Тема 18. Задачи с параметром

18.26 Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#15915

Найдите значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 3 5 2 3x + 2 x − 7x+ 2 = a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a , 0$ то $x 0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ ℝ$ , принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a = a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S$ .

Значит, нам нужно понять, как выглядит график функции $f(x) = 23x3 + 52x2 − 7x + 2$ . Посчитаем её производную:

( )′ ( ) ′ ( ) ′ f′(x ) = 2 x3 + 5x2 − 7x+ 2 = 2x3 + 5x2 − (7x − 2)′ = 2x2 + 5x − 7 = (x − 1)(2x+ 7) 3 2 3 2

Легко видеть, что производная определена на всей числовой прямой и равна нулю в точках $x = 1$ и $x = − 3,5$ . Применим метод интервалов для определения знаков производной. Обе критические точки встречаются ровно в одном множителе, следовательно, в них будет меняться знак.

$PIC$

Значит, на промежутках $(− ∞;− 3,5)$ и $(1;∞ )$ функция монотонно возрастает, а на промежутке $(− 3,5;1)$ — монотонно убывает. Найдем значения функции в нулях производной

$pict$

Теперь мы можем нарисовать эскиз графика.

$PIC$

Будем называть часть графика, расположенную левее точки $A = (− 3,5;(f(− 3,5))$ , «левой ветвью», часть правее точки $B = (1;f(1))$ — «правой ветвью», а между точками $A$ и $B$ — «средней частью». Заметим, что левая ветвь может принимать сколь угодно большие по модулю отрицательные значения на промежутке $(− ∞; − 3,5)$ , так как $f(x)$ — это кубический многочлен с положительным коэффициентом при $x3$ . По аналогичным причинам правая ветвь может принимать сколь угодно большие значения на промежутке $(1;+∞ )$ .

Рассмотрим все возможные положения горизонтальной прямой:

Прямая $l1 : a = f(− 3,5) = 685 24$ . Она проходит через точку экстремума $A$ и пересекает правую ветвь ровно в одной точке. Всего два пересечения, такое $a$ нам не подходит.
Прямая $l2 : a = f(1) = − 161$ . Она проходит через точку экстремума $B$ и пересекает левую ветвь ровно в одной точке. Всего два пересечения, такое $a$ нам не подходит.
Каждая прямая, расположенная выше прямой $l 1$ , пересекает только правую ветвь ровно в одной точке.
Каждая прямая, расположенная ниже прямой $l2$ , пересекает только левую ветвь ровно в одной точке.
Каждая прямая, расположенная между прямыми $l1$ и $l2$ , пересекает ровно по одному разу левую ветвь, правую ветвь и среднюю часть.

Значит, только горизонтальные прямые, которые расположены ниже $l2$ , и прямые, которые расположены выше $l1$ , пересекают график $f(x)$ равно в одной точке. Им соответствуют следующие значения параметра:

( ) ( ) a ∈ − ∞; − 11 ∪ 685;+ ∞ 6 24

Ответ:

$( 11) (685 ) − ∞; − 6 ∪ -24 ;+ ∞$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#16776

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

2 (a+ 4x− x − 1)(a+ 1− |x− 2|)= 0

имеет ровно три решения.

Показать ответ и решение

Исходное уравнение равносильно совокупности

⌊ 2 ⌊ 2 ⌈a+ 4x− x − 1= 0 ⇔ ⌈a = x − 4x + 1 a+ 1− |x − 2|= 0 a = |x − 2|− 1

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений совокупности. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно три из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ℝ,$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a = a0$ имеет ровно три точки пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений совокупности, а затем найдем объединение этих множеств.

Множеством решений первого уравнения являются точки параболы $f(x) =x2 − 4x +1$ .
Множеством решений второго уравнения являются точки «уголка» модуля, сдвинутого на 2 вправо и на 1 вниз.

Построим графики.

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является объединение всех точек параболы и уголка модуля.

Только горизонтальные прямые $l:a = −1, 2$ то есть прямая через вершину уголка, и $l :a =− 3, 1$ то есть касательная в вершине синей параболы, будут иметь с $S$ нечетное число точек пересечения. Легко видеть, например из симметрии, что все остальные горизонтальные прямые будут иметь с $S$ четное число точек пересечения и заведомо нам не подойдут.

Из прямых $l1$ и $l2$ нам подойдет только $l2,$ имеющая ровно три точки пересечения с $S.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три решения при

a∈ {−1}

Ответ:

$a ∈{− 1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Верно найдено значение $a= −1,$ но при этом нет обоснования нахождения значения параметра $a$	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16778

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

x2 − (3a− 1)x+ 2a2− 2 -----x2-− 3x-− 4--- = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Чтобы разложить числитель на множители, найдем его корни $x1$ и $x2,$ то есть решим квадратное относительно $x$ уравнение:

$pict$

Тогда числитель раскладывается на множители следующим образом:

(x − x1)(x − x2) =(x− 2a+ 2)(x − a− 1)= x2− (3a− 1)x+ 2a2− 2

Получаем, что исходное уравнение эквивалентно системе

( ⌊ ( ⌊ ||| x− 2a+ 2= 0 ||| a= x+-2- (x-− 2a-+2)(x−-a−-1) { ⌈ { ⌈ 2 x2− 3x− 4 = 0 ⇔ ||| x− a− 1= 0 ⇔ ||| a= x − 1 ( x2− 3x − 4⁄= 0 ( x⁄= − 1;4

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ℝ,$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a =a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений совокупности, объединим их, а затем исключим точки, удовлетворяющие условию $x= −1;4.$

Множеством решений первого уравнения совокупности является прямая $f(x)= x-+-2. 2$
Множеством решений второго уравнения совокупности являются прямая $g(x)= x− 1.$
Третье условие $x⁄= −1;4$ задает всю плоскость за исключением двух вертикальных прямых $x = −1$ и $x = 4.$

Построим графики.

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является объединение всех точек наклонных прямых за исключением точек пересечения с вертикальными прямыми.

Прямые $f,$ $g$ и $x = 4$ пересекутся в одной точке $C = (4;3),$ в чем легко убедиться подстановкой.

Найдем точки пересечения $A$ и $B$ прямой $x= −1$ с прямыми $f$ и $g$ соответственно:

f(− 1)= 0,5 ⇒ A= (−1;0,5) g(−1)= − 2 ⇒ B = (− 1;− 2)

Заметим, что все горизонтальные прямые, кроме тех, которые проходят через одну из точек $A,$ $B$ или $C,$ будут иметь с $S$ ровно две точки пересечения, а значит, нам не подойдут.

Прямые $l1 :a= −2,$ то есть прямая через точку $B,$ и $l2 :a = 0,5,$ то есть прямая через точку $A,$ будут иметь с $S$ ровно одну точку пересечения.

Прямая $l3 :a= 3,$ то есть прямая через точку $C,$ не будет иметь с $S$ точек пересечения.

Таким образом, подходят только прямые $l1$ и $l2$ и соответствующие им значения параметра

a ∈{− 2;0,5}

Ответ:

${ 1} −2;2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31561

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 x − ax+ 2a+ 32= 0

имеет ровно три действительных корня.

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 2$ не является решением уравнения, следовательно, можно преобразовать уравнение следующим образом:

3 x3+-32- a(x− 2)= x +32 ⇔ a= x− 2

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно три точки вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ ℝ$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a =a0$ имеет три точки пересечения с множеством $S$ .

Рассмотрим функцию $3 a(x)= x+x−322-$ в системе координат $xOa$ и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

3 2 a′(x) =2⋅ x-−-3x-−2-16 (x− 2)

Нулем числителя явояется $x= 4$ , следовательно, производная равна

′ (x−-4)(x2+-x+-4)- a(x)=2⋅ (x− 2)2

Таким образом, производная равна нулю при $x= 4$ и не существует при $x =2$ (точка разрыва графика функции $y = a(x)$ ). Определим знаки производной:

$PIC$

Следовательно, при $x∈ (− ∞;2)∪(2;4)$ функция $y = a(x)$ убывает, при $x ∈(4;+ ∞)$ возрастает, значит, схематично ее график выглядит следующим образом:

$PIC$

При $x → 2− 0$ имеем $a→ −∞$ ; при $x → 2+ 0$ имеем $a→ + ∞$ ; при $x→ ∞$ имеем $a → +∞$ . Тогда при всех $a0 >a(4)$ горизонтальная прямая $y =a0$ имеет три точки пересечения с графиком функции $y =a(x)$ .

Так как $a(4)= 434+−322= 48$ , то ответ $a> 48.$

Ответ:

$a ∈(48;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31563

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2 x + ax +13x− 6= 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

В данное уравнение параметр $a$ входит в первой степени, следовательно, уравнение легко можно переписать в виде $a= a(x)$ (то есть выразить $a$ через $x$ ). Сделаем это.

Заметим, что $x = 0$ не является решением уравнения, следовательно, разделим обе части равенства на $x2$ и получим

a =a(x)= −x − 13+ -6 x x2

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна точка вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ℝ$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S$ .

Рассмотрим функцию $a(x)= −x − 13x-+ 6x2$ в системе координат $xOa$ и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

3 a′(x)= −1 + 132 − 123 = − x-−-13x3+-12= − (x−-1)(x−33)(x-+-4) x x x x

Следовательно, производная равна нулю в точках $x = −4;1;3$ и не существует в точке $x= 0$ . Определим знаки производной на промежутках, на которые эти точки разбивают область определения производной:

$PIC$

При $x∈ (−∞; −4)∪ (0;1)∪(3;+∞ )$ функция $a =a(x)$ убывает, при $x ∈(−4;0)∪ (1;3)$ функция возрастает.

При $x→ 0$ имеем $a→ + ∞$ , при $x → −∞$ имеем $a → +∞$ , при $x→ +∞$ имеем $a→ − ∞$ .

61 a(− 4) = 8 a(1)= − 8 20 a(3)= − 3-

Значит, схематично график ее выглядит следующим образом:

$PIC$

Следовательно, ровно одну точку пересечения с графиком имеет горизонтальная прямая $a= a0$ , если $a0 ∈(−∞; a(1))∪ (a(3);a(−4))$ , то есть при $a ∈(−∞; −8)∪ (− 20; 61) 3 8$ .

Ответ:

$a ∈(−∞;− 8)∪ (− 20;61) 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31562

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

-2a- 5cos2x+ sinx = −29

имеет решения.

Показать ответ и решение

Пусть $t= sinx$ , тогда $cos2x =1 − 2t2$ и уравнение при всех $t⁄= 0$ равносильно

2 3 2a =− 29t− 5t(1− 2t ) ⇔ a= 5t − 17t

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $tOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(t0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a, 0$ то $t 0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a 0$ параметра $a,$ при каждом из которых имеются точки вида $(t;a ) 0 0$ , $t ∈ [− 1;0)∪(0;1] 0$ , принадлежащие множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $tOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a 0$ имеет точки пересечения $(t ;a ) 0 0$ , удовлетворяющие условию $t0 ∈[−1;0)∪ (0;1]$ , с множеством $S$ .

Рассмотрим функцию $3 a(t)=5t − 17t$ в системе координат $tOa$ и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

′ 2 a (t)= 15t − 17

Нули производной $t= ±∘-17- 15$ , следовательно, на промежутках $(−∞; −∘-17) 15$ и $(∘ 17;+∞ ) 15$ функция возрастает, на промежутке $( ∘-- ∘ -) − 1715; 1715-$ функция убывает. Так как $[−1;0)∪ (0;1]$ содержится в $( ∘ --∘ --) − 1715; 1175$ , то на исследуемом промежутке функция убывает, следовательно, схематично график ее выглядит следующим образом:

$PIC$

Следовательно, горизонтальная прямая $a= a0$ должна удовлетворять условию $a0 ∈[a(−1);a(0))∪ (a(0);a(1)]$ , то есть $a0 ∈ [− 12;0)∪(0;12].$

Ответ:

$a ∈[−12;0)∪(0;12]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31564

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2x x cosx+ 2 cos-3 + 6cos 3 = a

имеет по крайней мере одно решение.

Показать ответ и решение

Применим формулы косинуса двойного и косинуса тройного углов

2 cos2α = 2cos α − 1 cos3α = 4cos3α − 3 cosα

Тогда имеем:

4 cos3 x − 3cos x+ 3 ⋅(2cos2 x− 1)+ 6cos x = a 3 3 2 3 3

Пусть $x cos 3 = t$ и $2a= b,$ тогда получаем

3 2 b= 8t + 6t+ 6t− 3

Будем рассматривать параметр $b$ как переменную. Построим в системе координат $tOb$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(t0;b0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $b$ принимает значение $b0,$ то $t0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $b0$ параметра $b,$ при каждом из которых имеются точки вида $(t0;b0),$ $t0 ∈ [−1;1],$ принадлежащие множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $tOb.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $b= b 0$ имеет точки пересечения $(t;b ), 0 0$ удовлетворяющие условию $t ∈ [−1;1], 0$ с множеством $S.$

Рассмотрим функцию $3 2 b(t) =8t + 6t +6t− 3$ в системе координат $tOb$ и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

b′(t)= 24t2+12t+ 6= 6(4t2 +2t+ 1)

Так как дискриминант скобки отрицательный, то $2 4t +2t+ 1> 0$ $∀t∈ [−1;1],$ следовательно, $′ b (t)> 0.$ Значит, функция $b= b(t)$ возрастает при всех $t∈[−1;1].$

$PIC$

Тогда горизонтальная прямая $b= b0$ имеет точки пересечения с графиком функции $b= b(t)$ на $t∈ [− 1;1]$ в том случае, если $b0 ∈ [b(−1);b(1)],$ то есть при $b ∈[−11;17].$ Тогда исходное уравнение имеет по крайней мере одно решение при

b 2 = a∈ [−5,5;8,5]

Ответ:

$a ∈[−5,5;8,5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31565

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 4sinx+ 9= a(1+ ctg x)

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Так как $1+ ctg2x= --1- sin2x$ , то после замены $t=sin x$ уравнение примет вид

-a 3 2 4t+ 9= t2 ⇔ a= 4t + 9t,t⁄=0

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $tOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(t0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $t0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых имеются точки вида $(t0;a0)$ , $t0 ∈ [− 1;1]∖{0}$ , принадлежащие множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $tOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет точки пересечения $(t0;a0)$ , удовлетворяющие условию $t0 ∈[−1;1]∖{0}$ , с множеством $S$ .

Рассмотрим функцию $a(t)=4t3+ 9t2$ в системе координат $tOa$ и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

a′(t)= 12t2+ 18t =t(12t+ 18) ⇒ a′(t)= 0 ⇔ t=− 1,5;0

Производная положительна при $t∈ (− ∞;−1,5)∪ (0;+∞ )$ , следовательно, на этом промежутке функция возрастает, и отрицательна при $t∈ (− 1,5;0)$ , следовательно, на этом интервале функция убывает.

a(− 1) =5 a(0)= 0 a(1)= 13

Следовательно, на промежутке $t∈ [− 1;1]∖{0}$ график функции выглядит следующим образом:

$PIC$

Следовательно, решения у уравнения будут в том случае, если горизонтальная прямая $a= a0$ такова, что $a0 ∈ (a(0);a(1)]$ , то есть $a ∈(0;13].$

Ответ:

$a ∈(0;13]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31566

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 4cosx − atg x = 3+ a

имеет на отрезке $[0;π]$ ровно один корень.

Показать ответ и решение

Пусть $t= cosx$ . Тогда при $π x ⁄= 2 +πn$ , $n∈ ℤ$ , уравнение равносильно

( 1 ) 3 2 4t− a t2-− 1 = 3+ a ⇔ a = 4t− 3t, t⁄= 0

Следовательно, полученное уравнение должно иметь единственное решение $t∈ [− 1;0)∪ (0;1]$ .

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $tOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(t0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $t0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых имеются точки вида $(t0;a0)$ , $t0 ∈[−1;1]∖{0}$ , принадлежащие множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $tOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет точки пересечения $(t0;a0)$ , удовлетворяющие условию $t0 ∈[−1;1]∖{0}$ , с множеством $S$ .

Исследуем функцию $a =a(x)$ : $′ 2 a(x)= 12t − 6t$ . Производная равна нулю в точках $1 t= 0;2$ , следовательно, при $( ) t∈ (−∞; 0)∪ 12;+∞$ производная положительна, значит, функция $a =a(x)$ возрастает, а при $( ) t∈ 0; 12$ производная отрицательна, значит, функция убывает.

Определим:

a(−1)= − 7 a(0)= 0 a (0,5)= −0,25 a(1)= 1

Тогда на промежутке $[−1;0)∪(0;1]$ схематично график этой функции выглядит следующим образом:

$PIC$

Следовательно, единственное решение уравнение имеет тогда, когда горизонтальная прямая $a = a0$ имеет одну точку пересечения с изображенным графиком, следовательно, $a ∈[a(− 1);a(0,5))∪ [a(0);a(1)]$ , то есть при $a ∈[−7;−0,25)∪[0;1].$

Ответ:

$a ∈[−7;−0,25)∪[0;1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31567

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

(2x+ 3√2-⋅2−x− 5)− a -a-− (2sin√x-− 1-− 3)-≤ 0

не имеет решений.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функции $a (x)= 2x+ 3√2-⋅2− x− 5 1$ и $a (x)=2sin √x−-1− 3 2$ . Тогда неравенство примет вид

⌊({ || a ≥a1 a1−-a≤ 0 ⇔ ||((a >a2 a− a2 ||⌈{a ≤a1 (a <a2

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений неравенства. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений неравенства. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых не существует точек вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ℝ$ , принадлежащих множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a =a0$ не имеет точек пересечения с множеством $S$ .

Построим графики функций $a =a1(x)$ и $a =a2(x)$ . Для этого требуется исследовать данные функции.

Функция $a =a 1$ является композицией двух функций: $y = t+ 3√2-− 5 1,1 t$ и $y = 2x 1,2$ , то есть $a =y (y (x)) 1 1,1 1,2$ . Функция $y1,2$ возрастающая, следовательно, характер монотонности функци $a= a1$ определится, если исследовать функцию $y1,1$ :

$√ - 2 √- y′1,1 =1 − 3-22= t-− 32-2 t t$

Производная равна нулю при $∘-√-- t= ± 3 2$ и не существует при $t=0$ , следовательно, эти точки разбивают ее область определения на промежутки, знаки на которых следующие:

$PIC$

Учитывая, что $t> 0$ , на промежутке $(∘-√-- ) t∈ 3 2;+∞$ функция $y1,1$ возрастает, а при $∘ -√- t∈ (0; 3 2)$ убывает.
Так как

$∘ --- ∘--- t= 3√2 ⇔ x= log 3√2- 2 t→ 0+0,если x→ −∞ t→ +∞,если x→ + ∞$

то при $∘ --- x∈ (−∞; log2 3√ 2)$ функция $a= a1(x)$ убывает, а при $∘ --- x∈ (log2 3√2;+∞)$ эта функция возрастает (композиция двух функций одинакового характера монотонности — возрастающая, а разного — убывающая).
- При $∘-√- x = log2 3 2$ имеем $∘-√- a1 = 2 3 2− 5$ .
- При $x → −∞$ имеем $a1 → +∞$ .
- При $x → +∞$ имеем $a1 → +∞$ .
Тогда график функции $a =a1(x)$ выглядит следующим образом:

$PIC$
Функция $a = a2$ является композицией двух функций: $y2,1 =2sin z− 3$ и $y2,2 = √x-− 1$ , то есть $a2 = y2,1(y2,2(x))$ . Функция $y2,2$ возрастающая, следовательно, характер монотонности функци $a= a2$ определится, если исследовать функцию $y2,1$ , у которой промежутки возрастания/убывания такие же, как у функции $y = sinz$ .
Следовательно, учитывая, что $z ≥0$ при $[ π) z ∈ 0;2$ и $( π π ) z ∈ −2 +2πn;2 +2πn$ , $n∈ ℕ$ функция $y2,1$ возрастает, а при $( 3π π ) z ∈ −-2 + 2πn;−2 +2πn$ , $n∈ ℕ$ функция убывает.
Так как

$z =0 ⇔ x= 1 3π ( 3π )2 z =− 2-+ 2πn ⇔ x =1 + − 2-+ 2πn π ( π )2 z =− 2 + 2πn ⇔ x= 1+ − 2 + 2πn z = π+ 2πn ⇔ x =1+ (π + 2πn)2 2 2$

то при $x∈ [1;1+ (π2)2)$ и $x ∈(1+ (− π2 +2πn)2;1+(π2 + 2πn)2)$ , $n∈ ℕ$ функция $a= a2(x)$ возрастает, а при $( ( )2 ( ))2 x ∈ 1+ − 3π2 + 2πn ;1+ − π2 +2πn$ , $n∈ ℕ$ функция убывает (композиция двух функций одинакового характера монотонности — возрастающая, а разного — убывающая).
- При $x = 1$ имеем $a2 = −3$ .
- При $( 3π- )2 (π )2 x = 1+ − 2 +2πn ;1+ 2 +2πn$ имеем $a2 =−1$ .
- При $x = 1+(− π2 + 2πn)2$ имеем $a2 =− 5$ .
Тогда график функции $a =a2(x)$ выглядит следующим образом:

$PIC$

Изобразим оба графика на одной координатной плоскости. Для этого найдем значения функций в некоторых точках:

3 a1(1)=− 4+ √2- ( ( π)2) ( ∘ -√-) ∘ √-- − 1 =a2 1+ 2 < a1 log2 3 2 = −5+ 2 3 2

Тогда решением неравенства будет множество $S$ , которое является объединением области 1 и области 2, где

область 1: пересечение областей над графиками функций $a= a1$ и $a= a2$ , включая график $a= a1$ и исключая график $a =a2$ ;

область 2: пересечение областей под графиками функций $a= a1$ и $a= a2$ , включая график $a =a1$ и исключая график $a= a2$ .

$PIC$

Исходное неравенство не имеет решений, если горизонтальная прямая $a= a0$ не пересекает закрашенную область $S$ , то есть находится в полосе между $a= −1$ (включая это значение) и $a =−5 +2∘3-√2$ (исключая это значение). Значит, ответ: $a ∈[−1;−5+ ∘3√2) .$

Ответ:

$a ∈[−1;2√418-− 5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31568

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 32cos3x− 5(sin 3x+ 2acos3x)+ 17− 4a =0

имеет ровно 6 корней на отрезке $[ ] − π;3π 3 4$ .

Показать ответ и решение

Пусть $3x= z$ , а $t= cosz$ . Исследуем, сколько решений относительно переменной $t$ должно иметь исходное уравнение. Так как $z =3x$ , то исходное уравнение должно иметь 6 решений $[ 9π] z ∈ − π;4$ . Отметим этот отрезок на единичной окружности:

$PIC$

I тип.: $t= −1$ дает два решения $z$ ;
II тип.: $t= 1$ дает два решения $z$ ;
III тип.: $− 1< t< √1 2$ дает три решения $z$ ;
IV тип.: $√12 ≤t <1$ дает четыре решения $z.$

Исходное уравнение относительно переменной $t$ имеет следующий вид:

⌊ 2 |t= −5 2a(5t+2)= (5t+ 2)(t+ 6) ⇔ ⌈a= t+-6 2

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $tOa$ множество $S$ решений неравенства. Если некоторая точка плоскости с координатами $(t0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $t0$ будет одним из решений неравенства. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом имеются точки $(t0;a0)$ , $t0 ∈ [− 1;1]$ , принадлежащие множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $tOa$ , такого вида, что суммарно получается 6 решений $z0$ , где $[ 9π] z0 ∈ −π;4$ .

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет такие точки пересечения с множеством $S$ .

Изобразим множество $S$ на координатной плоскости $tOa$ , учитывая, что $t∈ [− 1;1]$ :

$PIC$

Видим, что горизонтальная прямая $a= a0$ со множеством $S$ имеет либо одну, либо две точки пересечения. Так как не существует такого $t∈[−1;1]$ , которое даст 6 решений $z$ , то горизонтальная прямая должна пересекать изображенное множество в двух точках, причем это точки либо I и IV типа, либо II и IV типа, либо обе III типа. Заметим, что одна из точек — это $t1 =− 25$ при любом положении прямой $a= a0$ , а $t1 ∈ III$ . Следовательно, вторая точка также должна быть III типа, причем отлична от $t1.$

Так как $t+26|t=√1 =3 +21√2 2$ , то $( ) ( √- ) a ∈ 52;154 ∪ 145 ;-24 + 3$ .

Ответ:

$a ∈(5;14)∪(14;√2+ 3) 2 5 5 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31801

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(x− a − 7)(x+ a− 2) ---√10x−-x2−-a2-- = 0

имеет ровно один корень на отрезке $[4;8].$

Показать ответ и решение

Исходное уравнение равносильно системе

(|⌊ ||{⌈a = x− 7 | a = −x+ 2 ||( 2 2 2 (x− 5) + a < 5

Исследуем данную систему графически в системе координат $xOa.$

$PIC$

Решением системы является множество точек, принадлежащих прямым $a = x− 7, a= − x+ 2$ и лежащих внутри круга с центром $(5;0)$ и радиусом 5.

Рассмотрим из этих точек только те, у которых $x ∈[4;8].$ Если для некоторого фиксированного $a$ имеется ровно одна точка с такой ординатой, то такое $a$ нам подходит. Остальные $a$ нам не подходят.

Найдем координаты точек $A, B, C, D, E$ пересечения прямых $a = x− 7$ и $a= − x+ 2$ между собой, с вертикальными прямыми $x = 4$ и $x= 8$ и с окружностью:

( √ -- √--) A 7+---41; −3−-41- , B(4;− 3), C(4,5;− 2,5), D (4;− 2), E(8;1) 2 2

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[4;8]$ при

√ -- −3−---41< a< − 3, a =− 5, −2< a ≤ 1 2 2

Ответ:

$( −3-− √41 ) { 5} a ∈ 2 ;−3 ∪ − 2 ∪(−2;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого конечным числом точек	3

С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений $a$	2

Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений $a$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#33955

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

5√---- 2 5√------- 1∘0-2-------- 3 x +4− 7a ⋅ 32x+ 96= x + 7x +12

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Пусть $14a2 = b$ , тогда уравнение имеет вид

5√---- 10∘-2-------- 5√ ---- 3 x+ 4− x + 7x+ 12 − b⋅ x+3 =0

Так как $x+ 3= 0$ не является решением уравнения, то можно разделить обе части равенства на $5√x+-3$ , получим

5∘ x+-4- -10∘-(x+-4)(x+-3) b= 3 x+ 3 − 5√x+-3

Заметим, что $1∘0(x+-4)(x+-3) ∘ ----- ---√5x-+-3----⁄= 10xx++-43$ , так как $x+ 3$ может быть как положительным, так и отрицательным.

Сделаем замену $10∘---------- t= --(x+5√-4)(x+-3) x+ 3$ , тогда $∘ ----- t2 = 5 x+-4 x+ 3$ , следовательно, уравнение примет вид

b= 3t2− t

Исследуем замену:

( ∘---------- ∘ ----- ∘ ------- |||| 10(x+√-4)(x+-3)= 10x-+4 = 101+ -1--, x> −3 t= { (10x+ 3)2 x +3 x+ 3 |||| 10∘(x+-4)(x+-3) 10∘-x+4- 10∘-----1- ( −(10∘−-(x-+3))2 = − x+3 = − 1 +x +3, x≤ −4

Если обозначить $p(x)= 1+ x+13-$ — убывающая функция, то

( ∘ --- { 10p(x), x >− 3 (убывает, как композиция возраст. и убы в.) t= ( − 10∘p(x), x ≤− 4 (возрастает, как композиция убы в. и убыв.)

Изобразим график функции $y =p(x)$ :

$PIC$

Заметим, что одному значению $x$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $p.$

При $x∈ (−3;+ ∞)$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ , значит, $y =t(p(x))$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ .

При $x∈ (−∞;− 4]$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $1$ до $0$ , значит, $y = t(p(x))$ принимает значения от $− 1$ до $0$ .

Следовательно, график $y = t(x)$ выглядит следующим образом ( $y = −1$ и $y = 1$ — горизонтальные асимптоты):

$PIC$

Значит, область значений $t∈ (− 1;0]∪(1;+ ∞)$ , причем заметим, что одному значению $p$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $t$ .

Изобразим график функции $b= b(t)= 3t2− t$ при $t∈ (−1;0]∪(1;+∞)$ в системе координат $tOb$ и найдем такие положения горизонтальной прямой $b =b0$ , при которых она с графиком функции $b= b(t)$ имеет ровно одну точку пересечения:

$PIC$

Следовательно,

⌊ ⌊a2 ≤ 1 ( ∘--] [ ∘--∘ -] [∘-- ) ⌈ b∈[0;2] ⇒ || 7 ⇔ a∈ −∞; − 2 ∪ − 1; 1 ∪ 2;+ ∞ b≥4 ⌈a2 ≥ 2 7 7 7 7 7

Графики функций $y = t(x)$ и $y = p(x)$ рисовать было необязательно, они изображены лишь для наглядности области значений функций.

Ответ:

$a ∈(−∞; −∘ 2]∪[−∘ 1;∘-1]∪[∘-2;+ ∞) 7 7 7 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#33958

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x2−-7x+-(a+-2)(6−-a)+1 (√x-+1)2 = logpp,

где $x2 a2 p =5 −-5 − 5-$ , имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно (так как $p >0,p⁄= 1$ )

( (|⌊ |||x2− 8x+(a+ 2)(6− a)=0 |||||⌈ a= x− 2 |||{x2+ a2 < 25 |||{ a= 6− x | 2 2 ⇔ |x2+ a2 < 25 |||||x + a ⁄= 20 |||||x2+ a2 ⁄= 20 (x> −1 |||( x >− 1

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x ;a ) 0 0$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a, 0$ то $x 0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a 0$ параметра $a,$ при каждом из которых хотя бы одна из точек вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ ℝ$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет хотя бы одну точку пересечения с множеством $S$ .

Найдем точку пересечения прямых:

({ ({ a= x− 2 ⇔ x= 4 ⇒ C (4;2) (a= 6− x ( a= 2

Точки пересечения прямой $a =x − 2$ и окружности $x2 +a2 = 25$ :

⌊( √-- ||||{x = 2−--46 |||| 2 √-- ( ||||(a = −2−--46- ( √-- √--) { a= x− 2 ⇔ ||| 2 ⇒ N 2+--46;−2+--46- ( x2+ a2 =25 ||(| √-- 2 2 |||||{x = 2+2-46 |⌈|| √-- |(a = −2+2-46-

Точки пересечения прямой $a =6− x$ и окружности $x2 +a2 = 25$ :

⌊(|| 6− √14 |||{x = --2--- ||||| 6+√14- ({ |||(a = --2--- ( √ -- √ -) ( √-- √--) a= 6− x ⇔ || ⇒ A 6−--14;6-+--14 ,M 6+--14;6−--14 (x2+ a2 =25 |||(|| 6+-√14 2 2 2 2 |||{x = 2 |⌈||| 6− √14 (a = 2

Точки пересечения прямой $a =x − 2$ и окружности $2 2 x +a = 20$ :

⌊ ( ( | {x= 4 { a= x− 2 ||| ((a= 2 ( x2 +a2 = 20 ⇔ || {x= −2 ⇒ C(4;2) ⌈ (a= −4

Точки пересечения прямой $a =6− x$ и окружности $x2 +a2 = 20$ :

⌊({ x= 2 ({ ||( a =6 − x ⇔ |||( a= 4 ⇒ B(2;4),C(4;2) (x2+ a2 = 20 |⌈{ x= 4 ( a= 2

Точки пересечения прямой $x =− 1$ и окружности $x2+ a2 =25 :$

( { x= −1 √- √- ( x2 +a2 = 25 ⇒ F (−1;2 6),G (−1;−2 6)

Точки пересечения прямой $x =− 1$ и окружности $x2+ a2 =20 :$

( { x= −1 √ -- √-- ( x2+a2 = 20 ⇒ H (− 1; 19),I(−1;− 19)

$S :$ это множество точек прямых $a= x− 2$ и $a =6 − x$ , которые лежат в голубой области.

$PIC$

$J(−1;−3)$ — точка пересечения прямой $x =− 1$ и прямой $a= x− 2.$

Таким образом, все розовые положения горизонтальной прямой $a= a0$ – это те положения, при которых она НЕ имеет общих точек со множеством $S$ .

Прямая $k$ : $√-- aA = 6+214$ ;

прямая $l$ : $aB =4$ ;

прямая $c$ : $aC =2$ ;

прямая $j$ : $aJ =− 3.$

Следовательно, ответ $a∈ (aJ;aC)∪ (aC;aB)∪(aB;aA)$ или

( √ -) 6-+--14 a∈(−3;2)∪(2;4)∪ 4; 2 .

Ответ:

$a ∈(−3;2)∪ (2;4)∪(4;6+√14) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#866

Найти все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

|log x2 − a| − |log x + 2a| = (log x)2 0,5 0,5 0,5

имеет хотя бы один корень, меньший $2$ .

Показать ответ и решение

1) ОДЗ данного уравнения: $x > 0$ . Следовательно, на ОДЗ верно: $log0,5 x2 = 2log0,5 x$ . Сделаем замену $log0,5x = t$ . Тогда если уравнение относительно $x$ должно иметь хотя бы один корень, меньший 2, то относительно $t$ уравнение должно иметь хотя бы один корень, больший $− 1$ .
Действительно, $log0,5 x = − log2x$ , следовательно, если $x < 2$ , то $log2x < log2 2$ (потому как функция $y = log2 x$ возрастает), значит, $− log2x > − log2 2 = − 1$ .

Таким образом, нужно, чтобы уравнение

2 |2t − a| − |t + 2a | = t (∗)

имело хотя бы один корень, больший $− 1$ .

2) Каждый модуль может раскрыться одним из двух способов: либо положительно, либо отрицательно. Значит, два модуля могут раскрыться одним из четырех способов. Рассмотрим все эти четыре случая:

I) $2t − a ≥ 0$ и $t + 2a ≥ 0$ . Тогда $|2t − a | = 2t − a, |t + 2a| = t + 2a$ . Тогда уравнение примет вид:

2 1 ( 2 ) 2t − a − t − 2a = t ⇔ a = − -- t − t 3

Рассмотрим прямоугольную систему координат ( $t$ на месте оси абсцисс, $a$ на месте оси ординат). Область, соответствующая $2t − a ≥ 0 ⇒ a ≤ 2t$ , — это часть плоскости, находящая не выше прямой $a = 2t$ . Аналогично область для $t + 2a ≥ 0$ — это часть плоскости, находящаяся не ниже прямой $a = − 12t$ .

Тогда графиком данного уравнения $(∗ )$ в $I$ -ом случае является часть параболы, входящая в данную область:

$PIC$

(Парабола пересекает прямую $a = − 12t$ в точках $(0;0 )$ и $(2,5;− 1,25)$ .)

II) $2t − a < 0$ и $t + 2a > 0$ . Парабола $a = − t2 − 3t$ .

III) $2t − a < 0$ и $t + 2a < 0$ . Парабола $1 2 a = 3 (t + t)$ .

IV) $2t − a > 0$ и $t + 2a < 0$ . Парабола $a = t2 − 3t$ .

Аналогично рассматривая оставшиеся три случая, получим график всего уравнения $(∗)$ :

$PIC$

Проведем прямую $t = − 1$ . Необходимо найти такие значения $a 0$ , чтобы уравнение имело хотя бы один корень $t0 > − 1$ . Это значит, что прямая $a = a0$ должна пересечь график уравнения в хотя бы одной точке $(t0;a0)$ с $t0 > − 1$ .

Для этого проведем прямую $t = − 1$ . Тогда прямая $a = a0$ должна находиться ниже положения, когда она проходит через точку $C$ , и не ниже положения, когда она проходит через точку $D$ (потому как если она будет ниже точки $D$ , то точек пересечения вообще не будет; если она будет проходить через $C$ или выше, то не будет точек с $t0 > − 1$ ). Таким образом, $− 2,25 ≤ a0 < 2$ .

Ответ:

$a ∈ [− 2,25;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2566

Найдите все значения $a,$ при которых уравнение

2 x − 4x− 2|x− a|+2 +a = 0

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

Способ 1 (алгебраический)

Данное уравнение равносильно

$pict$

Заметим, что если оба дискриминанта уравнений $(1)$ и $(2)$ отрицательны, то совокупность не будет иметь решений. Рассмотрим следующие случаи, где $D1$ и $D2$ — дискриминанты уравнений $(1)$ и $(2)$ соответственно.

1) $D1 = 0.$ следовательно, $a = 73.$

Тогда уравнение (1) имеет единственный корень $x= 3,$ который подходит под условие $7 x ≥ 3.$ При $7 a= 3$ дискриминант $D2 >0,$ следовательно, уравнение (2) имеет два корня $√- x =1 ± 233 .$ Заметим, что оба этих корня подходят под условие $7 x ≤ 3.$ Следовательно, вся совокупность имеет три решения. Этот случай нам не подходит.

2) $D2 = 0,$ следовательно, $a = 1.$

Тогда уравнение (2) имеет единственный корень $x= 1,$ который подходит под условие $x ≤1.$ При $a = 1$ дискриминант $D1 > 0,$ следовательно, уравнение (1) имеет два корня $x =5$ и $x= 1,$ причем оба подходят под условие $x≥ 1.$ Но, учитывая, что один из корней уравнения (1) совпал с корнем уравнения (2), совокупность будет иметь два решения: $x =1$ и $x= 5.$ Следовательно, этот случай нам подходит.

Мы рассмотрели случаи, когда один из дискриминантов равен нулю, теперь рассмотрим оставшиеся случаи, которые нам могут подойти.

3) $D1 > 0$ и $D2 <0.$ Тогда $a< 1.$

Следовательно, уравнение (1) имеет два корня $√----- x = 3± 7− 3a,$ уравнение (2) не имеет корней. Для того, чтобы совокупность имела два решения, нужно, чтобы оба получившиеся корня удовлетворяли условию $x≥ a.$ Для этого достаточно, чтобы меньший корень удовлетворял этому условию:

(| 3− a≥ 0 √ ----- { [ 7] 3 − 7− 3a≥ a ⇔ |( 7− 3a≥ 0 2 ⇔ a ∈(−∞; 1]∪ 2;3 7− 3a≤ (3− a)

Учитывая, что мы рассматриваем случай, когда $a< 1,$ получаем итоговые подходящие значения для $a:$

a <1

4) $D1 < 0$ и $D2 >0.$ Тогда $a> 73.$

Следовательно, уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет два корня $√---- x = 1± a− 1.$ Для того, чтобы совокупность имела два решения, эти корни должны удовлетворять условию $x ≤a.$ Для этого достаточно, чтобы больший корень удовлетворял этому условию:

---- 1 +√ a− 1≤ a ⇒ a ∈{1}∪ [2;+ ∞)

Учитывая, что в нашем случае $7 a> 3,$ получаем подходящие значения для $a :$

a> 7 3

5) $D1 > 0$ и $D2 >0.$ Тогда $1< a < 73.$

Следовательно, оба уравнения имеют по два корня.

Пусть $√ ----- x1 =3 − 7− 3a,$ $√ ----- x2 = 3+ 7− 3a,$ $√---- x3 = 1− a − 1,$ $√---- x4 = 1+ a − 1.$

Заметим, что корни $x1$ и $x2$ симметричны относительно 3, а корни $x3$ и $x4$ — относительно 1, то есть $x2$ находится правее 3, $x3$ — левее 1. При значениях $7 1< a < 3$ корни $x2$ и $x3$ всегда будут удовлетворять условиям $x ≥ a$ и $x≤ a$ соответственно. Следовательно, чтобы совокупность имела два решения, корни $x1$ и $x4$ НЕ должны удовлетворять этим условиям соответственно:

{ √---- 1+ √a-−-1> a ⇒ a∈ (1;2) 3− 7 − 3a < a

Учитывая, что в нашем случае $1< a < 7, 3$ получаем окончательные подходящие значения для $a:$

1 < a< 2

Тогда исходное уравнение имеет ровно два решения при

( ) a∈ (− ∞;2)∪ 7;+ ∞ 3

Способ 2 (графический).

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых две точки вида $(x0;a0)$ , где $x0 ∈ℝ,$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет две точки пересечения с множеством $S.$

Наше уравнение равносильно

⌊{ a≤ x || a= − 1(x − 3)2+ 7 ||{a > x 3 3 ⌈ 2 a= (x− 1) +1

Пусть $S$ — множество, задающееся полученной совокупностью. Тогда $S$ — это объединение двух частей парабол (голубой и зеленой), изображенных на рисунке.

Заметим, что параболы пересекаются в двух точках $A$ и $B$ , расположенных на прямой $a = x$ : $A(1;1),B(2;2).$

$PIC$

Таким образом, от обеих парабол нужно взять части, соответствующие $x ≤ 1$ или $x≥ 2.$

Также на рисунке розовым цветом обозначена область, в которой может находиться прямая $a = a0,$ если требуется две точки пересечения этой прямой с множеством $S.$

Таким образом, нам подходят все прямые, лежащие ниже прямой, проходящей через $B,$ и лежащие выше прямой, проходящей через $C.$

Точка $C$ имеет координаты $(3; 73).$ Следовательно, $a < 2$ или $a> 73.$

Ответ:

$( 7 ) a ∈(−∞; 2)∪ 3;+∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены все значения $a,$ но некоторые граничные точки включены/исключены неверно	3

С помощью верного рассуждения получены не все значения $a$	2

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#15832

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(x2+ 2x)(x − a)+a2 − 2x +2a − ax ---------a-− 2|x|+-1---------= 0

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

Преобразуем числитель дроби в левой части уравнения:

2 2 (x + 2x)(x − a)+ a − 2x+ 2a− ax= = (x2 +2x)(x− a)− a(x− a)− 2(x− a)= = (x− a)(x2+ 2x− a − 2)

Перепишем уравнение в виде системы

(x-− a)(x2+-2x−-a−-2) a− 2|x|+ 1 = 0 ⇔ (⌊ ( ⌊ |||{⌈x − a = 0 |||{ ⌈a= x ⇔ (x+ 1)2− a− 3= 0 ⇔ a= (x+ 1)2 − 3 |||( |||( a− 2|x|+ 1 ⁄=0 a⁄= 2|x|− 1

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a 0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно две из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ℝ,$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a = a0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений внутренней совокупности, объединим их, а затем исключим точки, удовлетворяющие условию $a = 2|x|− 1.$

Множеством решений первого уравнения внутренней совокупности являются точки прямой $f(x)= x.$
Множеством решений второго уравнения внутренней совокупности являются точки параболы $2 g(x)= (x+ 1)− 3.$
Третье условие $a ⁄= 2|x|− 1$ задает всю плоскость, за исключением точек графика функции $r(x)= 2|x|− 1.$ Графиком $r$ является растянутая вдвое вдоль оси ординат «галочка» модуля с ветвями, направленными вверх, с вершиной в точке $(− 1;0).$

Найдем точки пересечения этих графиков.

Если график $f(x)$ пересекается с графиком $g(x)$ в точке $x,$ то
$f(x)= g(x) ⇔ x = x2+ 2x− 2 ⇔ x2+ x− 2= 0 ⇔ ⌊ x = −2 ⇔ (x+ 2)(x− 1)= 0 ⇔ ⌈ x = 1$
То есть графики функций $f(x)$ и $g(x)$ пересекаются в точках $A = (− 2,f(−2))= (−2,−2)$ и $O =(1,f(1))= (1,1).$
Если график $f(x)$ пересекается с графиком $r(x)$ в точке $x,$ то
$f(x)= r(x) ⇔ x =2|x|− 1 ⇔ x+-1-=|x| ⇔ 2 ⌊({x = x+1 || 2 ⌊ ⇔ ||((x ≥ 0 ⇔ ⌈x = 1 ||{x = − x+1 x = − 1 ⌈( 2 3 x ≤ 0$
То есть графики функций $f(x)$ и $r(x)$ пересекаются в точках $B = (− 13,f(− 13)) =(− 13,− 13)$ и $O =(1,f(1))= (1,1).$
Если график $g(x)$ пересекается с графиком $r(x)$ в точке $x,$ то
$g(x)= r(x) ⇔ x2+ 2x − 2= 2|x|− 1 ⇔ ( ⌊{ 2x= x2+ 2x− 1 ⌊ ||( x= 1 ⇔ ||( x ≥0 ⇔ |||({x2 +4x − 1 = 0 ||{ 2x= − x2− 2x + 1 ⌈ ⌈( (x ≤ 0 x ≤0$
Решим внутреннюю систему.
$( ----- ({ 2 |{ −-4±-√42+-4 x + 4x− 1= 0 ⇒ x= 2 ⇒ x= −2 − √5 ( x≤ 0 |( x≤ 0$
То есть графики функций $g(x)$ и $r(x)$ пересекаются в точках $( √ - ( √-)) ( √ - √ -) C = −2 − 5,r− 2− 5 = −2 − 5,3+ 2 5$ и $O = (1,r(1)) =(1,1).$

Построим графики.

$PIC$

Множество $S$ решений системы является объединением всех точек синей прямой и зеленой параболы, за исключением точек $O,$ $B$ и $C,$ выделенных красным и принадлежащих красной галочке.

Только горизонтальные прямые $l1 :a = −3$ (касательная в вершине зеленой параболы), $l2 :a= − 2$ (прямая через $A$ ), $l3 :a = − 13$ (прямая через $B$ ) и $- l4 :a = 3+ 2√5$ (прямая через $C$ ) будут иметь с $S$ две точки пересечения.

Горизонтальная прямая, проходящая через точку пересечения $O$ графиков всех функций будет иметь с $S$ одну точку пересечения.

Легко видеть, что все остальные горизонтальные прямые будут иметь с $S$ либо одну точку пересечения, либо три точки пересечения и заведомо нам не подойдут.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при

{ 1} { √ -} a∈ {−3} ∪{−2} ∪ − 3 ∪ 3+ 2 5

Ответ:

${ 1} { √-} a ∈{− 3} ∪{− 2} ∪ −3 ∪ 3+ 2 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Нет обоснования построения или недостаточное обоснование нахождения точек $A,$ $B,$ $C,$ $O$	3

Найдены (показано нахождение) все точки пересечения рассматриваемых графиков функций, но далее не все значения параметров получены верно	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#16775

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система неравенств

({ 2 x + 2x+ a≤ 0 ( x2− 4x− 6a≤ 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Перепишем исходную систему в виде

(| 2 {a ≤− x2 − 2x |(a ≥ x-−-4x- 6

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ℝ,$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a =a 0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из неравенств системы, а затем найдем пересечение этих множеств.

Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы $f(x) =− x2− 2x.$
Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы $x2 − 4x g(x)= ---6--.$

Убедимся, что вершина параболы $f$ лежит выше параболы $g.$ Ее координаты равны

x = − --−2--= − 1; a = f(−1)= 1 1 2⋅(−1) 1

Так как $5 g(−1)= 6 < 1= f(−1),$ то вершина параболы $f$ действительно лежит выше параболы $g.$

Построим графики.

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является пересечение внутренних областей парабол $f$ и $g,$ включая границы.

Только горизонтальные прямые $l1 :a = 0$ и $l2 :a= 1$ будут иметь с $S$ ровно одну точку пересечения. При этом $l2$ — касательная в вершине параболы $f,$ а не прямая, проходящая через точку пересечения парабол.

Любая горизонтальная прямая ниже $l1$ или выше $l2$ не будет иметь пересечений с множеством $S.$

Прямые между $l1$ и $l2$ будут иметь больше одной точки пересечения с $S.$

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

a∈ {0;1}

Ответ:

$a ∈{0;1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Рассмотрено верно одно из двух взаимных расположений графиков функций, при этом верно найдено хотя бы одно из значений параметра $a$	2
ИЛИ
значения параметра найдены верно, но нет обоснования их нахождения на основе взаимного расположения графиков функций

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#16777

Найдите все значения параметра $a,$ при которых множество решений неравенства

2 (x − a)(a− 2x− 8)> 0

не содержит ни одного решения неравенства $x2 ≤ 4.$

Показать ответ и решение

Условие задачи означает, что система

({ 2 (x − a)(a− 2x− 8)> 0 ( x2 ≤ 4

не имеет решений.

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых не существует точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ ℝ,$ принадлежащих множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ не имеет точек пересечения с множеством $S.$

Систему можно переписать в виде

(| ⌊({ 2 |||| || a< x ||||{ ||(( a> 2x+ 8 ||{ a> x2 |||| ⌈( |||| a< 2x+ 8 |( −2≤ x ≤2

Множество $S$ на рисунке — это пересечение голубой и зеленой областей, а розовая область — это область, в которой может находиться горизонтальная прямая $a= a0,$ чтобы система не имела решений.

$PIC$

Найдем координаты точки $A.$ Это точка пересечения прямой $a= 2x+ 8$ и прямой $x= 2$ — $A(2;12).$

Следовательно, система не имеет решений при значениях параметра $a ≤ 0$ или $a≥ 12.$

Замечание.

В решении необходимо показать, что точка $A$ находится левее точки пересечения параболы $2 a =x$ и прямой $a= 2x +8$ — точки $C(4;16).$

Ответ:

$(−∞; 0]∪[12;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#16779

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 x + 4x − 2|x − a|+ 2 − a = 0

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

$pict$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S$ , то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0$ , то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a$ , при каждом из которых ровно две из точек вида $(x0;a0), x0 ∈ ℝ$ принадлежат множеству решений $S$ , изображенному на плоскости $xOa$ . Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a = a0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S$ .

Из совокупности мы видим, что «выше» прямой $a = x$ решением будут точки графика параболы $x2+6x+2 f(x) = 3$ , а на оставшейся части плоскости (т.е. «ниже» и включая прямую $a = x$ ) решением будут точки графика параболы $g(x) = − x2 − 2x − 2$ .

Найдем точки пересечения парабол.

x2 +-6x-+-2= − x2 − 2x − 2 ⇔ 4 x2 + 4x+ 8= 0 ⇔ x = − 1;− 2 3 3 3

То есть параболы пересекаются в точках $A = (− 1;g(− 1)) = (− 1;− 1)$ и $B = (− 2;g(− 2)) = (− 2;− 2)$ . Заметим, что обе эти точки лежат на прямой «разделения» $a = x$ . Вершина параболы $g$ совпадает с точкой $A$ (легко проверить подставлением), а вершина параболы $f$ это точка

( ( )) ( ) C = − -2--;f − -2-- = − 3;− 2 1 2⋅ 13 2 ⋅ 13 3

Построим графики. Красным изображена парабола $f(x)$ , пунктирная ее часть не удовлетворяет условию $a > x$ . Синим изображена парабола $g(x)$ , пунктирная ее часть не удовлетворяет условию $a ≤ x$ . Зеленым изображена линия «разделения» $a = x$ .

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является объединение всех точек сплошных частей синего и красного графиков.

По графику видим, что все горизонтальные прямые, которые «выше», чем $l1 : a = − 2$ (прямая через $B$ ) будут иметь ровно две точки пересечения с $S$ . Здесь важно отметить, что горизонтальная прямая, проходящая через $A$ будет касательной к параболе $g$ в ее вершине, следовательно, будет иметь с ней ровно одну точку пересечения. Прямые $l 1$ и $l : a = − 2 1 2 3$ (прямая через $C$ ) будут иметь с $S$ ровно три точки пересечения. Любая прямая между $l1$ и $l2$ будет иметь четыре точки пересечения с $S$ . Любая прямая «ниже» $l2$ снова будет иметь ровно две точки пересечения с $S$ . Таким образом, в ответ войдут интервалы

( ) − ∞; − 21 ∪ (− 2;+∞ ) 3

Ответ:

$( 7) − ∞; − 3 ∪ (− 2;+∞ )$

Предыдущий раздел

Следующий раздел