18.12 Функции. Монотонность: f(t) = f(z)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение, используя свойства монотонной функции
Рассмотрим функцию , тогда уравнение выглядит как
. Так как функция
является убывающей на
всей области определения, то полученное равенство равносильно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство, используя свойства монотонной функции
Рассмотрим функцию , тогда неравенство выглядит как
. Так как функция
является убывающей на
всей области определения, то полученное равенство равносильно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение при всех возможных значениях параметра :
Уравнение имеет вид , где
. Так как
— строго монотонная функция (возрастающая), то уравнение
равносильно
, следовательно, получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
не имеет корней.
Заметим, что уравнение можно преобразовать в
Если принять ,
, то уравнение равносильно
, где
— строго возрастающая (а значит, строго
монотонная) функция, так как равна сумме двух возрастающих функций. Для строго монотонной функции
равенство
равносильно равенству
, следовательно, получаем
Получили квадратное уравнение, которое не имеет решений в том случае, если его дискриминант отрицательный:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Заметим, что уравнение можно преобразовать в
Если принять ,
, то уравнение равносильно
, где
— строго возрастающая (а значит, строго
монотонная) функция, так как равна сумме двух возрастающих функций. Для строго монотонной функции
равенство
равносильно равенству
, следовательно, получаем
Получили квадратное уравнение, которое имеет решения в том случае, если его дискриминант неотрицательный:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
не имеет корней.
Заметим, что уравнение можно преобразовать в
Если принять ,
, то уравнение равносильно
, где
— строго возрастающая (а значит, строго
монотонная) функция, так как равна сумме двух возрастающих функций. Для строго монотонной функции
равенство
равносильно равенству
, следовательно, получаем
Получили квадратное уравнение, которое не имеет решений в том случае, если его дискриминант отрицательный:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение при всех возможных значениях параметра :
Уравнение имеет вид , где
. Так как
— строго монотонная (возрастающая) функция, то уравнение
равносильно
, следовательно, получаем
Аналогично полученное уравнение имеет вид , где
— строго монотонная (возрастающая) функция,
следовательно, получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Домножим правую и левую части уравнения на и перепишем уравнение в виде
Рассмотрим функцию при
(т.к.
).
Производная .
Т.к. при всех
, то
при всех
.
Следовательно, при функция
монотонно убывает.
Уравнение можно рассматривать в виде , где
. Из монотонности функции следует, что равенство
возможно только в том случае, если
.
Значит, уравнение равносильно уравнению: , которое в свою очередь равносильно системе:
При система имеет одно решение
, которое удовлетворяет условию
.
Рассмотрим случай . Дискриминант первого уравнения системы
при всех
. Следовательно, уравнение
всегда имеет два корня
и
, причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета
).
Это значит, что при условию
подходит отрицательный корень, при
условию подходит положительный
корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.
Значит, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых уравнение
имеет два корня.
Сделаем замену:
Тогда уравнение примет вид
Рассмотрим функцию Тогда наше уравнение примет вид
Найдем производную функции
Заметим, что при всех производная
так как
Заметим также, что сама функция
определена при всех
Так как к тому же
непрерывна, то мы можем сделать вывод, что
возрастает на всем
Значит, равенство возможно тогда и только тогда, когда
Вернемся к изначальным переменным и решим
полученное уравнение:
Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным:
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснование | 3 |
Обоснованный переход к неравенству, но оно либо не решено, либо сделан неверный вывод | 2 |
Введены и рассмотрены функции левой и правой части (аналитически или графически) | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет ровно два корня.
Перепишем уравнение в виде
Рассмотрим функцию Тогда уравнение перепишется в виде
Исследуем функцию Для этого найдем ее производную:
Следовательно, функция возрастает при всех
Значит, каждому значению функции
соответствует ровно одно
значение аргумента
Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно:
Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным:
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснование | 3 |
Верный переход к неравенству, но оно либо не решено, либо сделан неверный вывод | 2 |
Введена и исследована функция | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все положительные значения параметра , при которых уравнение
имеет как минимум решения.
Перенесем все слагаемые, содержащие , влево, а содержащие
– вправо, и рассмотрим
функцию
Тогда исходное уравнение примет вид:
Найдем производную:
Т.к. , то
при любых
.
Причем , если
и
одновременно, что не выполняется ни при каких
. Следовательно,
при любых
.
Таким образом, функция строго возрастает при всех
.
Значит, уравнение равносильно уравнению
.
Уравнение при
имеет один корень
, а при
имеет два различных
корня
и
.
Нам нужно найти значения , при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая
также то, что
.
Следовательно, ответ: .
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых система
имеет решения, причем все они содержатся в отрезке
Рассмотрим первое неравенство. Пусть Тогда
Таким образом, решениями первого неравенства являются все такие что
Заметим, что строго монотонно возрастает, так как является суммой двух строго монотонных возрастающих функций
и
Тогда для любых вещественных
верно, что
Следовательно, решением неравенства являются все
меньшие
то есть
Рассмотрим второе неравенство:
Теперь мы можем преобразовать изначальную систему:
По условию нам нужно найти все такие значения параметра при которых изначальная система будет иметь решения, и
при этом все решения будут лежать в отрезке
Тогда чтобы система имела решения, то есть существовало такое что
должно быть выполнено
неравенство
Следовательно,
При этом все решения должны лежать в отрезке то есть интервал
должен полностью лежать в отрезке
Тогда мы имеем следующую систему:
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснование в первом
неравенстве перехода к | 3 |
Составлена система, отражающая, что
интервал | 2 |
ИЛИ | |
вместо нестрогих знаков получены строгие | |
Верно и обоснованно получены
неравенства | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение на отрезке
Первое неравенство системы равносильно
Рассмотрим второе неравенство. Пусть Тогда второе
неравенство имеет вид
Изучим эту функцию. Ее производная
равна
Следовательно, возрастает при всех
Значит, неравенство
равносильно
Таким образом, система равносильна
Рассмотрим несколько случаев.
- 1.
Тогда первое неравенство системы имеет вид
что равносильно
Следовательно, вся система не имеет решений. Этот случай нам не подходит.
- 2.
Тогда система равносильна
Тогда интервал
и отрезок
будут иметь хотя бы одну точку пересечения, если
то есть
Значит, нам подходят
- 3.
Тогда система равносильна
Если
то решением системы является пустое множество. Если
то интервал
и отрезок
будут иметь хотя бы одну точку пересечения, если
Следовательно, нам подходят
- 4.
Тогда система равносильна
Тогда интервал
и отрезок
не имеют общих точек. Эти значения параметра нам не подходят.
Тогда исходная система имеет хотя бы одно решение на указанном отрезке при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет три различных решения.
Если обозначить ,
, то уравнение имеет вид
, где
. Так как
, то функция
убывающая (то есть строго монотонна), значит, уравнение
равносильно
:
- 1.
- При
мы получим линейное модульное уравнение вида
, которое имеет максимум два корня, следовательно, при данном
мы не получим три решения, то есть этот случай нам не подходит.
- 2.
- Пусть
. Рассмотрим функцию
. Тогда наше уравнение имеет вид
и нам нужно, чтобы график функции
имел 3 точки пересечения с осью абсцисс. Раскроем модуль:
В зависимости от того, как расположена прямая
относительно вершин парабол
и
, график
может выглядеть одним из четырех видов:
Видим, что лишь четвертый график может давать три точки пересечения с осью абсцисс, то есть три корня для исходного уравнения.
Во-первых, прямая
должна располагаться строго между вершинами парабол, что задается условием
Во-вторых, должен выполняться один из двух случаев расположения оси абсцисс. Рассмотрим их ниже.
- 2.1.
- Ось абсцисс проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку с абсциссой
. Это задается следующими требованиями:
Это значение параметра удовлетворяет условию
значит, нам подходит.
- 2.2.
- Ось абсцисс проходит через вершину одной из парабол и находится выше ординаты вершины другой параболы. Это
задается следующими требованиями:
Под условие
подходит только
.
Таким образом, ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три решения.
Преобразуем уравнение:
Если сделать замену ,
, то уравнение примет вид
, где
, причем
.
Исследуем эту функцию:
Рассмотрим функции и
при
.
Докажем, что , тогда мы получим, что
при
, следовательно,
(так как
).
Так как ,
, то
, ч.т.д.
Следовательно, производная функции отрицательна, значит, функция
убывает (то есть строго монотонна).
Следовательно, уравнение
равносильно уравнению
:
Рассмотрим функцию . Тогда наше уравнение имеет вид
и нам нужно, чтобы график функции
имел 3 точки пересечения с осью абсцисс. Раскроем модуль:
В зависимости от того, как расположена прямая относительно вершин парабол
и
, график
может выглядеть
одним из четырех видов:
Видим, что лишь четвертый график может давать три точки пересечения с осью абсцисс, то есть три корня для исходного уравнения.
Во-первых, прямая должна располагаться строго между вершинами парабол, что задается условием
Во-вторых, должен выполняться один из двух случаев расположения оси абсцисс. Рассмотрим их ниже.
- 1)
- Ось абсцисс проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку с абсциссой
. Это задается следующими требованиями:
Это значение параметра удовлетворяет условию
значит, нам подходит.
- 2)
- Ось абсцисс проходит через вершину одной из парабол и находится выше ординаты вершины другой параболы. Это задается
следующими требованиями:
Под условие
подходят оба
.
Таким образом, ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Заметим, что
Следовательно, если ,
, то
, откуда
и уравнение примет
вид
Функция имеет производную
, следовательно,
является монотонно убывающей.
Для таких функций равенство
равносильно равенству
. Следовательно,
Единственное решение при .