Тема 18. Задачи с параметром

18.14 Функции. Метод главного модуля/слагаемого

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31570

Найдите a  , при которых уравнение

 2           ∘ -2--------
a + 11|x+ 2|+3  x +4x+ 13= 5a+2|x− 2a +2|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

 ∘-----2---                           2
3 (x+ 2) +9= −11|x +2|+ 2|x− 2a+2|+ 5a − a

Рассмотрим две функции       ∘ -----2---
f(x)=3  (x +2) + 9  и                                2
g(x)= −11|x+ 2|+ 2|x − 2a+ 2|+ 5a− a  и исследуем их.

  • y =f(x)  является композицией двух функций:        √----
f1(t)= 3 t+ 9  и            2
f2(x)= (x +2)  . Так как f1  возрастает ∀t∈ ℝ  , f2  убывает при x< −2  и возрастает при x> −2  , то при x< −2  y =f(x)  убывает, а при x > −2  возрастает.
  • y =g(x)  при любом варианте раскрытия двух модулей представляет из себя линейную функцию, причем характер ее монотонности зависит от того, как раскроется первый модуль. Действительно, если он раскроется отрицательно, то g1(x)= 11x± 2x+h1(a)  , то есть коэффициент перед x  будет положительный, следовательно, функция возрастает. При положительном раскрытии модуля получим g2(x)= −11x± 2x+ h2(a)  , то есть отрицательный коэффициент перед x  , следовательно, функция убывает. Подытожим: при x <−2  функция возрастает, при x> −2  убывает.

Нам требуется, чтобы графики функций f(x)  и g(x)  имели хотя бы одну точку пересечения, что схематично выглядит следующим образом:

PIC

Это задается условием:

                         2              2
g(− 2)≥f(−2)  ⇒  4|a|+ 5a− a ≥9  ⇔   4|a|≥a − 5a+ 9  ⇔
⌊     2              ⌊ 2                  [    √-     √-]
⌈ 4a ≥a − 5a+ 9   ⇔   ⌈a − 9a+9 ≤0  ⇔   a∈  9−-3-5;9+-3-5
  4a ≤− a2+5a− 9       a2− a+ 9≤0              2     2
Ответ:

 a ∈[9−3√5;9+3√5]
      2    2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31571

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых неравенство

  5                            3√-----
3x + 11x+4|x− a+3|+ 2|3x+ a− 5|+ 4x+ 5≤ 25

выполняется для всех x ∈[−4;−1]  .

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде:

  5  3√-----
3x +  4x+ 5− 25≤ −11x− 4|x− a+ 3|− 2|3x+ a− 5|

Рассмотрим две функции f(x)=3x5+ 3√4x-+5− 25  и g(x)= −11x− 4|x− a+ 3|− 2|3x+ a− 5| и исследуем их.

  • y =f(x)  является суммой двух возрастающих функций, следовательно, сама является возрастающей функцией.
  • y =g(x)  при любом варианте раскрытия двух модулей убывает, так как принимает вид g(x)=kx +h(a)  , где k  может принимать одно из значений {−11+ 4+ 6;−11+ 4− 6;− 11 − 4− 6;−11− 4 +6} .

Тогда на одной координатной плоскости графики схематично выглядят так:

PIC

То есть графики функций (где одна возрастает, а другая убывает) имеют не более одной точки пересечения, а в нашем случае — ровно одну. Если обозначить ее за x
 0  , то решением неравенства f(x)≤ g(x)  будут x≤ x
    0  .

Чтобы отрезок [−4;− 1]  содержался во множестве решений неравенства, необходимо, чтобы x0 ≥ −1  , или, что то же самое,

g(−1)≥f(−1)  ⇔  11− 4|a− 2|− 2|a− 8|≥ −27 ⇔ 2|a− 2|+ |a− 8|− 19≤ 0 ⇔
⌊                                     ⌊
| −2(a − 2)− (a− 8)− 19 ≤0, при a≤2      |a ≥− 73, при a ≤2
|| 2(a− 2)− (a− 8)− 19≤ 0, при 2 <a <8 ⇔ ||a ≤15, при 2 <a <8 ⇔ − 7≤ a≤ 31
⌈ 2(a− 2)+(a− 8)− 19≤ 0, при a ≥8      ⌈a ≤ 31, при a≥ 8         3     3
                                           3
Ответ:

 a ∈[− 7;31]
     3 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31573

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

4x− |3x− |x+a||=9|x− 1|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение в виде

f(x)= 0, где f(x)= 9|x − 1|− 4x +|3x − |x+ a||

Характер монотонности функции y = f(x)  зависит от того, как раскроется первый модуль. Действительно, при x < 1  он раскроется отрицательно, и функция будет иметь вид f1(x)=k1x+ h1(a)  , где k1  принимает одно из значений {−9− 4±2;−9− 4± 4} , то есть k < 0
 1  , значит, функция убывает. При x >1  имеем f(x)= kx +h (a)
 2     2   2  , где k ∈ {9− 4 ±2;9− 4 ±4}
 2 , то есть k > 0
 2  , следовательно, функция возрастает. Таким образом, чтобы уравнение f(x)= 0  имело хотя бы одно решение, то есть график ункции имел хотя бы одну точку пересечения с осью абсцисс, нужно, чтобы график выглядел схематично так:

PIC

То есть необходимо, чтобы

f(1)≤ 0  ⇔   −4+ |3− |a +1||≤ 0  ⇔   ||a +1|− 3|≤ 4  ⇔
− 4≤ |a +1|− 3 ≤4 ⇔   −1≤ |a +1|≤ 7  ⇔  |a+1|≤ 7  ⇔
− 7≤ a+ 1≤ 7 ⇔   −8 ≤a ≤6
Ответ:

 a ∈[−8;6]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31575

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

 2          ∘ -2-------
a + 7|x+ 1|+5  x +2x+ 5= 2a+ 3|x− 4a+1|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

 ∘ -----2---                          2
5  (x +1) + 4= −7|x+ 1|+3|x − 4a+ 1|+2a− a

Рассмотрим две функции       ∘ -----2---
f(x)=5  (x +1) + 4  и                               2
g(x)= −7|x+ 1|+3|x − 4a+ 1|+2a− a  и исследуем их.

  • y =f(x)  является композицией двух функций:        √----
f1(t)= 5 t+ 4  и            2
f2(x)= (x +1)  . Так как f1  возрастает ∀t∈ ℝ  , f2  убывает при x< −1  и возрастает при x> −1  , то при x< −1  y =f(x)  убывает, а при x > −1  возрастает.
  • y =g(x)  при любом варианте раскрытия двух модулей представляет из себя линейную функцию, причем характер ее монотонности зависит от того, как раскроется первый модуль. Действительно, если он раскроется отрицательно, то g1(x)= 7x± 3x+ h1(a)  , то есть коэффициент перед x  будет положительный, следовательно, функция возрастает. При положительном раскрытии модуля получим g2(x)=− 7x±3x+ h2(a)  , то есть отрицательный коэффициент перед x  , следовательно, функция убывает. Подытожим: при x <−1  функция возрастает, при x> −1  убывает.

Нам требуется, чтобы графики функций f(x)  и g(x)  имели хотя бы одну точку пересечения, что схематично выглядит следующим образом:

PIC

Это задается условием:

                          2                2
g(− 1)≥f(−1)  ⇒  12|a|+ 2a − a ≥ 10 ⇔  12|a|≥ a − 2a +10  ⇔
⌊      2              ⌊  2                ⌊   √ --       √ --
⌈ 12a ≥a − 2a+10    ⇔  ⌈ a − 14a+ 10≤0  ⇔  ⌈ 7−  3√9≤a ≤7 +  39√--
  12a ≤−a2+ 2a− 10       a2+10a+ 10≤0        −5−  15≤ a≤ −5+  15
Ответ:

 a ∈[7− √39;7+ √39]∪[− 5− √15;−5 +√15]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#390

Найдите все значения параметра a  , при которых уравнение

x4 + 12|x − 2| + 9 = 7x3 + x2 + 7|x − 11a|
                     3

имеет более одного корня.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в другом виде:

 4   7- 3    2
x  − 3 x −  x + 9 =  7|x − 11a | − 12 |x − 2|

Пусть f(x ) = x4 − 7x3 − x2 + 9,  g(x) = 7|x − 11a| − 12 |x − 2|
             3

 

Изобразим графики обеих функций:

 

1)f(x) = x4 − 7-x3 − x2 + 9 = ⇒ f ′(x) = 4x3 − 7x2 − 2x
            3

 

             ⌊
              x = − 1-
 ′           ||      4
f (x) = 0 ⇒  ⌈x = 0

              x = 2

      1
x = − --
      4  и x =  2  – точки минимума, x = 0  – точка максимума.

 

Причем   (    )
      1-    6895-          7-
f   − 4  =   768 >  f(2) = 3

 

2)g(x) = 7|x − 11a| − 12 |x − 2|

 

Рассмотрим два случая:
2.1) x ≥ 2  . Тогда |x −  2| = x − 2  . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль |x − 11a| , g(x)  – линейная функция, коэффициент перед x  у которой будет отрицательным (в точности, он будет равен −  19  или − 5  ). Т.е. g(x)  всегда убывает при x ≥ 2  .

 

2.2) x < 2  . Тогда |x − 2| = − (x − 2)  . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль |x − 11a| , g(x)  – линейная функция, коэффициент перед x  у которой будет положительным (в точности, он будет равен 19  или 5  ). Т.е. g(x)  всегда возрастает при x < 2  .

 

Таким образом, x = 2  – точка максимума (единственная) у функции g (x)  , причем g(2) = 7|2 − 11a|
 
PIC

 

Уравнение будет иметь более одного корня, если g(2) > f(2)  .

 

Решая данное неравенство, получим     (        )    (        )
           5--     -7-
a ∈   − ∞; 33  ∪   33 ;+ ∞ .

Ответ:

    (         )   (        )
a ∈   − ∞; -5-  ∪   7-;+ ∞
           33       33 .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#905

Найдите все значения параметра a  , при которых уравнение

 √ -------------
3  x2 + 4x + 12 = 5a − a2 + 2|x − 2a + 2| − 11|x + 2 |

имеет решения.

Показать ответ и решение

Сделаем замену: x + 2 = t  . Для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы полученное уравнение

   ------
3√ t2 + 8 = 5a − a2 + 2|t − 2a | − 11|t|
имело хотя бы одно решение.

 

1 способ.

 

1) a <  0  . Модули раскрываются следующим образом:

            (
            |{ 9a − a2 + 9t, если    t < 2a
 √ -2----          2
3  t +  8 = |( a − a +  13t, если    2a ≤ t ≤ 0         (∗)
              a − a2 − 9t,  если    t > 0

Изобразим схематично график системы (∗)  , причем заметим, что при a < 0  :

                2                   2
g(2a) = 27a −  a <  0,  g(0) = a − a  < 0.

PIC

 

Из графика видно, что уравнение ни при каких a < 0  не имеет решений.

 

2) a =  0  . Тогда уравнение примет вид

 √ ------
3  t2 + 8 = − 9|t|
Левая часть этого уравнения всегда положительна, а правая – всегда неположительна. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

 

3) a >  0  . Тогда модули раскрываются следующим образом:

            (|       2
 √ ------   { 9a − a +  9t,   если    t < 0
3  t2 + 8 =   9a − a2 − 13t, если    0 ≤ t ≤ 2a         (∗∗)
            |( a − a2 − 9t,   если    t > 2a

Изобразим схематично график системы (∗∗ )  , причем заметим, что при a > 0  :

g(0) = 9a − a2,  g(2a ) = − a2 − 17a < 0.

PIC

 

Уравнение будет иметь хотя бы один корень, когда вершины графика функции g(t)  будет не ниже вершины графика функции f(t)  :

9a − a2 ≥ 8   ⇔    a ∈ [1;8].
Данные значения для a  подходят под условие a > 0  .

 

2 способ.

3√t2-+-8-= 5a − a2 + 2|t − 2a | − 11|t|

Рассмотрим два случая:

 

1) t ≥ 0  . Тогда |t| = t  . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль |t − 2a| , справа будет стоять линейная функция, коэффициент перед t  у которой будет отрицательным (в точности, он будет равен или − 13  , или −  9  ). То есть функция справа будет всегда убывать.

 

2) t < 0  . Тогда |t| = − t  . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль |t − 2a | , справа будет стоять линейная функция, коэффициент перед t  у которой будет положительным (в точности, он будет равен или 13  , или 9  ). То есть функция справа будет всегда возрастать.

 

Таким образом, точка максимума у функции справа – это t = 0  , и в этой точке значение функции равно 5a − a2 + 2| − 2a | = 5a − a2 + 4|a| .

 

Рассмотрим функцию слева: она всегда положительна, имеет единственный минимум в точке t = 0  , и в этой точке значение функции равно 8  (до точки t = 0  она убывает, после – возрастает).

 

Следовательно, уравнение будет иметь решения в том случае, если

5a − a2 + 4|a| ≥ 8

Решая данное неравенство, получаем тот же ответ a ∈ [1;8 ].

Ответ:

[1;8]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1085

Найдите все значения a  , при каждом из которых уравнение

a2 + 13|x| + 2x2+2 =  20a + 2|5x + 12a|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

13|x| − 2|5x + 12a| = 20a − a2 − 2x2+2
и рассмотрим две функции:                     2
g(x) = 20a − a2 − 2x +2   и f(x ) = 13|x | − 2|5x + 12a| .
Функция g(x )  имеет точку максимума x = 0  (причем gверш =  g(0) = − a2 + 20a − 4  ):
g′(x) = − 2x2+2 ⋅ ln 2 ⋅ 2x  . Ноль производной: x = 0  . При x <  0  имеем: g′ > 0  , при x > 0  :  ′
g  < 0  .
Функция f (x )  при x > 0  является возрастающей, а при x < 0  – убывающей, следовательно, x =  0  – точка минимума.
Действительно, при x >  0  первый модуль раскроется положительно (|x| = x  ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, f(x)  будет равно kx +  A  , где A  – выражение от a  , а k  равно либо 13 − 10 = 3  , либо 13 + 10 = 23  . При x <  0  наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и f(x) = kx + A  , где k  равно либо − 3  , либо − 23  .
Найдем значение f  в точке минимума:
fверш = f(0) = − 24|a|

PIC
 
Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций f  и g  имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно:
                                               ⌊ {
                                                   a ≥ 0
                                               ||   a2 − 44a + 4 ≤ 0
f(0) ≤ g(0)   ⇒    a2 − 20a + 4 ≤  24|a |  ⇔    | {
                                               |⌈   a < 0
                                                    2
                                                   a  + 4a + 4 ≤ 0
Решая данную совокупность систем, получим ответ:
a ∈ {− 2} ∪ [22 − 4√30;-22 + 4√30-]
Ответ:

                   √ ---      √ ---
a ∈ {− 2} ∪ [22 − 4  30;22 + 4  30]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1228

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

|x −  a2 − 3a | + |x − a2 + 2a| + |2x − a2 − a| = 5a

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Рассмотрим две функции: f(x) = |x − a2 − 3a| + |x − a2 + 2a| + |2x −  a2 − a | и g(x) = 5a  .
Заметим, что f(x) ≥ 0  при всех x  и a  (как сумма модулей). Следовательно, для того, чтобы графики функции имели точки пересечения, нужно, чтобы 5a ≥ 0  , то есть a ≥ 0  .

 

Заметим, что если третий модуль раскроется с плюсом, то, вне зависимости от того, как раскроются первые два модуля, слева будет стоять либо возрастающая функция (f(x) = kx + y(a)  , k > 0  , причем k  будет равно либо 4, либо 2), либо константа (когда k =  0  ).
Если третий модуль раскроется с минусом, то, также вне зависимости от того, как раскроются первые два модуля, слева будет убывающая функция (f (x ) = kx + y(a)  , k < 0  , причем k  будет равно либо − 4  , либо − 2  ) или константа (когда k =  0  ).
При x ≤  (a2 + a) : 2  третий модуль раскроется с минусом, при x > (a2 + a) : 2  – с плюсом.
Заметим, что так как a ≥ 0  , то (a2 + a ) : 2 ≥ 0  .
Значит, функция f(x) = |x − a2 − 3a| + |x − a2 + 2a| + |2x − a2 − a| будет либо константой (ее график будет параллелен оси абсцисс), либо ее график будет иметь один из трех видов:
PIC

 

Графиком функции g(x) = 5a  при каждом фиксированном a  будет прямая, параллельная оси абсцисс. Следовательно, для того, чтобы графики f  и g  имели хотя бы одну точку пересечения, нужно, чтобы график g  находился не ниже вершины ( 2     ( 2   ))
 a-+2a;f   a+2a- графика f  :
PIC

       (  2    )
5a ≥ f  a--+-a-    ⇒    10a ≥  |a2 + 5a | + |a2 − 5a|
           2
Так как a ≥ 0  , то  2
a +  5a ≥ 0  , следовательно, неравенство равносильно:
⌊ {
    0 ≤ a ≤ 5
||   a2 + 5a − a2 + 5a ≤ 10a
|| {                              ⇔    0 ≤ a ≤  5
|   a > 5
⌈
    a2 + 5a + a2 − 5a ≤ 10a
Ответ:

[0;5]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2373

Найдите все значения a  , при каждом из которых уравнение

           √ ---------
a2 − 7a + 7  2x2 + 49 =  3|x − 7a | − 6|x|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

 √ ---------
7  2x2 + 49 =  3|x − 7a | − 6|x| − a2 + 7a
и рассмотрим две функции:         √ ---------
g(x) = 7  2x2 + 49  и f (x) = 3|x − 7a| − 6|x| − a2 + 7a  .
Функция g(x )  является четной, имеет точку минимума x =  0  (причем g(0) = 49  ).
Функция f (x )  при x > 0  является убывающей, а при x < 0  – возрастающей, следовательно, x =  0  – точка максимума.
Действительно, при x >  0  второй модуль раскроется положительно (|x| = x  ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, f (x)  будет равно kx + A  , где A  – выражение от a  , а k  равно либо − 9  , либо − 3  . При x <  0  наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и f (x ) = kx + A  , где k  равно либо 3  , либо 9  .
Найдем значение f  в точке максимума:
          2
f (0 ) = − a + 7a + 21|a|

PIC
 
Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций f  и g  имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно:
                                                 ⌊{
                                                    a > 0
                                                 ||  a2 − 28a + 49 ≤  0
                                                 ||{
                      2                          |  a < 0
f(0) ≥ g(0)   ⇒    − a + 7a +  21|a | ≥ 49  ⇔     ||   2
                                                 ||  a  + 14a + 49 ≤  0
                                                 |{
                                                 ⌈  a = 0
                                                    0 ≥ 49
Решая данную совокупность систем, получим ответ:
                  √ --      √ --
a ∈ {− 7} ∪ [14 − 7  3;14 + 7  3 ]
Ответ:

                   √ --      √ --
a ∈ {− 7} ∪ [14 − 7  3;14 + 7  3]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2636

Найдите все значения параметра a  , при которых уравнение

 √ -------------
2  x2 + 4x + 20 = 5a − a2 + 2|x − 2a + 2| − 11|x + 2 |

имеет решения.

Показать ответ и решение

Сделаем замену: x + 2 = t  . Для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы полученное уравнение

   -------
2√ t2 + 16 = 5a − a2 + 2|t − 2a| − 11|t|
имело хотя бы одно решение.

 

1 способ.

 

1) a <  0  . Модули раскрываются следующим образом:

            (
            |{ 9a − a2 + 9t,  если   t < 2a
 √ 2------         2
2  t + 16 = |( a − a  + 13t,  если   2a ≤ t ≤ 0          (∗ )
              a − a2 − 9t,   если   t > 0

Изобразим схематично график системы (∗)  , причем заметим, что при a < 0  :
g(2a) = 27a −  a2 < 0,  g(0) = a − a2 < 0.

PIC
 
Из графика видно, что уравнение ни при каких a <  0  не имеет решений.

 

2) a =  0  . Тогда уравнение примет вид

 √ -------
2  t2 + 16 = − 9|t|
Левая часть этого уравнения всегда положительна, а правая – всегда неположительна. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

 

3) a >  0  . Тогда модули раскрываются следующим образом:

             (       2
  √-------   |{ 9a − a  + 9t,   если   t < 0
2  t2 + 16 =   9a − a2 − 13t,  если   0 ≤ t ≤ 2a          (∗ ∗)
             |(      2
               a − a  − 9t,    если   t > 2a

Изобразим схематично график системы (∗∗)  , причем заметим, что при a > 0  :
g(0) = 9a − a2,  g(2a ) = − a2 − 17a < 0.

PIC
 
Уравнение будет иметь хотя бы один корень, когда вершина графика функции g(t)  будет не ниже вершины графика функции f(t)  :
9a − a2 ≥ 8   ⇔    a ∈ [1;8].
Данные значения для a  подходят под условие a > 0  .

 

2 способ.

 √ -------
2  t2 + 16 = 5a − a2 + 2|t − 2a| − 11|t|

Рассмотрим два случая:

 

1) t ≥ 0  . Тогда |t| = t  . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль |t − 2a| , справа будет стоять линейная функция, коэффициент перед t  у которой будет отрицательным (в точности, он будет равен или − 13  , или −  9  ). То есть функция справа будет всегда убывать.

 

2) t < 0  . Тогда |t| = − t  . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль |t − 2a | , справа будет стоять линейная функция, коэффициент перед t  у которой будет положительным (в точности, он будет равен или 13  , или 9  ). То есть функция справа будет всегда возрастать.
 
Таким образом, точка максимума у функции справа – это t = 0  , и в этой точке значение функции равно 5a − a2 + 2| − 2a | = 5a − a2 + 4|a| .
 
Рассмотрим функцию слева: она всегда положительна, имеет единственный минимум в точке t = 0  , и в этой точке значение функции равно 8  (до точки t = 0  она убывает, после – возрастает).
 
Следовательно, уравнение будет иметь решения в том случае, если

5a − a2 + 4|a| ≥ 8
Решая данное неравенство, получаем тот же ответ a ∈ [1;8].
Ответ:

[1;8]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#10815

Найдите все значения параметра a  , при которых уравнение

x4+ 12|x− 2|+ 9= 7x3+ x2+ 7|x − 11a|
                3

имеет более одного корня.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в другом виде:

 4   7- 3    2
x  − 3 x −  x + 9 =  7|x − 11a | − 12 |x − 2|

Пусть f(x ) = x4 − 7x3 − x2 + 9,  g(x) = 7|x − 11a| − 12 |x − 2|
             3

 

Изобразим графики обеих функций:

 

1)f(x) = x4 − 7-x3 − x2 + 9 = ⇒ f ′(x) = 4x3 − 7x2 − 2x
            3

 

             ⌊
              x = − 1-
 ′           ||      4
f (x) = 0 ⇒  ⌈x = 0

              x = 2

      1
x = − --
      4  и x =  2  – точки минимума, x = 0  – точка максимума.

 

Причем   (    )
      1-    6895-          7-
f   − 4  =   768 >  f(2) = 3

 

2)g(x) = 7|x − 11a| − 12 |x − 2|

 

Рассмотрим два случая:
2.1) x ≥ 2  . Тогда |x −  2| = x − 2  . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль |x − 11a| , g(x)  – линейная функция, коэффициент перед x  у которой будет отрицательным (в точности, он будет равен −  19  или − 5  ). Т.е. g(x)  всегда убывает при x ≥ 2  .

 

2.2) x < 2  . Тогда |x − 2| = − (x − 2)  . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль |x − 11a| , g(x)  – линейная функция, коэффициент перед x  у которой будет положительным (в точности, он будет равен 19  или 5  ). Т.е. g(x)  всегда возрастает при x < 2  .

 

Таким образом, x = 2  – точка максимума (единственная) у функции g (x)  , причем g(2) = 7|2 − 11a|
 
PIC

 

Уравнение будет иметь более одного корня, если g(2) > f(2)  .

 

Решая данное неравенство, получим     (        )    (        )
           5--     -7-
a ∈   − ∞; 33  ∪   33 ;+ ∞ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#18304

Найдите все значения параметра a,  при которых уравнение

   2        2
− x + 2ax − a − 7= 6|x − a|− |3x +2a|

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть уравнения:

  2        2         2       2             2
−x  +2ax − a − 7 = −(x − 2ax +a )− 7= − (x − a) − 7

Пусть              2
f(x)= −(x − a) − 7.  Тогда графиком функции f(x)  является парабола с вершиной в точке (a;− 7)  и ветвями, направленными вниз. Это означает, что в точке x= a  функция f(x)  принимает наибольшее из возможных значений, то есть f(x)≤ f(a)= −7.

PIC

 

Рассмотрим правую часть уравнения. Пусть g(x)= 6|x − a|− |3x+ 2a|.  Воспользуемся принципом главного модуля, так как только раскрытие первого модуля определяет, будет функция возрастать или убывать. Раскроем модули в функции g(x),  чтобы убедиться в этом:

  • Если x ≤ a,  то при раскрытии первого модуля коэффициент при x  будет равен − 6.  Заметим, что, как бы ни был раскрыт второй модуль, итоговый коэффициент при x  будет отрицательным. Тогда на промежутке (− ∞;a]  функция g(x)  будет убывать.
  • Если x ≥a,  то при раскрытии первого модуля коэффициент при x  будет равен 6. Заметим, что, как бы ни был раскрыт второй модуль, итоговый коэффициент при x  будет положительным. Тогда на промежутке [a;+∞ )  функция g(x)  будет возрастать.

Следовательно, в точке x= a  функция g(x)  будет принимать наименьшее из возможных значений, то есть g(x)≥ g(a) =− |5a|.

Нас просят найти такие значения параметра a,  при которых исходное уравение будет иметь хотя бы одно решение. То есть графики функций f(x)  и g(x)  должны иметь хотя бы одну точку пересечения. Заметим, что в точке x= a  функция f (x)  принимает свое наибольшее значение, а функция g(x)  — наименьшее. Тогда если f(a)< g(a),  то графики функций f(x)  и g(x)  вовсе не будут пересекаться.

PIC

Следовательно, если у уравнения есть хотя бы один корень, то f(a) ≥g(a),  то есть

                              ⌊ ({− 7≥ −5a
                              ||
                              || ((a ≥0
f(a)≥ g(a) ⇔   − 7≥ −|5a| ⇔   || {− 7≥ 5a       ⇔
                              ⌈ (
                                 a ≤0

    ⌊(
    |{ 75 ≤ a          ⌊
    ||(0 ≤a              7≤ a
⇔   ||({  7         ⇔   ⌈ 5   7
    |⌈ − 5 ≥ a          a ≤ −5
     (a ≤ 0

Заметим, что условия f(a)≥ g(a)  достаточно для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы одно решение, так как f(x)  принимает любое значение от − ∞ до − 7,  поэтому f(x)  примет значение, меньшее g(a)= −|5a|,  а значит пересечет график g(x).

PIC

Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при

   (      7]  [7    )
a∈  − ∞;− 5 ∪  5;+∞
Ответ:

   (      7]  [7    )
a ∈  −∞; −5  ∪ 5;+ ∞

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

Недостаточное обоснование либо в ходе рассмотрения функций, либо при решении неравенства

3

Обоснованный переход к неравенству, но его решение неверное

2

Введены и рассмотрены функции левой и правой части (аналитически или графически)

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!