Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.08 Десятичная запись числа

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#16122

У важного бизнесмена Пети есть сейф с паролем. К сожалению, этот пароль Петя забыл. Помнит он только, что это семизначное число, три первые цифры которого одинаковые, остальные четыре цифры также одинаковые. При этом сумма всех цифр этого пароля — число двузначное, первая цифра которого совпадает с первой цифрой пароля, а последняя — с последней. Помогите Пете подобрать пароль и открыть сейф.

Показать ответ и решение

Так как первые три цифры пароля одинаковы, как и последние четыре, то обозначим этот пароль через -------
xxxyyyy.  Сумма цифр этого числа 3x +4y,  и по условию это же равно --
xy.

Значит, имеем равенство

3x +4y = 10x +y   ⇔   7x= 3y

Так как 3 и 7 — взаимно простые числа, то y  делится на 7. При этом цифра y  равна 0 или 7.

Если y = 0,  то x  тоже равен 0, но тогда число xy  не двузначное.

Если y = 7,  то x = 3  и пароль 3337777 подходит.

Ответ: 3337777

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#16123

Из пятизначного числа вычли такое же, но записанное в обратном порядке. Докажите, что получившееся число делится на 11.

Показать ответ и решение

Обозначим пятизначное число через

-----    4    3     2    1     0
abcde= 10 a+ 10b+ 10 c+ 10 d+ 10 e

Тогда число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, равно

-----    4    3     2    1     0
edcba= 10 e+ 10 d+ 10 c+ 10 b+ 10 a

Разность этих чисел равна

----- -----
abcde− edcba = 9999(a− e)+ 990(b− d)

Так как оба числа 9999 и 990 делятся на 11, то и вся сумма делится на 11, что и требовалось.

Ответ: Задача на доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16126

У шестизначного числа первую цифру перенесли в конец, в результате чего число увеличилось в три раза. Найдите все такие числа.

Показать ответ и решение

Обозначим это шестизначное число как ------
abcdef.  Тогда условие задачи можно записать как

------    ------
abcdef ⋅3= bcdefa

или, по-другому,

   ( 5     4    3     2        )    5     4    3     2
3 ⋅10 a+ 10 b+ 10 c+ 10 d+ 10e +f  = 10 b+ 10 c+ 10 d+ 10 e+ 10f + a

После преобразований получаем равенство

  (  4    3     2        )
7⋅ 10 b+ 10 c+ 10 d+ 10e +f  = 299999a

Делим на 7 и заменяем в левой части скобку на пятизначное число:

-----
bcdef = 42857⋅a

Если a ≥ 3,  то правая часть шестизначная, а левая — пятизначная. Кроме того, a ⁄=0  как первая цифра шестизначного числа. Варианты a= 1  и a =2  дают два ответа.

Ответ: 142857 и 285714

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#17917

На доске было написано натуральное число n.  После того, как Драко приписал к нему справа цифру 7 и сложил полученное число с исходным, у него получилось 5210. Чему равно n?

Показать ответ и решение

Приписать справа к числу n  цифру 7 — то же самое, что умножить число n  на 10 и прибавить к результату 7. Поэтому новое число, полученное Драко, равно 10n+ 7  . По условию, если его сложить с исходным, то есть с n  , получится 5210. Тогда мы можем составить уравнение

10n + 7+ n  =  5210
      11n  =  5203
        n  =  473

Итак, n = 473,  и именно его нам и нужно было найти.

Ответ: 473

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#17920

К двузначному числу, написанному на доске, Гарри приписал слева цифру 6. Число увеличилось в 13 раз. Чему равно исходное число?

Показать ответ и решение

Когда к двузначному числу приписывается слева цифра 6, оно увеличивается на 6 сотен, то есть на 600. Поэтому если обозначить исходное число через x,  то новое число будет равно x+ 600.  По условию это в 13 раз больше исходного числа. Поэтому мы имеем равенство

x+ 600 =   13x
   600 =   12x
    x  =   50

Значит, исходное число равно 50.

Ответ:

50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#17921

Гарри задумал трехзначное число, а Рон — семизначное. Когда ребята их перемножили, у них получилось 107107107. Приведите пример чисел, которые могли задумать ребята.

Показать ответ и решение

Разложим девятизначное число из условия на множители:

                                           6    3
107107107= 107⋅1000000 +107 ⋅1000+ 107= 107⋅(10 +10 + 1)= 107⋅1001001

Следовательно, Гарри мог задумать число 107, а Рон — число 1001001.

Замечание. Так как нас просят лишь привести пример задуманных чисел, то думать о том, является ли данный пример единственным, необязательно. Отметим, что все-таки он единственный: если бы Гарри задумал число, большее 107, то число Рона уже было бы не более, чем шестизначным. А числа от 100 до 106 можно перебрать непосредственно: ни на одно из них число 107107107 не делится.

Ответ:

107  и 1001001

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#17922

Юный Крэбб не учился складывать числа, поэтому вместо того, чтобы к натуральному числу m  прибавить цифру k,  он просто приписал ее справа. Оказалось, что Крэбб получил число, которое на 144 больше, чем получилось бы, выполни он сложение верно. Найдите, чему равно m.

Показать ответ и решение

Приписав справа к числу m  цифру k,  Крэбб получил число 10m + k.  Если бы Крэбб выполнил сложение, то получил число m + k.  Разница между этими числами составляет

(10m +k)− (m +k) =9m

По условию эта разница равна 144. Поэтому 9m =144,  откуда m = 16.

Замечание. Обратите внимание, что саму цифру k  мы найти не можем: она в равенстве (10m+ k)− (m +k) =9m  взаимоуничтожается слева, поэтому цифра k  может быть любой.

Ответ:

m = 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#17926

Расстояние от Норы до Лондона выражается двузначным числом километров. Рон заметил, что если в это число вставить цифру 0 между цифрами десятков и единиц, то получится число, большее исходного в 9 раз. Каково расстояние между Норой и Лондоном?

Показать ответ и решение

Обозначим исходное число через --
ab,  где a  и b  — цифры десятков и единиц соответственно. После того, как в число вставили цифру 0, получилось ---
a0b,  или 100a+ b.  По условию сказано, что это число в 9 раз больше исходного. Исходное же расстояние --
ab можно представить как 10a +b.  Тогда мы можем написать равенство

100a+ b  =  9⋅(10a +b)
100a+ b  =  90a+ 9b
    10a  =  8b
     5a  =  4b

Заметим, что тогда b  делится на 5, а так как b  — цифра, то либо b =0,  либо b= 5.  Если b = 0,  то a= 0,  чего не может быть, так как число не может начинаться с нуля. Значит, b= 5,  и тогда a= 4.  Таким образом, исходное число равно 45, и именно столько километров составляет путь от Норы до Лондона.

Ответ: 45 километров

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#17927

На доске было написано натуральное число. После того, как Симус стер последнюю цифру этого числа, оно уменьшилось на 2019. Какое число было написано на доске изначально?

Показать ответ и решение

Обозначим новое число через x.  Тогда исходное число получается из x  приписыванием к нему некой цифры справа. Обозначим эту цифру через c.  Тогда исходное число равно 10x+ c.  Разница между исходным числом и полученным равна

(10x +c)− x =9x +c

По условию эта разность равна 2019. Значит, 2019= 9x+ c,  где c  — цифра.

Заметим, что число 2019 представляется в виде

2019 = 9⋅224 +3

То есть это число дает остаток 3 при делении на 9. Значит, чтобы разность 2019− c  делилась на 9, нужно, чтобы цифра c  давала остаток 3 при делении на 9. Это возможно только тогда, когда c= 3.  Значит, c= 3,  и тогда

9x= 2019− 3= 2016  ⇒   x= 224

Таким образом, исходное число было равно 2243.

Ответ: 2243

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#17928

Невилл расставил по окружности цифры от 1 до 9 в некотором порядке, причем каждую цифру он использовал ровно по одному разу. Гарри записал на бумажке все 9 трехзначных чисел, которые могут быть прочитаны, если двигаться по часовой стрелке. Чему может быть равна сумма этих девяти чисел?

Показать ответ и решение

Будем складывать числа, выписанные Гарри, по разрядам. Заметим, что в разрядах единиц все цифры от 1 до 9 встречаются по одному разу. Поэтому сумма всех цифр в этом разряде будет равна

1+ 2+ ...+ 9 =45

То же верно и для других разрядов: цифры в разряде десятков в сумме дают 45, поэтому к сумме девяти чисел они дадут 45⋅10 =450.  Цифры в разряде сотен дадут к сумме десяти чисел 45 ⋅100 =4500.  Сложим полученные по разрядам суммы:

45 +450+ 4500= 4995

Тогда только такой и может быть сумма чисел, выписанных Гарри.

Ответ:

4995

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#75184

Андрей Николаевич и Никита Николаевич соревнуются, наряжая новогодние ёлки — кто больше шариков повесит. При этом каждый умудрился повесить трёхзначное количество шариков. Число сотен количества шариков на ёлке у АН равно числу единиц количества шариков на ёлке у НН, а число сотен количества шариков на ёлке у НН равно числу единиц количества шариков на ёлке у АН. Запутанно? Зато число десятков у обоих равно нулю.

а) Может ли разность количества шариков на ёлках у АН и НН быть равной 297?

б) Может ли разность количества шариков на ёлках у АН и НН быть равной 298?

в) Найдите наибольшее значение разности количества шариков на ёлках у АН и НН.

Показать ответ и решение

а) Запишем оба числа, используя переменные. Пусть первое число имеет вид N1 = 100a + c,  тогда второе число равно N2 = 100c+ a.

Так как числа трёхзначные, то ни a,  ни c  могут быть равны 0, следовательно, обе переменные принимают значения от 1 до 9 включительно.

Не ограничивая общности, можем считать, что a> c.  Значения переменных можно поменять, а значит, случай a< c  рассматривается аналогично. Нам неважно, у кого из братьев на ёлке шариков больше, так как интересует только разность этих двух чисел.

Запишем разность N1 − N2 :

N1− N2 = 100a +c − (100c+ a) =297,

100a+ c− 100c− a= 297,

99(a − c)= 297,

a − c = 3.

Пусть a = 5  и c= 2.  . Тогда:

N1− N2 =500+ 2 − (200+ 5)= 297.

Пример найден.

б) Запишем разность N1− N2 :

N1− N2 = 100a +c − (100c+ a) =298,

100a+ c− 100c− a= 298,

99(a − c)= 298,

a − c = 298-.
       99

Ответ на этот пункт отрицательный, поскольку 298
 99  не является целым числом, а разность двух натуральных чисел a  и c  — число целое.

в) Очевидно, что сумма двух трёхзначных натуральных чисел не может быть больше, чем 999 − 100 =899  — разности наибольшего и наименьшего трёхзначных натуральных чисел.

Более того, в прошлых пунктах мы заметили, что чтобы a  и c  имели натуральные значения, необходимо, чтобы разность чисел N1  и N2  была кратна 99.

Наибольшее число, которое кратно 99 и меньше 899, равно 9⋅99 =891.  Однако это не ответ, поскольку N1 ≤ 909,  а N2 ≥ 100,  то их разность не превышает 909− 100= 809.

Рассмотрим пример для разности 8⋅99= 792.

N1 − N2 = 900+ 1− 100− 9= 792.
Ответ:

а) Да, пример: 502 − 205 =297  ;
б) Нет;
в) 792, пример: 901− 109= 792.

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)

4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)

3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),

2

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!