В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) В 1856 году в немецком городе Карлсруэ вышло в свет первое издание поэмы “Демон” бывшего поручика Тенгинского полка М.Ю. Лермонтова, и в том же году в Омске в семье штабс-капитана того же Тенгинского пехотного полка А.М. Врубеля родился сын — будущий художник Михаил Врубель.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: вышло в свет издание; родился сын. Нет общих второстепенных. Перед союзом И ставим запятую.

2) Многие полотна И.К. Айвазовского воспринимаются как музыкальные или стихотворные импровизации.

Однородные: музыкальные ИЛИ стихотворные. Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза ИЛИ.

Перед союзом КАК запятой НЕТ, т.к. он помогает передать значение “в качестве” (оборот является частью сказуемого).

3) Впервые за столь долгие военные годы из парка доносился звонкий детский смех и врезался в воздух скрип проржавевших от дождей качелей.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: доносился смех; врезался скрип. Есть общее второстепенное обстоятельство (впервые за столь долгие военные годы). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Перед союзом И запятую НЕ СТАВИМ.

4) С поэтами-декабристами композитора А.А. Алябьева связывали как общие взгляды, так и многие обстоятельства жизни и тяжёлой личной судьбы.

Первая пара однородных: как взгляды, так и обстоятельства. Запятая нужна, т.к. однородные соединены при помощи двойного союза КАК ... , ТАК И. Этот союз требует запятой ВСЕГДА.

Вторая пара однородных: жизни и судьбы. Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

5) В Мещёрском крае заповедными стали истоки рек, и родники, и рощи, и дубравы.

Однородные: истоки рек, и родники, и рощи, и дубравы. Запятые нужны, т.к. однородные соединены при помощи повторяющихся союзов ... , И ... , И ... , И ... . Если союзы повторяются при однородных, то запятые начинаем ставить после первого однородного и т.д. после каждого, кроме последнего.