Тема 18. Задачи с параметром

18.12 Функции. Монотонность: f(t) = f(z)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31664

Решите уравнение, используя свойства монотонной функции

      2
log0,2(x +1)= log0,2(2x)
Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию f(t)= log  t
       0,2  , тогда уравнение выглядит как f(x2+ 1)= f(2x)  . Так как функция f(t)  является убывающей на всей области определения, то полученное равенство равносильно

({ 2
 x + 1= 2x    ⇔  x =1
(2x> 0
Ответ:

 x ∈{1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31665

Решите неравенство, используя свойства монотонной функции

      2
log0,2(x +1)≥ log0,2(2x)
Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию f(x)=log  t
       0,2  , тогда неравенство выглядит как f(x2 +1)≥ f(2x)  . Так как функция f(t)  является убывающей на всей области определения, то полученное равенство равносильно

({ 2
 x + 1≤ 2x    ⇔  x =1
(x2+ 1> 0
Ответ:

 x ∈{1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31688

Решите уравнение при всех возможных значениях параметра a  :

 x+2   ax
5   = 5
Показать ответ и решение

Уравнение имеет вид f(x+ 2)= f(ax)  , где f(t)=5t  . Так как f(t)  — строго монотонная функция (возрастающая), то уравнение f(t)= f(z)  равносильно t=z  , следовательно, получаем

                               (|--2-
x+ 2= ax  ⇔   (a− 1)x= 2  ⇔   x= {a − 1, a⁄= 1
                               |(∅, a= 1
Ответ:

 a ∈{1}⇒ x∈ ∅

            {-2-}
a∈ℝ∖{1}⇒ x ∈ a−1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31556

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

  6    2        3
64x +4x = (3x +a) +3x +a

не имеет корней.

Показать ответ и решение

Заметим, что уравнение можно преобразовать в

  23    2        2
(4x ) +4x = (3x +a) +(3x+ a)

Если принять 4x2 = t  , 3x +a =z  , то уравнение равносильно f(t)= f(z)  , где f(p)= p3+ p  — строго возрастающая (а значит, строго монотонная) функция, так как равна сумме двух возрастающих функций. Для строго монотонной функции f(p)  равенство f(t)= f(z)  равносильно равенству t= z  , следовательно, получаем

  2              2
4x = 3x +a  ⇔   4x − 3x − a= 0

Получили квадратное уравнение, которое не имеет решений в том случае, если его дискриминант отрицательный:

D= 9+ 16a <0  ⇔   a< − 9-
                      16
Ответ:

 a ∈(− ∞;−-9)
         16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31557

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

  6       3   2
8x + (a− x) +2x + a= x

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Заметим, что уравнение можно преобразовать в

   23    2       2
(2x )+ 2x = (x − a) +(x− a)

Если принять 2x2 = t  , x− a =z  , то уравнение равносильно f(t) =f(z)  , где f(p)=p3+ p  — строго возрастающая (а значит, строго монотонная) функция, так как равна сумме двух возрастающих функций. Для строго монотонной функции f(p)  равенство f(t)= f(z)  равносильно равенству t= z  , следовательно, получаем

  2             2
2x =x − a ⇔   2x − x +a =0

Получили квадратное уравнение, которое имеет решения в том случае, если его дискриминант неотрицательный:

D = 1− 8a≥ 0 ⇔   a≤ 1
                    8
Ответ:

 a ∈(−∞;0,125]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31558

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

  6        3   2
27x + (a − 2x) +9x + 3a= 6x

не имеет корней.

Показать ответ и решение

Заметим, что уравнение можно преобразовать в

   23      2       2
(3x) + 3⋅3x =(2x− a)+ 3(2x − a)

Если принять 3x2 = t  , 2x − a =z  , то уравнение равносильно f(t)= f(z)  , где f(p)= p3+ 3p  — строго возрастающая (а значит, строго монотонная) функция, так как равна сумме двух возрастающих функций. Для строго монотонной функции f(p)  равенство f(t)= f(z)  равносильно равенству t= z  , следовательно, получаем

  2              2
3x = 2x − a ⇔   3x − 2x +a= 0

Получили квадратное уравнение, которое не имеет решений в том случае, если его дискриминант отрицательный:

D= 4− 12a< 0 ⇔   a> 1
                    3
Ответ:

 a ∈( 1;+ ∞)
     3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31689

Решите уравнение при всех возможных значениях параметра a  :

 x2   2ax−a2
23  = 23
Показать ответ и решение

Уравнение имеет вид f(3x2) =f(32ax−a2) , где f(t)= 2t  . Так как f(t)  — строго монотонная (возрастающая) функция, то уравнение f(t)= f(z)  равносильно t=z  , следовательно, получаем

 x2   2ax−a2
3  = 3

Аналогично полученное уравнение имеет вид g(x2)= g(2ax− a2)  , где g(t)= 3t  — строго монотонная (возрастающая) функция, следовательно, получаем

x2 = 2ax− a2 ⇔  (x− a)2 = 0 ⇔   x= a
Ответ:

 x ∈{a}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#389

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

 ax−√x+1     √-----      √ -----
2       ⋅log13  ax+ 2+ log9(  x+ 1+ 2)= 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Домножим правую и левую части уравнения на 2√x+1 > 0  и перепишем уравнение в виде

 ax              √x+1      √-----
2  ⋅log19 (ax +2)= 2    ⋅log19 ( x+ 1+ 2)

Рассмотрим функцию     t
y = 2 ⋅log19 (t+ 2)  при t≥0  (т.к. √ -----
  x+ 1≥ 0  ).

Производная                            (                 )
y′ = (−2t⋅log9(t+ 2))′ = −-2t ⋅ ln 2⋅ln (t+ 2)+-1-
                      ln9                t+ 2 .

Т.к. 2t >0, -1--> 0, ln(t+ 2)> 0
      t+ 2  при всех t≥ 0  , то y′ < 0  при всех t≥ 0  .

 

Следовательно, при t≥ 0  функция y  монотонно убывает.

 

Уравнение можно рассматривать в виде y(t)= y(z)  , где          √-----
z = ax,t= x +1  . Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если t= z  .

Значит, уравнение равносильно уравнению:     √ -----
ax=   x+ 1  , которое в свою очередь равносильно системе:

{
 a2x2− x− 1= 0
 ax ≥0

При a= 0  система имеет одно решение x = −1  , которое удовлетворяет условию ax≥ 0  .

 

Рассмотрим случай a ⁄= 0  . Дискриминант первого уравнения системы          2
D = 1+ 4a > 0  при всех a  . Следовательно, уравнение всегда имеет два корня x1  и x2  , причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета          1
x1⋅x2 = − a2 < 0  ).

Это значит, что при a< 0  условию ax≥ 0  подходит отрицательный корень, при a> 0  условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Значит, a∈ ℝ  .

Ответ:

 a ∈ℝ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#877

Найдите все значения параметра a,  при которых уравнение

 ax2−2x   x2−1   7∘-------  ∘7-----
7     − 7    =  2x − ax2 − 1− x2

имеет два корня.

Показать ответ и решение

Сделаем замену: ax2− 2x =t,  x2− 1 =u.  Тогда уравнение примет вид

 t   u  √ --- √ ---      t  √7-   u  √--
7 − 7 =  7−t−  7−u  ⇔   7 +   t= 7 + 7u

Рассмотрим функцию f(w) =7w + 7√w.  Тогда наше уравнение примет вид

f (t)= f(u)

Найдем производную функции f(w ):

f′(w) =7w ln 7+ --17√----
              7⋅  w6

Заметим, что при всех w ⁄= 0  производная f′(w)> 0,  так как 7w > 0,  w6 > 0.  Заметим также, что сама функция f(w)  определена при всех w.  Так как к тому же f(w)  непрерывна, то мы можем сделать вывод, что f(w)  возрастает на всем ℝ.

Значит, равенство f(t) =f (u)  возможно тогда и только тогда, когда t= u.  Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:

ax2− 2x= x2− 1  ⇔   (a− 1)x2− 2x + 1= 0

Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным:

{a − 1⁄= 0             {a ⁄= 1
                  ⇔
 4 − 4(a− 1)> 0         a< 2
Ответ:

 a ∈(−∞; 1)∪(1;2)

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

Недостаточное обоснование

3

Обоснованный переход к неравенству, но оно либо не решено, либо сделан неверный вывод

2

Введены и рассмотрены функции левой и правой части (аналитически или графически)

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1076

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

   6       3    2
27x + (a− x) +3x  =x − a

имеет ровно два корня.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

  2 3    2       3
(3x) + 3x = (x− a) +(x− a)

Рассмотрим функцию f(t)= t3 +t.  Тогда уравнение перепишется в виде

f(3x2)= f(x− a)

Исследуем функцию f(t).  Для этого найдем ее производную:

f′(t)= 3t2+ 1> 0

Следовательно, функция f(t)  возрастает при всех t.  Значит, каждому значению функции f(t)  соответствует ровно одно значение аргумента t.  Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно:

3x2 = x − a ⇔  3x2 − x +a = 0

Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным:

D =1 − 12a > 0 ⇒   a< -1
                      12
Ответ:

   (     1-)
a ∈  −∞; 12

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

Недостаточное обоснование

3

Верный переход к неравенству, но оно либо не решено, либо сделан неверный вывод

2

Введена и исследована функция

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2577

Найдите все положительные значения параметра a  , при которых уравнение

5((ax − 2)3− (x2 − 2)3+ 3eax − 3ex2) = =  6ex2 ⋅ sin 2x2− 6eax⋅ sin 2ax + 3ex2 ⋅ cos2x2 − 3eax⋅ cos 2ax

имеет как минимум 2  решения.

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые, содержащие ax  , влево, а содержащие x2   – вправо, и рассмотрим функцию

              3      t     t           t
f(t) = 5 (t − 2) + 15e + 6e  ⋅ sin 2t + 3e ⋅ cos 2t

Тогда исходное уравнение примет вид:

f(ax ) = f(x2)

Найдем производную:

 ′              2      t
f (t) = 15 (t − 2) +  15e ⋅ (1 + cos2t)

Т.к.        2       t
(t − 2) ≥  0, e > 0, 1 + cos2t ≥ 0  , то   ′
f (t) ≥ 0  при любых t ∈ ℝ  .
 
Причем f′(t) = 0  , если (t − 2)2 = 0  и 1 + cos2t = 0  одновременно, что не выполняется ни при каких t  . Следовательно, f′(t) > 0  при любых t ∈ ℝ  .

 

Таким образом, функция f (t)  строго возрастает при всех t ∈ ℝ  .

Значит, уравнение f (ax ) = f(x2)  равносильно уравнению ax = x2   .

 

Уравнение x2 − ax =  0  при a =  0  имеет один корень x = 0  , а при a ⁄= 0  имеет два различных корня x1 = 0  и x2 = a  .
Нам нужно найти значения a  , при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что a > 0  .
Следовательно, ответ: a ∈ (0;+∞  )  .

Ответ:

(0;+ ∞ )  .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#18561

Найдите все значения параметра a,  при которых система

({ 3   x   3   a
 x  +2  < a +2
(3x+1 > 9a

имеет решения, причем все они содержатся в отрезке [0;1].

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое неравенство. Пусть       3   x
f(x) =x  +2 .  Тогда       3   a
f(a) =a  +2 .

Таким образом, решениями первого неравенства являются все такие x,  что f(x)< f(a).

Заметим, что f(x)  строго монотонно возрастает, так как является суммой двух строго монотонных возрастающих функций x3  и 2x.  Тогда для любых вещественных x1 < x2  верно, что f(x1)< f(x2).

Следовательно, решением неравенства f(x)< f(a)  являются все x,  меньшие a,  то есть x < a.

Рассмотрим второе неравенство:

 x+1   a       x+1   2a
3   > 9   ⇔   3   > 3   ⇔   x + 1> 2a  ⇔   x> 2a− 1

Теперь мы можем преобразовать изначальную систему:

({ x3+ 2x < a3+ 2a         ({x <a
                    ⇔                 ⇔   2a − 1< x< a
( 3x+1 >9a               (x >2a − 1

По условию нам нужно найти все такие значения параметра a,  при которых изначальная система будет иметь решения, и при этом все решения будут лежать в отрезке [0;1].

Тогда чтобы система имела решения, то есть существовало такое x,  что 2a − 1 < x< a,  должно быть выполнено неравенство 2a − 1 < a.  Следовательно, a< 1.

При этом все решения должны лежать в отрезке [0;1],  то есть интервал (2a− 1;a)  должен полностью лежать в отрезке [0;1].  Тогда мы имеем следующую систему:

(
|||{a <1            ({
 0 ≤2a − 1   ⇔     a< 1     ⇔   1≤ a < 1
|||(                ( 12 ≤a         2
 a ≤1
Ответ:

   [1  )
a ∈ 2 ;1

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

Недостаточное обоснование в первом неравенстве перехода к x <a

3

Составлена система, отражающая, что интервал (2a− 1;a)  полностью лежит в отрезке [0;1],  но при этом она может отличаться от верной отсутствием условия a <1

2

ИЛИ

вместо нестрогих знаков получены строгие

Верно и обоснованно получены неравенства x< a,  x> 2a− 1.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#53595

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(
{4ax⋅2x2 < 7−(x+2a)
(  3   2       3   2
 2x + x + x< 2a + a + a

имеет хотя бы одно решение на отрезке [− 2;1].

Показать ответ и решение

Первое неравенство системы равносильно

2x(x+2a) < 2−(x+2a)log27  ⇔   (x +2a)(x+ log 7)< 0
                                      2

Рассмотрим второе неравенство. Пусть f(t)= 2t3+ t2+ t.  Тогда второе неравенство имеет вид f(x)< f(a).  Изучим эту функцию. Ее производная равна

 ′     2
f(t)= 6t + 2t+ 1> 0  ∀t∈ℝ

Следовательно, f(t)  возрастает при всех t.  Значит, неравенство f(x)< f(a)  равносильно x< a.  Таким образом, система равносильна

(
{ (x + 2a)(x+ log27)< 0
( x< a

Рассмотрим несколько случаев.

1.
2a= log 7.
      2  Тогда первое неравенство системы имеет вид         2
(x +log27) < 0,  что равносильно x∈ ∅.  Следовательно, вся система не имеет решений. Этот случай нам не подходит.
2.
0≤ 2a< log27.  Тогда система равносильна
(
{ − log27< x < −2a
( x <a               ⇔   − log27< x < −2a

Тогда интервал (− log27;− 2a)  и отрезок [−2;1]  будут иметь хотя бы одну точку пересечения, если − 2a> −2,  то есть a< 1.  Значит, нам подходят 0≤ a< 1.

3.
2a< 0< log27.  Тогда система равносильна
(
{− log 7 <x < −2a
(    2              ⇔   − log27 <x < a
 x < a

Если a ≤ − log27,  то решением системы является пустое множество. Если a > − log 7,
        2  то интервал (− log 7;a)
    2  и отрезок [−2;1]  будут иметь хотя бы одну точку пересечения, если a> −2.  Следовательно, нам подходят − 2 < a< 0.

4.
log27 < 2a.  Тогда система равносильна
({
  −2a < x< − log27    ⇔   −2a < x< − log27
( x <a

Тогда интервал (− 2a;− log27)  и отрезок [−2;1]  не имеют общих точек. Эти значения параметра нам не подходят.

Тогда исходная система имеет хотя бы одно решение на указанном отрезке при

a∈ (−2;1)
Ответ:

a ∈(−2;1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31559

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

             2                                          2
|x− 3|− (1− 2a)x + (3− 4a)x +6a− 4= sin(|x− 3|+ 6a− 4)− sin((1− 2a)x − (3− 4a)x)

имеет три различных решения.

Показать ответ и решение

Если обозначить t= |x − 3|+ 6a − 4  , z = (1− 2a)x2− (3− 4a)x  , то уравнение имеет вид f(t)= f(z)  , где f(p) =sin p− p  . Так как  ′
f (p)= cosp − 1≤ 0  , то функция y =f(p)  убывающая (то есть строго монотонна), значит, уравнение f(t)= f(z)  равносильно t= z  :

                    2
|x − 3|+6a− 4= (1− 2a)x − (3− 4a)x
1.
При a = 12  мы получим линейное модульное уравнение вида |x − 3|= kx+ b  , которое имеет максимум два корня, следовательно, при данном a  мы не получим три решения, то есть этот случай нам не подходит.
2.
Пусть    1
a⁄= 2  . Рассмотрим функцию             2
f(x)= (2a− 1)x + (3− 4a)x+ |x− 3|+6a− 4  . Тогда наше уравнение имеет вид f(x)= 0  и нам нужно, чтобы график функции y = f(x)  имел 3 точки пересечения с осью абсцисс. Раскроем модуль:
⌊
⌈ f1 =(2a− 1)x2− 4(a − 1)x+6a − 7= 0, x ≤3
  f2 =(2a− 1)x2− 2(2a− 1)x +6a− 1= 0,x < 3

В зависимости от того, как расположена прямая x= 3  относительно вершин парабол f
 1  и f
 2  , график y = f(x)  может выглядеть одним из четырех видов:

PIC

Видим, что лишь четвертый график может давать три точки пересечения с осью абсцисс, то есть три корня для исходного уравнения.

Во-первых, прямая x= 3  должна располагаться строго между вершинами парабол, что задается условием

x2(верш )<3 <x1(верш)  ⇔   1< 3< 2(a-− 1) ⇔   1< a< 1
                               2a − 1      4     2

Во-вторых, должен выполняться один из двух случаев расположения оси абсцисс. Рассмотрим их ниже.

2.1.
Ось абсцисс проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку с абсциссой x = 3  . Это задается следующими требованиями:
                            1
f(3)= 0  ⇔   3a − 1 =0 ⇔   a= 3

Это значение параметра удовлетворяет условию 14 < a< 12,  значит, нам подходит.

2.2.
Ось абсцисс проходит через вершину одной из парабол и находится выше ординаты вершины другой параболы. Это задается следующими требованиями:
⌊({              ⌊({     2
||  D1 = 0       ||  −4(8a − 12a +3)= 0             √ -
||(( D2 > 0   ⇔   ||(( −16a(2a− 1) >0        ⇔  a = 3−--3;1
||⌈{ D1 > 0       ||⌈{ −4(8a2− 12a +3)> 0             4   2
 ( D2 = 0        ( −16a(2a− 1) =0

Под условие 1< a< 1
4     2  подходит только a= 3−√3
    4  .

Таким образом, ответ a ∈{3−√3;1} .
      4  3

Ответ:

   { 3− √3 1}
a ∈  --4--;3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#31560

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

 |x−a|     2          x2−2x    √-
4    ⋅log13(x  − 2x+ 4)+2    ⋅log 3(2|x − a|+ 3)= 0

имеет ровно три решения.

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

− 2|x−a|⋅log((x − 1)2+ 3)+ 2(x−1)2 ⋅log(2|x − a|+3)= 0 ⇔
         3                     3
2−(x−1)2 ⋅log3((x− 1)2+ 3) =2−2|x−a|⋅log3(2|x − a|+ 3)

Если сделать замену t =(x− 1)2  , z = 2|x − a| , то уравнение примет вид f(t)= f(z)  , где f(p)= 2−p⋅log3(p+ 3)  , причем p ≥0  . Исследуем эту функцию:

          (                   )
f′(p)= 2−p-⋅ --1-− ln 2ln3log3(p+ 3)
      ln3   p+ 3

Рассмотрим функции g(q)= 1
     q  и h(q)= ln2ln3log q
             3  при q = p+3 ≥3  .

Докажем, что g(3)< h(3)  , тогда мы получим, что g(q)− h(q)<0  при q ≥ 3  , следовательно,  ′
f (p)< 0  (так как 2−p-
ln3 >0  ).

              1
g(3)∨ h(3)  ⇔   3 ∨ln2ln3 ⇔  1∨ ln 8ln3

Так как ln8> 1  , ln3> 1  , то 1< ln8ln3  , ч.т.д.

PIC

Следовательно, производная функции y = f(p)  отрицательна, значит, функция y =f(p)  убывает (то есть строго монотонна). Следовательно, уравнение f(t)=f(z)  равносильно уравнению t= z  :

     2
(x − 1) = 2|x− a|

Рассмотрим функцию F (x)= (x− 1)2− 2|x− a| . Тогда наше уравнение имеет вид F (x)= 0  и нам нужно, чтобы график функции y =F (x)  имел 3 точки пересечения с осью абсцисс. Раскроем модуль:

⌊F1 =x2− 4x+ 1+ 2a =0,x≥ a
⌈     2
 F2 =x + 1− 2a= 0,x <a

В зависимости от того, как расположена прямая x =a  относительно вершин парабол F1  и F2  , график y = F(x)  может выглядеть одним из четырех видов:

PIC

Видим, что лишь четвертый график может давать три точки пересечения с осью абсцисс, то есть три корня для исходного уравнения.

Во-первых, прямая x =a  должна располагаться строго между вершинами парабол, что задается условием

x2(верш)< 3< x1(верш)  ⇔  0< a< 2

Во-вторых, должен выполняться один из двух случаев расположения оси абсцисс. Рассмотрим их ниже.

1)
Ось абсцисс проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку с абсциссой x= a  . Это задается следующими требованиями:
F (a)= 0  ⇔  (a− 1)2 =0  ⇔   a= 1

Это значение параметра удовлетворяет условию 0< a< 2,  значит, нам подходит.

2)
Ось абсцисс проходит через вершину одной из парабол и находится выше ординаты вершины другой параболы. Это задается следующими требованиями:
⌊(              ⌊(
|{ D1 = 0       |{− 4(2a− 3) =0
||( D2 > 0       ||(4(2a− 1)> 0           3 1
|||({ D1 > 0   ⇔   |||({− 4(2a− 3) >0    ⇔   a= 2;2
⌈(              ⌈(
   D2 = 0         4(2a− 1)= 0

Под условие 0< a< 2  подходят оба a= 12;32  .

Таким образом, ответ    {1   3}
a ∈ 2;1;2 .

Ответ:

 a ∈{0,5;1;1,5}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#31811

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

  ( 10x−-2x2−-a)             2
cos      3      − cos(2x +a)= x − 8x − a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что

  10x−-2x2−-a          2( 2      )
−     3     − (2x+ a)= 3 x − 8x − a

Следовательно, если   10x−2x2−a
− ---3----=t  ,  2x+ a= y  , то      2 (2       )
t− y = 3 x − 8x− a , откуда  2         3
x − 8x − a = 2(t− y)  и уравнение примет вид

             3                3        3
cos(−t)− cosy = 2(t− y) ⇔ cost− 2t= cosy− 2y

Функция f(x)= cosx − 32x  имеет производную f′(x)= − sin x− 32 ≤ − 12 <0  , следовательно, f(x)  является монотонно убывающей. Для таких функций равенство f(t)= f(y)  равносильно равенству t= y  . Следовательно,

t= y  ⇒  x2 − 8x− a= 0 ⇔  (x− 4)2 =16+ a

Единственное решение при a =−16  .

Ответ:

 a ∈{−16}

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!