18.13 Функции. Монотонность: f(x) ∨ g(x), f(x)↑, g(x)↓
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение, используя свойства монотонной функции
Композиция функций разного характера монотонности — убывающая функция, следовательно, так как — убывающая,
—
возрастающая, то
— убывающая. Функция
возрастающая. Уравнение вида
, где одна функция
убывает, а другая возрастает, имеет не более одного решения. Подбором убеждаемся, что это
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых все решения уравнения
принадлежат отрезку .
Так как
то после замены ,
получаем
Заметим, что , то есть
. Будем далее это учитывать.
Так как
то уравнение с должно иметь решения, принадлежащие отрезку
Пусть ,
. Заметим, что обе функции четные, так как
,
. Следовательно, если у
уравнения есть решение
, то у него также есть решение
. Заметим также, что при
: функция
убывающая (так как
является композицией возрастающей функции
и убывающей
), функция
является возрастающей (как
композиция двух возрастающих функций
и
), следовательно, уравнение
при
имеет не более одного
корня. Подбором находим, что
является решением этого уравнения. Следовательно,
также является решением этого
уравнения. Значит, нужно, чтобы
Так как , то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение, используя свойства монотонной функции
Рассмотрим область определения уравнения
При функция
возрастает (так как мы получаем правую часть ветви параболы, функции
,
и
также возрастающие, композиция возрастающх — возрастающая функция. Так как характер монотонности правой части
определить невозможно, ибо она представлена в виде разности возрастающих, сделаем следующее: умножим и разделим левую часть на
положительное
:
Функция возрастающая и положительная на области определения, следовательно,
— убывающая.
Следовательно, уравнение имеет вид
, где слева – возрастающая, справа – убывающая. Уравнение имеет не более одного корня.
Подбором находим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство, используя свойства монотонной функции
Функция — возрастающая. Функция
— убывающая на
и убывающая на
. Изобразим графики для
большего понимая:
Нам подходят те значения переменной, при которых график находится выше графика
. Это все
, где
— точка
пересечения. Подбором находим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно одно решение.
Рассмотрим семейства функций .
ОДЗ уравнения: . При этих
:
Функция является строго возрастающей. Графиком функции
является
парабола, вершина которой находится в точке
. Следовательно, при всех
функция
также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго
возрастающая, то
– строго возрастает (константа
не влияет на монотонность
функции).
Функция при всех
представляет собой часть правой ветви гиперболы и является
строго убывающей.
Решить уравнение — значит найти точки пересечения функций
и
. Из
их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного
корня.
При
. Следовательно, уравнение будет иметь единственное
решение в том случае, если:
.