицы для первого и для второго кредитов (пусть A  рублей – сумма первого кредита).

П ервы й к редит:

|----|------------------------------|-----------------------------------|---------------------------------------|
|Год |    Д олг на нач ало года     |      П осле на числени я %        |           П осле плат еж а             |
|1---|--------------A---------------|--------------1,1 ⋅-A--------------|-------------1,1-⋅ A-−-x---------------|
|----|------------------------------|-----------------------------------|---------------------------------------|
|2---|---------1,-1 ⋅ A-−-x---------|---------1,1(1,1-⋅ A-−-x)----------|---------1,1(1,1-⋅ A-−-x-) −-x---------|
|3---|-----1,1(1,1-⋅ A-−-x-) −-x----|-----1,1(1,1(1,1-⋅ A-−-x)-−-x)-----|----1,1-(1,-1(1,1 ⋅ A-−-x)-−-x) −-x-----|
|4   |1, 1(1,1(1,1 ⋅ A − x) − x) − x|1,1(1,1(1,1 (1, 1 ⋅ A − x) − x) − x)|1,1(1,1(1,1(1,1 ⋅ A − x ) − x ) − x ) − x
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
где x  – ежегодный платеж по первому кредиту.
В торой кр едит:

|-----|----------------------|----------------------|---------------------|
|Г-од-|Д-олг-на-начал-о-года-|П-осле-начи-сления-%--|--П-осле-пла-тежа----|
|1    |          A-          |       1,1 ⋅ A        |     1,1 ⋅ A-− y     |
|-----|----------4A-----------|------------A4--------|---------A4----------|
-2----------1,1-⋅-4 −-y----------1,1(1,1-⋅4-−-y)-----1,1(1,1-⋅-4 −-y) −-y-|
где y  – ежегодный платеж по второму кредиту.

Общая сумма выплат по обоим кредитам – это 4x + 2y  . Следовательно, необходимо найти                A
4x + 2y − A  − --
               4  .
 
Из первой таблицы получаем:

                                                            1, 14 ⋅ A                1,14
1,1(1,1(1,1(1,1 ⋅A − x )− x) − x) − x = 0   ⇔    x =  ---3------2----------=  -------------2-----⋅A
                                                      1,1 +  1,1 + 1, 1 + 1   (1,1 + 1)(1,1 +  1)
Из второй аналогично:
    (      A    )                       1,12    A
1,1  1, 1 ⋅--− y   − y = 0   ⇔    y =  --------⋅--
           4                           1,1 + 1  4

Таким образом,

                              (             )
               A-   1,12-⋅ A    4-⋅ 1,12-  1-    5A-   -112-⋅ 1189-            4641000-⋅ 5
4x + 2y − A  − 4  = 1, 1 + 1 ⋅  1,12 + 1 + 2  −   4 =  21 ⋅ 20 ⋅ 221 ⋅ 4641000 −    4

Заметим, что 21 ⋅ 221 = 4641  , следовательно:

                   2
           5A-   11--⋅ 1189-⋅ 1000  4641000-⋅ 5
4x + 2y −  4  =        20        −      4      = 1392200.
Ответ: 1392200

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#950

Андрей Викторович хочет взять кредит на покупку квартиры. Он выбирает между двумя вариантами:
 
∙ взять кредит на всю сумму в банке А под 25%  годовых на 3 года;
∙ взять 75%  от стоимости квартиры в банке Б под 30%  годовых на 3 года и оставшиеся 25%  от стоимости квартиры в банке В под целое число y%  годовых на год.

 

Какой наибольший процент y  годовых должен предложить ему банк В, чтобы второй вариант был выгодней? Погашение кредита во всех трех банках происходит раз в год равными платежами.

Показать ответ и решение

Пусть S  — стоимость квартиры. Составим таблицу для обоих вариантов.

Пусть a,b,c  — ежегодные платежи в банках А, Б и В соответственно.

 

1)

            |-------------|---------------------------|-------------------------------|
            |Н-ом-ер-года-|Д-олг-после-нач-ислени-я-%-|-----Д-олг-после-пл-атеж-а-----|
Банк А:     |1------------|----------1,25S------------|-----------1,25S-−-a-----------|
            |2------------|-----1,25-(1,25S-−-a)------|------1,25(1,25S-−-a-) −-a-----|
            |3            |1,25 (1, 25(1,25S − a ) − a)|1, 25(1,25(1,25S −  a) − a ) − a
            ---------------------------------------------------------------------------

 

Таким образом, имеем следующее уравнение:

                                               3           2
1, 25(1,25(1,25S −  a) − a ) − a = 0 ⇔     1,25 S = a (1, 25 + 1, 25 + 1)

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж a  от стоимости квартиры S  , равна

               3
-a   ------1,25-------
S  = 1,252 + 1, 25 + 1

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке А от стоимости квартиры, равна

3a    375
--- = ----
 S    244

 

2) Пусть S1 =  0,75S  – сумма кредита в банке Б.

 

             |-------------|---------------------------|----------------------------|
             |Н омер года  |Дол г п осле начи сления % |   Д олг после пл атеж а    |
             |-------------|---------------------------|----------------------------|
Б анк Б:     |1------------|----------1,3S1------------|---------1,3S1-−-b----------|
             |2------------|------1,3(1,3S1-−-b)-------|----1,-3(1,3S1-−-b) −-b-----|
             -3--------------1,3-(1,-3(1,3S1-−-b) −-b)---1,3(1,3(1,3S1-−--b) −-b)-−-b|

 

Таким образом, имеем следующее уравнение:

1, 3(1,3(1,3S1 − b) − b) − b = 0  ⇔    1,33S1 =  b(1,32 + 1,3 + 1)

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж b  от кредита S1   , равна

-b-   -----1,33------  -133-
S1 =  1,32 + 1,3 + 1 = 3990

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от кредита, равна

           3      3
3b-=  3-⋅ 13 = -13--
S1     3990    1330

Т.к. S1 =  0,75S  , то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от стои мости к варти ры S , равна

3b    3 ⋅ 133
---= --------
S    4 ⋅ 1330

 

3) Пусть S2 =  0,25S  – сумма кредита в банке В. Пусть также 100+y-
 100 =  t  — коэффициент, на который умножается долг после начисления процентов.

 

             |------------|----------------------------|----------------------|
             |Н-омер-года-|-Дол-г п-осле-начисл-ения-%-|Д-олг-после-пл-атеж-а-|
Б анк В:     |1           |            tS2             |       tS2 − c        |
             ------------------------------------------------------------------

 

Таким образом, имеем следующее уравнение:

tS2 − c = 0

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж c  от кредита S2   , равна

-c-
S2 = t

Т.к. S2 =  0,25S  , то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке В от стои мости к варти ры S , равна

c-   t-
S =  4

 

4) Второй вариант будет выгоднее первого, если часть, которую составляет сумма общих выплат по обоим кредитам (в банках Б и В) от стоимости квартиры, будет меньше, чем часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту (в банке А) от стоимости квартиры. То есть должно быть выполнено:

t-  -3 ⋅-133   375-            96699-
4 + 4 ⋅ 1330 < 244   ⇔     t < 81130

Т.к. t = y+100
     100   , то

     155690-     1543-
y <   8113  =  198113

Следовательно, наибольшее целое y  равно 19  .

Ответ:

19%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1237

Банк “Европа”  предлагает потребительский кредит на сумму 664200  рублей под 25%  годовых при условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами. Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на условия банка?

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за x  рублей ежегодный платеж, A  = 664200  рублей.

 

----------------------------------------------------------------------------------------
|Г од |С умм а долга до нач ислени я % |С ум ма дол га п осле начи сления % и �
|-----|--------------------------------|-----------------------------------------------|
|1----|---------------A----------------|------------------1,-25A-−-x-------------------|
|2----|-----------1,25A-−-x------------|-------------1,25-(1,25A-−-x-) −-x-------------|
|3----|------1,25(1,25A-−--x) −-x------|--------1,25-(1,-25(1,25A-−--x) −-x-) −-x-------|
|4    |1, 25(1,25(1,25A  − x) − x) − x |   1,25 (1, 25(1,25(1,25A −  x) − x) − x) − x   |
----------------------------------------------------------------------------------------

Таким образом, 1,25(1,25(1,25(1,25A  − x) − x) − x) − x = 0  .
 
Отсюда     -------1,254 ⋅ A-----
x = (1,252 + 1)(1,25 + 1)  .
 
Заметим, что        5-
1,25 = 4 ⇒
 
      4
x =  5-⋅ 664200-
      4 ⋅ 9 ⋅ 41  .
 
Выполнив сокращения, получим, что x =  281250  рублей.

Ответ:

281250  рублей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1239

В банке был взял кредит на некоторую сумму денег на 3 года. Кредит необходимо выплачивать равными платежами раз в год, причем известно, что каждый год перед выплатой текущая сумма долга увеличивается на четверть.
Найдите, сколько процентов от тела кредита составит переплата по такому кредиту. В случае необходимости ответ округлите до целого числа.

Показать ответ и решение

Так как кредит нужно выплачивать равными ежегодными платежами, то платежи аннуитетные. Пусть x  рублей — этот ежегодный платеж, A  рублей – сумма кредита.
Сумма долга каждый год увеличивается на четверть, то есть на 1
4   . Составим таблицу:

-----------------------------------------------------------------------------
|Год |Д олг на на чало года |П осл е на числен ия % |   П осле пла тежа     |
|    |                      |                       |                       |
|1---|----------A-----------|----A--+-1A-=--5A------|--------5A-−-x---------|
|    |                      |         4     4       |        4              |
|----|--------5-------------|------5(5------)-------|----5(5------)---------|
|2   |        4A − x        |      4  4A − x        |    4 4A  − x  − x     |
|----|----5(5------)--------|--5(5-(5------)----)---|5(5-(5------)----)-----|
|3   |    4 4A  − x  − x    |  4  4 4A  − x  − x    |4 4  4A −  x  − x  − x |
-----------------------------------------------------------------------------
Таким образом, имеем:
  (  (        )     )                         (  )
5   5  5                                        5 3
--  -- --A − x   − x  −  x = 0   ⇔    x =  (5)2-4-5----⋅ A
4   4  4                                    4  +  4 + 1

Переплата по кредиту равна 3x − A  , следовательно, необходимо найти:

                 (      (  )       )           (                      )
3x − A                3 ⋅ 54 3                          3 ⋅ 53                     131
------- ⋅100%  =   (5)2---5-----− 1   ⋅100%  =   -2---------2----3-− 1  ⋅100%  =  ----⋅100%  ∼ 54%.
   A                4   + 4 + 1                  5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 + 4                244
Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1261

Банк выдает кредит сроком на 4 года под 25% годовых. Вычислите, на сколько процентов переплата по такому кредиту превышает платеж, если гасить кредит нужно равными ежегодными выплатами.

Показать ответ и решение

Пусть кредит взят на сумму A  , пусть x  — ежегодный платеж. Составим таблицу.

|----|---------------------|------------------------|--------------------------|
|Год-|--Долг на-начало-года--|---После начисления %---|-------После платежа------|
|1---|---------A-----------|--------1,25⋅A----------|--------1,25⋅A-− x--------|
|2---|-----1,25⋅A-−-x------|----1,25(1,25⋅A-−-x)-----|----1,25(1,25⋅A-− x)-− x---|
|34---|11,,2255(1(1,,2255(1⋅,A25−⋅Ax)−−xx)−--|11,,2255((11,,2255((11,,2255(1⋅A,2−5⋅xA)−−xx))−-|1,12,525(1(,12,52(15(,12,52⋅5A(1,−25x⋅)A− x−) x)−& x
|    |       −x)− x        |        −x)− x)         |        −x)− x)− x        |
-------------------------------------------------------------------------------

Тогда имеем уравнение:

1,25(1,25(1,25(1,25⋅A− x)− x)− x)− x= 0

      A-= 1,253+-1,252+-1,25+-1
      x           1,254

Переплата по кредиту равна 4x− A.  Следовательно, число процентов, которое составляет переплата от платежа, равно

             (     )
4x−-A-⋅100% =   4− A- ⋅100%
  x               x

Заметим, что 1,25= 5.
      4  Тогда имеем:

(                        )
     53-⋅4+-52-⋅42-+5-⋅43-+44-
 4 −          54           ⋅100% =
   (   500+ 400+ 320+ 256)
 =  4− -------625-------- ⋅100% =

  = 1024⋅4% = 1024⋅42% = 163,84%
      25        100

Значит, переплата превышает платеж на 63,84%.

Ответ: 63,84
Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Верно построена математическая модель

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1699

Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под 12,5%  годовых. Кредит он должен выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила 65240  рублей.

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за A  руб. сумму кредита, а за x  руб. ежегодный платеж.
 

-----------------------------------------------------------------------------------------------
|Год |     Д олг в ру б.      |        Дол г в р уб.       |           Д олг в руб.           |
|    |                        |                            |                                  |
|    |    до нач ислени я     |     после начи сления      |         п осле внесения          |
|----|------пр-оцентов--------|--------п-роцент-ов---------|-------------платеж-а-------------|
|1---|----------A-------------|----------1,125A------------|-----------1,125A--−-x------------|
|2   |      1,125A −  x       |    1,125 (1,125A −  x)     |      1,125(1,125A  − x) − x      |
|3---|1,125-(1,-125A-−-x-) −-x-|---1,125(1,125-(1,-125A-−----|------1,125-(1,125(1,125A-−-------|
|    |                        |                            |                                  |
|----|------------------------|---------−-x)-−-x)----------|-----------− x-) −-x)-−-x---------|
|4   | 1,125(1,125(1,125A −   |1,125(1,125(1,125 (1,125A − | 1,125(1,125(1,125 (1,125A −  x)− |
|    |     − x) − x) − x      |       − x ) − x ) − x )    |           − x ) − x) − x         |
-----------------------------------------------------------------------------------------------

Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то

1, 125(1,125(1,125 (1, 125A − x ) − x ) − x ) − x = 0

Это уравнение преобразуется в уравнение вида:

1,1254A  − x(1,1253 + 1,1252 + 1,125 +  1) = 0 (∗)

Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку 4x  рублей, а, значит, его переплата составила 4x − A  рублей. Т.к. 4x −  A = 65240  , то A = 4x −  65240  . Значит:

1,1254(4x − 65240 ) − x (1,1253 + 1,1252 + 1,125 + 1) = 0

Заметим также, что          9-
1,125 =  8 ⇒

     --------94 ⋅ 23-⋅ 5-⋅ 7 ⋅-233----
x =  94 ⋅ 4 − 8(93 + 92 ⋅ 8 + 9 ⋅ 82 + 83) = 65610

Значит, ежегодный платеж составил 65610  рублей.

Ответ:

65610  рублей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1899

Леонид брал кредит в банке сроком на 6 лет под 50%  годовых. После того, как кредит был выплачен, оказалось, что переплата по кредиту составила 3044000  рублей. Сколько тысяч рублей каждый год вносил Леонид в счет погашения кредита, если известно, что кредит был выплачен аннуитетными платежами?

Показать ответ и решение

Пусть ежегодный платеж был равен x  тыс. рублей. Тогда за 6 лет Леонид выплатил банку 6x  тыс. рублей. Следовательно, если A  тыс. рублей — сумма кредита, то 6x − A  = 3044  тыс. рублей — и есть переплата по кредиту. Составим таблицу:

|-------------|---------------------------------------------|-----------------------------------------------|
|Н-омер-год-а-|---------Дол-г п-осле-начи-сления-%----------|-------------Д-олг-после-пла-теж-а-------------|
|1------------|-------------------1,-5A---------------------|-------------------1,5A-−-x--------------------|
|2------------|---------------1,5(1,5A-−--x)----------------|---1,5-(1,-5A-−-x)-−-x-=-1,52A--−-x(1,5-+-1)----|
|...          |                     ...                     |                      ...                      |
|-------------|----------4----------3------2----------------|-------5---------4------3------2---------------|
|5------------|---1,5(15,5-A--−-x(14,5--+-13,5--+-12,5-+-1))----|---16,-5-A-−-x(15,5--+-14,5--+-13,5--+-12,5-+-1)----|
-6-------------1,5(1,5-A-−-x-(1,-5-+-1,-5-+-1,5--+-1,5-+-1))--1,5-A-−--x(1,5-+--1,5-+--1,5-+--1,5-+-1,-5 +-1-)

Таким образом, т.к. в конце 6-ого года долг банку стал равен нулю, то

                                                                   5      4      3      2
1,56A  − x(1,55 + 1,54 + 1,53 + 1,52 + 1,5 + 1) = 0   ⇔    A =  1,5-+--1,5-+-1,-5-+-1,5--+-1,5-+-1-x
                                                                               1,56

Числитель представляет собой сумму первых 6-ти членов геометрической прогрессии, где a1 = 1, q = 1,5  .
 
Эта сумма равна    6
1,5-−--1-
1,5 − 1  . Значит,

     ---1,56 −-1---
A  = 1,56(1,5 − 1)x

Заметим, что 1,5 =  3
       2   , следовательно,

        6    6                      2           2   2          2
A  = 2(3--−-2-)x =  2(3 −-2)(3 +-2-)(3-−-3-⋅ 2 +-2-)(3-+-3-⋅ 2-+-2-)x = 2 ⋅ 5-⋅ 7-⋅ 19x
      36(3 − 2)                          36                               36

 

Тогда, т.к. переплата 3044 =  6x − A  , имеем следующее равенство, из которого можно найти x  :

(                )
  6 − 2 ⋅-5 ⋅ 7-⋅ 19 x = 3044 ⇔     1522x =  1522   ⇔    x = 729  тыс. рубл ей
          36                        729
Ответ:

729

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2257

Под какое наименьшее целое кратное пяти число y  процентов годовых банку необходимо предоставить кредит на 2 года, выплачиваемый равными ежегодными платежами, чтобы переплата по такому кредиту превысила 50%  от ежегодного платежа?

Показать ответ и решение

Пусть в банке взят кредит на сумму A  . Если y  — процентная ставка в банке, то каждый год после начисления процентов долг увеличивается в t = 1001+00y-   раз. Обозначим за x  ежегодный платеж и составим таблицу:

|-------------|----------------------------|---------------------|
|Н-ом-ер-года-|Д-олг-посл-е н-ачислен-ия-%-|До-лг-после-плат-ежа-|
|1------------|------------tA--------------|-------tA-−-x--------|
-2----------------------t(tA--−-x)---------------t(tA-−-x-) −-x-----

Получаем уравнение

                               t2
t(tA −  x) − x = 0   ⇔    x =  -----A
                              t + 1

Общая сумма выплат по кредиту равна 2x  , тогда переплата по кредиту составила 2x − A  . Значит, необходимо, чтобы 2x − A  > 0,5x   ⇔     3x − 2A >  0  , следовательно, т.к. A > 0  , получаем:

                               √ --
                           1 +   7
3t2 − 2t − 2 > 0  ⇒    t > -------
                              3

т.к. t > 0  .

 

Т.к. 2,62 = 6, 76  , то √7->  2,6  , следовательно, 1+√37-> 1,2  . Следовательно, наименьшее подходящее t = 1,25  . Проверим, заметив, что 1,25 = 54   :

  (   )
    5  2      5                 3
3 ⋅ --   − 2 ⋅--− 2 > 0   ⇔     ---> 0
    4         4                 16

Получили верное неравенство, значит, t = 1,25  , откуда y = 25%  .

Ответ:

25%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#75434

Виктор взял кредит на 100000 рублей. Условия кредита таковы:

— каждый год сумма долга увеличивается на целое число x  процентов;

— после начисления процентов Виктор вносит платёж в 10 тысяч рублей.

Определите, при какой наименьшей процентной ставке x  сумма долга через два года кредитования превысит сумму кредита, увеличенную на x  процентов.

Показать ответ и решение

Обозначим K = 1+ 1x00.

Все вычисления будем проводить в тысячах рублей.

Составим таблицу выплат:

|----|---------|---------------|-------|----------------|
|Год-|Д-олг-нач.|---Проценты----|Платеж--|----Долг кон.---|
|-1--|---100---|----100-⋅ x100-x--|--10---|---100K-−-10----|
--2---100K-− 10-(100K-− 10)⋅100---10----(100K-−-10)K-−-10-

По условию сумма долга в конце второго года кредитования должна быть больше суммы кредита на x  процентов, то есть больше в    -x-
1+ 100 = K  раз:

(100K − 10)K − 10 > 100K,

10K2 − 11K − 1> 0.

Найдём нули квадратичной функции по формуле дискриминанта:

10K2 − 11K − 1= 0,

D =121+ 40= 161= √1612,

           ---
      11±-√161-
K1,2 =    20   .

Используя метод интервалов, получаем решение неравенства:

PIC

Очевидно, что отрицательных значений переменная K  =1 + x100-  принимать не может, значит, остаётся только правый интервал:

    √---
11+--161-< K,
   20

11+ √161      x
---20---< 1 + 100,

55 +5√161-< 100 +x,

−45 +5√161-< x.

Заметим, что в силу монотонности функции арифметического корня √ ---  √---  √ ---
  144 <  161<   169,  следовательно, справедливо следующее неравенство:

− 45 +5√144-< −45+ 5√161 <− 45+ 5√169,

15< −45+ 5√161 <20.

Коэффициент x  по условию принимает только положительные значения, следовательно, теперь в рамках метода подбора нам следует проверить следующие значения x :

x= 16 :

      √---
−45+ 5 161< 16,

 √ ---
5  161 < 61,

4025< 3721,

Н евер но.

x= 17  :

−45+ 5√161< 17,

5√161-< 62,

4025< 3844,

Н евер но.

x= 18  :

−45+ 5√161< 18,

5√161-< 63,

4025< 3969,

Н евер но.

x= 19  :

−45+ 5√161< 19,

5√161-< 64,

4025< 4096,

В ер но.
Ответ:

x = 19

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Верно построена математическая модель

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!