Тема 18. Задачи с параметром

18.13 Функции. Монотонность: f(x) ∨ g(x), f(x)↑, g(x)↓

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31666

Решите уравнение, используя свойства монотонной функции

 −x
2  = lg(x+ 11)+ 1
Показать ответ и решение

Композиция функций разного характера монотонности — убывающая функция, следовательно, так как y =− x  — убывающая, y = 2x  — возрастающая, то     −x
y = 2  — убывающая. Функция y = lg(x+ 11)+ 1  возрастающая. Уравнение вида f(x)= g(x)  , где одна функция убывает, а другая возрастает, имеет не более одного решения. Подбором убеждаемся, что это x= −1.

Ответ:

 x ∈{−1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31554

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых все решения уравнения

1−x2−2ax−2a     |x+-a|+-5|a−-1|
3         = log3    2|a− 1|

принадлежат отрезку [−3;0]  .

Показать ответ и решение

Так как

    2             2       2   2               2       2
1− x − 2ax − 2a= −(x + 2ax +a )+a − 2a+ 1= −(x+a) + (a − 1),

то после замены t= x+ a  , b= a− 1  получаем

 b2−t2      |t|+-5|b|
3    = log3  2|b|

Заметим, что |b|⁄= 0  , то есть b⁄= 0  . Будем далее это учитывать.

Так как

x∈ [− 3;0]
x+ a∈ [−3 +a;a]
t∈[b− 2;b+ 1]

то уравнение с t  должно иметь решения, принадлежащие отрезку [b− 2;b+ 1].

Пусть f(t)=3b2−t2  , g(t)= log3 |t|+2|5b||b| . Заметим, что обе функции четные, так как f(−t)= f(t)  , g(− t)= g(t)  . Следовательно, если у уравнения есть решение t0  , то у него также есть решение − t0  . Заметим также, что при t≥0  : функция y =f(t)  убывающая (так как является композицией возрастающей функции y = 3t  и убывающей y =− t2+ b2  ), функция y = g(t)  является возрастающей (как композиция двух возрастающих функций y = log3t  и y = t+52||b|b| ), следовательно, уравнение f(t)= g(t)  при t≥0  имеет не более одного корня. Подбором находим, что t= |b| является решением этого уравнения. Следовательно, t=− |b| также является решением этого уравнения. Значит, нужно, чтобы

                       ({ |b|≤b +1
b− 2≤ −|b|≤|b|≤ b+ 1  ⇔  (             ⇔   − 1 ≤b ≤1
                         −|b|≥ b− 2        2

Так как b⁄= 0  , то

(  1             ( 1
{− 2 ≤ b≤1   ⇒   { 2 ≤ a≤ 2
(b⁄= 0            (a ⁄=1
Ответ:

 a ∈[0,5;1)∪ (1;2]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31673

Решите уравнение, используя свойства монотонной функции

 2          (√----- √ ----)
x  − x +2 = 2 x +7 −  x− 1
Показать ответ и решение

Рассмотрим область определения уравнения

({
 x+ 7≥ 0    ⇔  x ≥1
(x− 1≥ 0

При x≥ 1  функция     2
y = x +x − 2  возрастает (так как мы получаем правую часть ветви параболы, функции    √ -
y =  x  , y = x− 1  и y =x +7  также возрастающие, композиция возрастающх — возрастающая функция. Так как характер монотонности правой части определить невозможно, ибо она представлена в виде разности возрастающих, сделаем следующее: умножим и разделим левую часть на положительное √----  √----
 x +7 + x − 1  :

x2 − x+ 2= √---16√-----
            x+7 +  x− 1

Функция f(x)= √x-+7+ √x-− 1  возрастающая и положительная на области определения, следовательно, y = f1(x)  — убывающая. Следовательно, уравнение имеет вид g(x)= f(1x)  , где слева – возрастающая, справа – убывающая. Уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x = 2.

Ответ:

 x ∈{2}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31674

Решите неравенство, используя свойства монотонной функции

 x      1
3 − 7> 4x
Показать ответ и решение

Функция f(x)= 3x− 7  — возрастающая. Функция g(x)= 41x  — убывающая на x < 0  и убывающая на x> 0  . Изобразим графики для большего понимая:

PIC

Нам подходят те значения переменной, при которых график f(x)  находится выше графика g(x)  . Это все x >x0  , где x0  — точка пересечения. Подбором находим, что x0 =2.

Ответ:

 x ∈(2;+ ∞)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#897

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

                               2
√ ------    2                 a--
  x − 1 + 5x −  9x + 3a + 8 = x

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим семейства функций         √ ------                               2
fa(x) =   x − 1 + 5x2 − 9x + 3a + 8,  ga(x) = a--
                                               x  .

ОДЗ уравнения: x ≥ 1  . При этих x  :

 

Функция      √------
y1 =  x −  1  является строго возрастающей. Графиком функции y2 = 5x2 − 9x  является парабола, вершина которой находится в точке     -9-
x = 10  . Следовательно, при всех x ≥ 1  функция   y2   также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то f (x )
 a  – строго возрастает (константа 3a + 8  не влияет на монотонность функции).

 

Функция          2
g (x ) = a--
 a      x  при всех x ≥ 1  представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.

 

Решить уравнение fa(x ) = ga(x )  — значит найти точки пересечения функций f  и g  . Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.

 

При x ≥ 1    fa(x ) ≥ 3a + 4,  0 < ga(x) ≤ a2   . Следовательно, уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если:
 
PIC

 

          2
3a + 4 ≤ a  ⇒  a ∈ (− ∞;  − 1] ∪ [4;+ ∞ )
Ответ:

a ∈ (− ∞; − 1] ∪ [4;+ ∞ )  .

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!