1) Если , то прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости Построим эти две прямые.

Рассмотрим содержащую прямую плоскость Проведем в ней прямую Теперь необходимо через точку их пересечения провести еще одну прямую перпендикулярно

Рассмотрим для этого содержащую прямую плоскость Проведем через точку прямую Так как по теореме о трех перпендикулярах как наклонная — проекция), то

2) Проведем прямые и . Они могут пересечь либо ребра и , либо их продолжения. Так как от этого зависит вид сечения, определим расположение точек и .

Обозначим ребро куба за Тогда

Рассмотрим прямоугольный Так как , то по свойству прямоугольного треугольника

Тогда с привлечением теоремы Пифагора имеем:

Так как , то

Аналогично

Заметим, что с коэффициентом подобия 2, так как Следовательно, Аналогично

Таким образом, получили линии пересечения плоскостей и с плоскостью — прямые и

3) Так как плоскости и параллельны, то плоскость пересечет их по параллельным прямым. Следовательно, в плоскости через точку нужно провести прямую, параллельную .

Так как и — середины и , то .

Таким образом, сечение куба плоскостью — это четырехугольник являющийся ромбом, так как и