.04 Законы сохранения в механике

Обоснование

1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Размеры шарика малы по сравнению с размерами нити, а пуля еще меньше, поэтому будем описывать шарик и пулю моделью материальной точки.
3. Будем считать, что время соударения шарика и пули мало, а значит нить за это время не успевает заметно отклониться, поэтому в момент столкновения все силы направлены вертикально. Следовательно, в ИСО при попадании пули в шарик сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы тел "шарик + пуля ".
4. После попадания пули в шарик при движении тел по вертикальной окружности механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии тел. То есть

При этом - кинетическая энергия тел, - потенциальная энергия тел.

Так как изменения механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае такой силой является только сила натяжения нити (сопротивлением воздуха пренебрегаем), при этом в любой точке траектории сила натяжения нити перпендикулярна скорости, поэтому работа силы натяжения нити равняется нулю и полная механическая энергия тела сохраняется.
5. Из 1 и 2 пункта следует, что условие прохождения телом верхней точки окружности описывается в ИСО вторым законом Ньютона. Условие минимальности начальной скорости означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней!) обращается в нуль

Решение

Пусть начальная скорость пули , – скорость составного тела после удара

Закон сохранения импульса имеет вид

где – импульс пули до столкновения, – импульс системы после столкновения.
Импульс тела равен

где – масса тела, – скорость тела.
Закон сохранения импульса в проекции на ось

Закон сохранения энергии

где – кинетическая энергия составного тела сразу после соударения шара с пулей, – кинетическая энергия составного тела в верхней точке, – потенциальная энергия составного тела на высоте .
А закон сохранения механической энергии — скорость составного тела сразу после удара с его скоростью в верхней точке:

Рассмотрим отдельно шарик в верхней точке. Второй закон Ньютона в векторном виде

где – сила натяжения нити, – ускорение тела.
Условие минимальности скорости означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней!) обращается в нуль. Центростремительное ускорение в верхней точке

Второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление x в этот момент принимает вид:

Выразив отсюда и подставив этот результат в закон сохранения энергии, получим:

Подставив выражение для в закон сохранения импульса, получим:

Критерии проверки
Критерий 1

1 балл ставится если

Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей). В данном случае: выбор инерциальной системы отсчёта, модель материальной точки, условия применимости законов сохранения импульса и механической энергии, условие прохождения верхней точки траектории

_________________________________________________________________________________________________________________________

В обосновании отсутствует один или несколько из элементов.

В обосновании допущена ошибка.

Обоснование отсутствует

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: закон сохранения импульса, закон сохранения механической энергии, второй закон Ньютона для движения тела по окружности; учтено, что в верхней точке сила натяжения нити обращается в нуль);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов);
III) проведены необходимые математические преобразования и расчёты (подстановка числовых данных в конечную формулу), приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеется один или несколько из следующих недостатков.
Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объёме или отсутствуют.

В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/ вычислениях пропущены логически важные шаги.

Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи

Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла