Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.09 Четность и нечетность

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#356

В ряд выписаны числа от 1 до 22. Можно ли между ними расставить знаки «+» и «-» так, чтобы в результате получился 0?

Показать ответ и решение

Среди чисел 1, 2, 3, ..., 22 всего 11 четных и 11 нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки, в результате всегда получится нечетное число. А так как 0 — четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#357

Можно ли разменять 1000 рублей купюрами по 5, 25, 125 рублей так, чтобы всего оказалась 101 купюра? (купюры в 5, 25, 125 рублей бывают)

Показать ответ и решение

Так как у нас купюры только нечетного номинала и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей. Поэтому не сможем разменять 1000 рублей.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#358

Можно ли разменять 600 рублей купюрами по 7, 49, 73 рубля так, чтобы всего оказалось 17 купюр? При этом купюры в 7, 49, 73 рубля бывают.

Показать ответ и решение

Так как у нас купюры только нечетного номинала и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей. Поэтому сумму 600 рублей разменять нельзя.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#359

Максим Олегович написал на доске 2016 целых чисел. Робот Крякен заметил, что сумма любых 2015 чисел четна. Четна или нечетна сумма всех чисел?

Показать ответ и решение

Рассмотрим набор любых 2015 чисел. Так как их сумма четна, то среди них есть хотя бы одно четное число.

Действительно, если бы все из этих 2015 чисел были нечетными, то и сумма этих чисел была бы нечетной, что противоречит условию. Итак, мы нашли четное число.

Теперь рассмотрим сумму всех чисел без этого четного числа. Она тоже будет четной по условию, так как помимо этого числа на доске ровно 2015 чисел.

Посчитать сумму всех 2016 чисел — это то же самое, что к найденному нами четному числу прибавить сумму остальных 2015 чисел. Так как четное + четное = четное, то получаем, что сумма всех чисел четна.

Ответ: Четна

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#360

Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1  до 9  так, чтобы между единицей и двойкой, двойкой и тройкой, ..., восьмеркой и девяткой было нечётное число цифр?

Показать ответ и решение

Докажем методом от противного. Предположим, что такое возможно, тогда между 1  и 3  нечётное число цифр (чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть две ситуации: когда 3  между 1  и   2  , а также когда 2  между 1  и 3  ).

Так как между 1  и 3  нечётное количество цифр и между 3  и 4  нечётное количество цифр, то аналогично между 1  и 4  нечётное количество цифр.

Аналогично доказывается, что тогда между 1  и любой цифрой должно быть нечётное количество цифр, но ведь у 1  должен быть хотя бы один сосед, следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1686

В ряд выписаны числа от 1 до 98. Можно ли между ними расставить знаки «+  » и «− » так, чтобы в результате получилось 2?

Показать ответ и решение

Среди чисел 1,2,3, ..., 98 всего 49 четных и 49 нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество. Поэтому как бы мы ни поставили знаки, в результате всегда получится нечетное число. А так как 2 — четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1687

Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число 123456789?

Показать ответ и решение

Предположим, что такое может быть. Пусть a  и b  — целые числа из нашей задачи, тогда

(a+ b)⋅a ⋅b= 123456789

Так как число 123456789 — нечетное, то a,b  — нечетные. Тогда числа (a+ b)  и (a + b)⋅a ⋅b  — четные. Однако 123456789 — нечетное, следовательно, получили противоречие.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1688

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число 10011001?

Показать ответ и решение

Предположим, что такое может быть. Пусть a  и b  — целые числа из условия, тогда имеем:

(a− b)⋅a⋅b= 10011001

Так как число 10011001 — нечетное, то a,  b  — нечетные. Тогда число (a− b)  — четное, а число (a − b)⋅a⋅b  — четное. Но 10011001 — нечетное, следовательно, получили противоречие, а значит, такого быть не могло.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1689

Можно ли представить число 1 в виде суммы четырех дробей  1  1   1  1
a + b + c + d,  где a,b,c,d  — нечетные натуральные числа?

Показать ответ и решение

Предположим, что указанное разложение возможно. Тогда имеем:

1+ 1 + 1+ 1 = 1
a  b   c  d

Приведем все дроби в левой части к общему знаменателю:

 bcd-+-acd-+abd+-abc
        abcd       = 1
bcd +acd+ abd+ abc= abcd

Так как a,b,c,d  — нечетные натуральные числа, то слева имеем сумму четырех нечетных чисел, а справа нечетное число. Получили противоречие, значит, таким образом представить число 1 нельзя.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1690

Магический квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах одинаковы. Можно ли составить магический квадрат из первых 25 простых чисел?

Показать ответ и решение

Докажем, что этого сделать нельзя, от противного: пусть составить такую таблицу можно. Заметим, что среди первых 25 простых чисел только одно четное число — это 2.

Сумма чисел в той строке, в которой стоит 2, будет четной, так как всего в этой строке будет четыре нечетных числа и одно четное. Но тогда в любой строке, в которой нет 2, сумма чисел будет нечетной, так как в такой строке будут стоят пять нечетных чисел.

Следовательно, суммы чисел в строке с 2 и в строке без 2 не могут быть равны. Значит, мы получили противоречие, то есть наше предположение неверно и составить такую таблицу нельзя.

Ответ: Нет
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!