18.11 Функции. Монотонность: f(x) ∨ const и f(f(x)) = x
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение, используя свойства монотонной функции
Разделим обе части равенства на положительное :
Показательная функция с основанием меньше является убывающей, сумма убывающих — также убывающая, следовательно,
функция
убывает. Тогда равенство
имеет не более одного решения. Подбором находим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение, используя свойства монотонной функции
Сумма двух возрастающих функций —- возрастающая, следовательно, — возрастает. Тогда уравнение
имеет не
более одного решения. Подбором находим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение, используя свойства монотонной функции
Композиция двух возрастающий функций и
— возрастающая функция
. Композиция двух
убывающих функций
и
— возрастающая функция. Сумма двух возрастающих — возрастающая
функция
. Тогда равенство
имеет не более одного корня. Подбором находим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение, используя свойства монотонной функции
Сумма двух возрастающих — возрастающая функция . Тогда равенство
имеет не более одного корня. Подбором
находим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение, используя свойства монотонной функции
Композиция двух возрастающий функций и
— возрастающая функция
. Сумма двух возрастающих —
возрастающая функция
. Тогда равенство
имеет не более одного корня. Подбором находим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень из отрезка .
Рассмотрим функцию при некотором фиксированном
. Найдем
ее производную:
.
Заметим, что при всех значениях
и
, причем равна
только при
. Но при
:
уравнение
имеет единственный корень
, не
удовлетворяющий условию. Следовательно,
не может быть равно
.
Значит, при всех функция
является строго возрастающей, следовательно,
уравнение
может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической
функции, график
при некотором фиксированном
будет выглядеть следующим
образом:
Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка , необходимо:
Таким образом, .
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых хотя бы одно решение уравнения
принадлежит отрезку .
Перепишем уравнение в виде:
и рассмотрим функцию . Найдем ее производную:
Т.к. при всех значениях
.
Следовательно, – строго возрастающая функция. Значит, уравнение
может иметь не
более одного решения при всех значениях
. Для того, чтобы
являлось решением уравнения,
нужно, чтобы
.
Т.к. функция – строго возрастает, то если
пробегает отрезок
, то множеством
значений функции
является отрезок
.
Таким образом, так как , то
, следовательно,
.
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых уравнение
имеет ровно одно решение на отрезке
Перенесем все слагаемые в левую часть:
-
Рассмотрим функцию
она определена при
Возьмем ее производную:
Очевидно, что при
производная положительна, следовательно, функция
строго монотонно возрастает на всей области определения.
- Функция
строго монотонно возрастает на всей числовой прямой.
- Функция
— парабола с ветвями вниз, с вершиной в точке
Таким образом, на промежуток
приходится ее левая монотонно возрастающая ветвь.
Получили, что все три функции строго монотонно возрастают на промежутке следовательно, и их сумма строго
монотонно возрастает на этом промежутке. Из этого сразу следует, что уравнение имеет не более одного корня. Нам нужно найти
такие
при которых он существует и принадлежит отрезку
Будем рассматривать строго монотонно возрастающую функцию
Если в точке она принимает положительное значение, то во всех точках отрезка
она также будет принимать
положительные значения, то есть корней на этом отрезке не будет. Таким образом, значения
соответствующие этой ситуации,
нам точно не подойдут. Найдем их.
При всех остальных то есть
значение функции
в точке
неположительно. Если в начале отрезка, то есть в
точке
функция неположительна, а в некоторой точке
отрезка функция положительна, то где-то на
она будет
равна нулю, то есть будет иметь корень.
Заметим, что при функции
и
принимают положительные значения, а функция
неограниченно
возрастает, так как логарифм от близкого к нулю числа стремится к
и перед логарифмом стоит знак
«
».
Таким образом, какой бы ни была константа функция
будет принимать положительное значение в некоторой точке
отрезка
Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение на указанном отрезке при
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснованный переход к
ответу или ответ отличается от верного
невключением | 3 |
Обоснованный переход к неравенству, но его решение неверное | 2 |
Введены и исследованы функции | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых любой корень уравнения
принадлежит отрезку .
Композиция двух возрастающих функций — возрастающая функция, следовательно, так как и
возрастающие, то и
возрастающая. Аналогично
— возрастает и определена при
. Сумма
возрастающих функций, а также сумма возрастающей и константы, — возрастающая, следовательно, определена при
и
возрастает
По теореме для строго монотонной функции равенство имеет не более одного корня.
Следовательно, пересекает ось абсцисс график этой функции не более одного раза. Значит, чтобы он пересекал ось абсцисс, причем
этот корень принадлежал отрезку (заметим, что все
из этого промежутка удовлетворяют условию
),
нужно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых функция
возрастает при всех
.
Рассмотрим производную функции
Если производная положительна при всех б то функция возрастает. Следовательно, найдем те
, при которых
Сделаем замену , тогда полученное неравенство должно быть верно при всех пложительных
:
Нули . Чтобы решение неравенства содержало луч
, нужно, чтобы
, откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство, используя свойства монотонной функции
Рассмотрим область определения функции :
При функция
возрастает (так как мы получаем правую часть ветви параболы, функции
и
также возрастающие, композиция возрастающих — возрастающая функция, сумма возрастающих — также возрастающая, следовательно,
— возрастает. Тогда неравенство
решением имеет
, где
— корень уравнения
. Подбором находим,
что корень
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите утверждение: если – строго возрастающая функция, то множество решений уравнения
и
совпадают.
Для возрастающей функции выполнено: если , то
и если
, то
. Рассмотрим этим
равенства:
Чтобы доказать равносильность этих равенств, достаточно доказать
1) если – корень (1), то
– корень (2);
2) если — не корень (1), то он также не является корнем (2).
Из (1) равенства вытекает, что . Но так как по (1) верно
, то получаем
,
чтд.
Пусть — не корень уравнения (1), то есть
. Рассмотрим два случая.
. Тогда в в силу возрастания функции
получаем, что
, то есть
, следовательно,
— не корень и равенства (2).
. Тогда в в силу возрастания функции
получаем, что
, то есть
, следовательно,
— не корень и равенства (2).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение при всех возможных значениях параметра :
При функция
является возрастающей функцией, следовательно, левая часть представляет собой сумму двух
возрастающих функций, значит, является возрастающей функцией
, определенной при
. Тогда уравнение
имеет не
более одного решения. Подбором находим, что решением уравнения является
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее и наибольшее значения параметра , при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Так как композиция двух функций одинакового характера монотонности является возрастающей функцией, то и
— возрастающие функции. Сумма двух возрастающих функций — возрастающая функция, следовательно,
— возрастающая на всей области определения:
Тогда уравнение имеет не более одного решения.
- 1.
- Пусть
, тогда областью определения являются
. Тогда
. Следовательно,
— решение исходного уравнения, если
:
Наименьшее
среди найденных равно
- 2.
- Пусть
, тогда областью значений являются
. Тогда
. Следовательно,
— решение исходного уравнения, если
:
Наибольшее
среди найденных равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство
имеет ровно одно решение.
Сделаем замены ,
и исследуем их. Функция
является квадратичной, ее область значений
, где
— ордината вершины параболы. Абсцисса вершины равна
, следовательно,
. Так как в
переменная
находится под корнем, то
. Следовательно, если
, то
и
. Если же
, то
и
. Заметим, что каждому
не соответствует ни одного решения
, для
получаем одно решение
, для
получаем два решения
.
Преобразуем исходное неравенство с учетом замены при :
Так как точно , то
,
, следовательно,
-
при
функции
и
неотрицательны и возрастающие, следовательно, их произведение — возрастающая функция.
Тогда
тогда неравенство
имеет решение
, где
— корень уравнения
Учитывая возможную область значений для
(либо
, либо
), этот случай имеет смысл рассматривать.
-
при
функция
неположительна и убывающая, а
неотрицательна и возрастающая, следовательно, их произведение — убывающая функция.
Тогда
Тогда неравенство
имеет решение
, где
— корень уравнения
Учитывая возможную область значений для
(либо
, либо
), этот случай не имеет смысла рассматривать, так как мы в любом случае получим бесконечно много решений
неравенства, следовательно, при обратной замене получим бесконечно много решений
, а затем и
Заметим, что подбором находится корень уравнения — это
, причем этот корень единственный, так как в любом случае
— строго монотонная функция, следовательно, это уравнение имеет не более одного корня.
Рассмотрим случай подробнее. Тогда решение неравенства
— это
. Если
, то
, следовательно,
итоговое решение будет
, причем каждому
будет соответствовать по два
, следовательно решений будет более одного. Если
, то также
, причем
будет соответствовать один
, остальным
— по два
. Тоже более одного
решения.
Если , то получаем
, причем
будет соответствовать один
, а остальным — по два. Следовательно, чтобы
решение было единственным, отрезок для
должен быть вырожденным, то есть
. Тогда
Учитывая, что , остается ответ:
P.S.
Пусть ,
,
,
,
. Тогда
. Так как
, то
, следовательно,
.
Пусть ,
,
,
,
. Тогда
. Так как
,
, то
, следовательно,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Пусть . Рассмотрим функцию
, тогда уравнение примет вид
. Так как
— возрастающая функция, то
равенства
и
равносильны. Следовательно, корни исходного уравнения при замене
совпадают с корнями
уравнения
Заметим, что вершина параболы не зависит от параметра и равна
. Заметим, что числа
и
расположены
симметрично относительно абсциссы вершины параболы, значит, значения, которые функция принимает в этих точках, одинаковы.
Следовательно, полученная система будет иметь хотя бы один корень
, если парабола будет выглядеть следующим образом:
Следовательно, при условии имеем
Так как , получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство
имеет единственное целое решение.
Преобразуем неравенство
Сделаем замену , тогда неравенство примет вид
Переменной не соответствует ни один
; переменной
соответствует один
; переменной
соответствует два
. Следователььно, целый
мы получаем, если
Рассмотрим функцию :
Следовательно, график функции выглядит следующим образом (выделим часть при
):
Функция монотонно возрастает при
, а наше неравенство имеет вид
. Если взято такое
, что существует
решение неравенства
, то оно имеет вид
, причем это
задается условием
. Так как при
мы получаем целый
, то
должно быть меньше
(иначе
и мы получим еще два целых
).
Следовательно,