18.26 Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите значения параметра , при которых уравнение
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений
уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для
исходной задачи это означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из решений
уравнения. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых ровно одна из точек вида
,
, принадлежит множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически это
равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет ровно одну точку пересечения с множеством
.
Значит, нам нужно понять, как выглядит график функции . Посчитаем её
производную:
Легко видеть, что производная определена на всей числовой прямой и равна нулю в точках и
.
Применим метод интервалов для определения знаков производной. Обе критические точки встречаются ровно в одном
множителе, следовательно, в них будет меняться знак.
Значит, на промежутках и
функция монотонно возрастает, а на промежутке
—
монотонно убывает. Найдем значения функции в нулях производной
Теперь мы можем нарисовать эскиз графика.
Будем называть часть графика, расположенную левее точки , «левой ветвью», часть правее
точки
— «правой ветвью», а между точками
и
— «средней частью». Заметим, что
левая ветвь может принимать сколь угодно большие по модулю отрицательные значения на промежутке
, так как
— это кубический многочлен с положительным коэффициентом при
. По
аналогичным причинам правая ветвь может принимать сколь угодно большие значения на промежутке
.
Рассмотрим все возможные положения горизонтальной прямой:
- Прямая
. Она проходит через точку экстремума
и пересекает правую ветвь ровно в одной точке. Всего два пересечения, такое
нам не подходит.
- Прямая
. Она проходит через точку экстремума
и пересекает левую ветвь ровно в одной точке. Всего два пересечения, такое
нам не подходит.
- Каждая прямая, расположенная выше прямой
, пересекает только правую ветвь ровно в одной точке.
- Каждая прямая, расположенная ниже прямой
, пересекает только левую ветвь ровно в одной точке.
- Каждая прямая, расположенная между прямыми
и
, пересекает ровно по одному разу левую ветвь, правую ветвь и среднюю часть.
Значит, только горизонтальные прямые, которые расположены ниже , и прямые, которые расположены выше
, пересекают график
равно в одной точке. Им соответствуют следующие значения параметра:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых уравнение
имеет ровно три решения.
Исходное уравнение равносильно совокупности
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений
совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для
исходной задачи это означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из решений
совокупности. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых ровно три из точек вида
где
принадлежат множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически
это равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет ровно три точки пересечения с множеством
Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений совокупности, а затем найдем объединение этих множеств.
- Множеством решений первого уравнения являются точки параболы
.
- Множеством решений второго уравнения являются точки «уголка» модуля, сдвинутого на 2 вправо и на 1 вниз.
Построим графики.
Множеством решений системы является объединение всех точек параболы и уголка модуля.
Только горизонтальные прямые то есть прямая через вершину уголка, и
то есть касательная в
вершине синей параболы, будут иметь с
нечетное число точек пересечения. Легко видеть, например из симметрии,
что все остальные горизонтальные прямые будут иметь с
четное число точек пересечения и заведомо нам не
подойдут.
Из прямых и
нам подойдет только
имеющая ровно три точки пересечения с
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три решения при
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснование построения | 3 |
Верно найдено значение | 2 |
Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых уравнение
имеет единственное решение.
Чтобы разложить числитель на множители, найдем его корни и
то есть решим квадратное относительно
уравнение:
Тогда числитель раскладывается на множители следующим образом:
Получаем, что исходное уравнение эквивалентно системе
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений
системы. Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для
исходной задачи это означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из решений
системы. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых ровно одна из точек вида
где
принадлежит множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически
это равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет ровно одну точку пересечения с множеством
Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений совокупности, объединим их, а затем исключим точки,
удовлетворяющие условию
- Множеством решений первого уравнения совокупности является прямая
- Множеством решений второго уравнения совокупности являются прямая
- Третье условие
задает всю плоскость за исключением двух вертикальных прямых
и
Построим графики.
Множеством решений системы является объединение всех точек наклонных прямых за исключением точек пересечения с
вертикальными прямыми.
Прямые
и
пересекутся в одной точке
в чем легко убедиться подстановкой.
Найдем точки пересечения и
прямой
с прямыми
и
соответственно:
Заметим, что все горизонтальные прямые, кроме тех, которые проходят через одну из точек
или
будут иметь с
ровно две точки пересечения, а значит, нам не подойдут.
Прямые то есть прямая через точку
и
то есть прямая через точку
будут иметь с
ровно
одну точку пересечения.
Прямая то есть прямая через точку
не будет иметь с
точек пересечения.
Таким образом, подходят только прямые и
и соответствующие им значения параметра
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три действительных корня.
Заметим, что не является решением уравнения, следовательно, можно преобразовать уравнение следующим образом:
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений уравнения. Если
некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной задачи это означает, что если
параметр
принимает значение
то
будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых ровно три точки вида
,
принадлежат множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет три точки пересечения с множеством
.
Рассмотрим функцию в системе координат
и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее
производную:
Нулем числителя явояется , следовательно, производная равна
Таким образом, производная равна нулю при и не существует при
(точка разрыва графика функции
).
Определим знаки производной:
Следовательно, при функция
убывает, при
возрастает, значит, схематично ее график
выглядит следующим образом:
При имеем
; при
имеем
; при
имеем
. Тогда при всех
горизонтальная прямая
имеет три точки пересечения с графиком функции
.
Так как , то ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
В данное уравнение параметр входит в первой степени, следовательно,
уравнение легко можно переписать в виде
(то есть выразить
через
). Сделаем это.
Заметим, что не является решением уравнения, следовательно, разделим
обе части равенства на
и получим
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе
координат
множество
решений уравнения. Если некоторая точка
плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для
исходной задачи это означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых ровно одна точка вида
,
принадлежит множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет ровно
одну точку пересечения с множеством
.
Рассмотрим функцию в системе координат
и
построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:
Следовательно, производная равна нулю в точках и не существует
в точке
. Определим знаки производной на промежутках, на которые эти
точки разбивают область определения производной:
При функция
убывает, при
функция возрастает.
При имеем
, при
имеем
, при
имеем
.
Значит, схематично график ее выглядит следующим образом:
Следовательно, ровно одну точку пересечения с графиком имеет
горизонтальная прямая , если
, то есть при
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет решения.
Пусть , тогда
и уравнение при всех
равносильно
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений уравнения. Если
некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной задачи это означает, что если
параметр
принимает значение
то
будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых имеются точки вида
,
, принадлежащие множеству решений
изображенному на
плоскости
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет точки пересечения
,
удовлетворяющие условию
, с множеством
.
Рассмотрим функцию в системе координат
и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее
производную:
Нули производной , следовательно, на промежутках
и
функция возрастает, на промежутке
функция убывает. Так как
содержится в
, то на исследуемом промежутке функция убывает,
следовательно, схематично график ее выглядит следующим образом:
Следовательно, горизонтальная прямая должна удовлетворять условию
, то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет по крайней мере одно решение.
Применим формулы косинуса двойного и косинуса тройного углов
Тогда имеем:
Пусть и
тогда получаем
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений уравнения.
Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной задачи это
означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из решений уравнения. Нас просят
найти все такие значения
параметра
при каждом из которых имеются точки вида
принадлежащие множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически это равносильно тому, что
горизонтальная прямая
имеет точки пересечения
удовлетворяющие условию
с множеством
Рассмотрим функцию в системе координат
и построим схематично ее график. Для этого
исследуем ее производную:
Так как дискриминант скобки отрицательный, то
следовательно,
Значит, функция
возрастает при всех
Тогда горизонтальная прямая имеет точки пересечения с графиком функции
на
в том случае,
если
то есть при
Тогда исходное уравнение имеет по крайней мере одно решение
при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Так как , то после замены
уравнение примет вид
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений уравнения. Если
некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной задачи это означает, что если
параметр
принимает значение
то
будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых имеются точки вида
,
, принадлежащие множеству решений
изображенному на
плоскости
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет точки пересечения
,
удовлетворяющие условию
, с множеством
.
Рассмотрим функцию в системе координат
и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее
производную:
Производная положительна при , следовательно, на этом промежутке функция возрастает, и отрицательна при
, следовательно, на этом интервале функция убывает.
Следовательно, на промежутке график функции выглядит следующим образом:
Следовательно, решения у уравнения будут в том случае, если горизонтальная прямая такова, что
, то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет на отрезке ровно один корень.
Пусть . Тогда при
,
, уравнение равносильно
Следовательно, полученное уравнение должно иметь единственное решение .
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений уравнения.
Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной задачи это
означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие
значения
параметра
при каждом из которых имеются точки вида
,
, принадлежащие
множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная
прямая
имеет точки пересечения
, удовлетворяющие условию
, с множеством
.
Исследуем функцию :
. Производная равна нулю в точках
, следовательно, при
производная положительна, значит, функция
возрастает, а при
производная
отрицательна, значит, функция убывает.
Определим:
Тогда на промежутке схематично график этой функции выглядит следующим образом:
Следовательно, единственное решение уравнение имеет тогда, когда горизонтальная прямая имеет
одну точку пересечения с изображенным графиком, следовательно,
, то есть при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство
не имеет решений.
Рассмотрим функции и
. Тогда неравенство примет вид
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений неравенства. Если
некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной задачи это означает, что если
параметр
принимает значение
то
будет одним из решений неравенства. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых не существует точек вида
,
, принадлежащих множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая
не имеет точек пересечения с множеством
.
Построим графики функций и
. Для этого требуется исследовать данные функции.
-
Функция
является композицией двух функций:
и
, то есть
. Функция
возрастающая, следовательно, характер монотонности функци
определится, если исследовать функцию
:
Производная равна нулю при
и не существует при
, следовательно, эти точки разбивают ее область определения на промежутки, знаки на которых следующие:
Учитывая, что
, на промежутке
функция
возрастает, а при
убывает.
Так как
то при
функция
убывает, а при
эта функция возрастает (композиция двух функций одинакового характера монотонности — возрастающая, а разного — убывающая).
- При
имеем
.
- При
имеем
.
- При
имеем
.
Тогда график функции
выглядит следующим образом:
- При
-
Функция
является композицией двух функций:
и
, то есть
. Функция
возрастающая, следовательно, характер монотонности функци
определится, если исследовать функцию
, у которой промежутки возрастания/убывания такие же, как у функции
.
Следовательно, учитывая, что
при
и
,
функция
возрастает, а при
,
функция убывает.
Так как
то при
и
,
функция
возрастает, а при
,
функция убывает (композиция двух функций одинакового характера монотонности — возрастающая, а разного — убывающая).
- При
имеем
.
- При
имеем
.
- При
имеем
.
Тогда график функции
выглядит следующим образом:
- При
Изобразим оба графика на одной координатной плоскости. Для этого найдем значения функций в некоторых точках:
Тогда решением неравенства будет множество , которое является объединением области 1 и области 2, где
область 1: пересечение областей над графиками функций и
, включая график
и исключая график
;
область 2: пересечение областей под графиками функций и
, включая график
и исключая график
.
Исходное неравенство не имеет решений, если горизонтальная прямая не пересекает закрашенную область
, то есть
находится в полосе между
(включая это значение) и
(исключая это значение). Значит, ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно 6 корней на отрезке .
Пусть , а
. Исследуем, сколько решений относительно переменной
должно иметь исходное уравнение. Так как
, то исходное уравнение должно иметь 6 решений
. Отметим этот отрезок на единичной окружности:
- I тип.
дает два решения
;
- II тип.
дает два решения
;
- III тип.
дает три решения
;
- IV тип.
дает четыре решения
Исходное уравнение относительно переменной имеет следующий вид:
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений неравенства. Если
некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной задачи это означает, что если
параметр
принимает значение
то
будет одним из решений неравенства. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом имеются точки
,
, принадлежащие множеству решений
изображенному на плоскости
, такого вида,
что суммарно получается 6 решений
, где
.
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет такие точки пересечения с множеством
.
Изобразим множество на координатной плоскости
, учитывая, что
:
Видим, что горизонтальная прямая со множеством
имеет либо одну, либо две точки пересечения. Так как не существует
такого
, которое даст 6 решений
, то горизонтальная прямая должна пересекать изображенное множество в двух точках,
причем это точки либо I и IV типа, либо II и IV типа, либо обе III типа. Заметим, что одна из точек — это
при любом
положении прямой
, а
. Следовательно, вторая точка также должна быть III типа, причем отлична от
Так как , то
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке
Исходное уравнение равносильно системе
Исследуем данную систему графически в системе координат
Решением системы является множество точек, принадлежащих прямым и лежащих внутри круга с
центром
и радиусом 5.
Рассмотрим из этих точек только те, у которых Если для некоторого фиксированного
имеется ровно одна точка
с такой ординатой, то такое
нам подходит. Остальные
нам не подходят.
Найдем координаты точек пересечения прямых
и
между собой, с вертикальными
прямыми
и
и с окружностью:
Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке при
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С
помощью верного рассуждения получено
множество значений | 3 |
С
помощью верного рассуждения получены
все граничные точки искомого множества
значений | 2 |
Верно получена хотя бы одна граничная
точка искомого множества значений | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Пусть , тогда уравнение имеет вид
Так как не является решением уравнения, то можно разделить обе части равенства на
, получим
Заметим, что , так как
может быть как положительным, так и отрицательным.
Сделаем замену , тогда
, следовательно, уравнение примет вид
Исследуем замену:
Если обозначить — убывающая функция, то
Изобразим график функции :
Заметим, что одному значению (из области значений) соответствует ровно одно значение
При функция
принимает значения от
до
, значит,
принимает значения от
до
.
При функция
принимает значения от
до
, значит,
принимает значения от
до
.
Следовательно, график выглядит следующим образом (
и
— горизонтальные асимптоты):
Значит, область значений , причем заметим, что одному значению
(из области значений) соответствует ровно
одно значение
.
Изобразим график функции при
в системе координат
и найдем такие положения
горизонтальной прямой
, при которых она с графиком функции
имеет ровно одну точку пересечения:
Следовательно,
Графики функций и
рисовать было необязательно, они изображены лишь для наглядности области значений
функций.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
где , имеет хотя бы одно решение.
Уравнение равносильно (так как )
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений системы. Если
некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной задачи это означает, что если
параметр
принимает значение
то
будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения
параметра
при
каждом из которых хотя бы одна из точек вида
,
принадлежит множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет хотя бы одну точку пересечения с множеством
.
Найдем точку пересечения прямых:
Точки пересечения прямой и окружности
:
Точки пересечения прямой и окружности
:
Точки пересечения прямой и окружности
:
Точки пересечения прямой и окружности
:
Точки пересечения прямой и окружности
Точки пересечения прямой и окружности
это множество точек прямых
и
, которые лежат в голубой области.
— точка пересечения прямой
и прямой
Таким образом, все розовые положения горизонтальной прямой – это те положения, при которых она НЕ имеет общих точек со
множеством
.
Прямая :
;
прямая :
;
прямая :
;
прямая :
Следовательно, ответ или
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все значения , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень, меньший .
1) ОДЗ данного уравнения: . Следовательно, на ОДЗ верно:
. Сделаем замену
. Тогда если уравнение относительно
должно иметь хотя бы один корень,
меньший 2, то относительно
уравнение должно иметь хотя бы один корень, больший
.
Действительно, , следовательно, если
, то
(потому как функция
возрастает), значит,
.
Таким образом, нужно, чтобы уравнение
имело хотя бы один корень, больший .
2) Каждый модуль может раскрыться одним из двух способов: либо положительно, либо отрицательно. Значит, два модуля могут раскрыться одним из четырех способов. Рассмотрим все эти четыре случая:
I) и
. Тогда
. Тогда уравнение примет
вид:
Рассмотрим прямоугольную систему координат ( на месте оси абсцисс,
на месте оси ординат).
Область, соответствующая
, — это часть плоскости, находящая не выше прямой
. Аналогично область для
— это часть плоскости, находящаяся не ниже прямой
.
Тогда графиком данного уравнения в
-ом случае является часть параболы, входящая в
данную область:
(Парабола пересекает прямую в точках
и
.)
II) и
. Парабола
.
III) и
. Парабола
.
IV) и
. Парабола
.
Аналогично рассматривая оставшиеся три случая, получим график всего уравнения :
Проведем прямую . Необходимо найти такие значения
, чтобы уравнение имело хотя бы
один корень
. Это значит, что прямая
должна пересечь график уравнения в хотя бы
одной точке
с
.
Для этого проведем прямую . Тогда прямая
должна находиться ниже положения,
когда она проходит через точку
, и не ниже положения, когда она проходит через точку
(потому
как если она будет ниже точки
, то точек пересечения вообще не будет; если она будет
проходить через
или выше, то не будет точек с
). Таким образом,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Способ 1 (алгебраический)
Данное уравнение равносильно
Заметим, что если оба дискриминанта уравнений и
отрицательны, то
совокупность не будет иметь решений. Рассмотрим следующие случаи, где
и
— дискриминанты уравнений
и
соответственно.
1) следовательно,
Тогда уравнение (1) имеет единственный корень который подходит под
условие
При
дискриминант
следовательно, уравнение (2)
имеет два корня
Заметим, что оба этих корня подходят под условие
Следовательно, вся совокупность имеет три решения. Этот случай нам не
подходит.
2) следовательно,
Тогда уравнение (2) имеет единственный корень который подходит под
условие
При
дискриминант
следовательно, уравнение (1)
имеет два корня
и
причем оба подходят под условие
Но,
учитывая, что один из корней уравнения (1) совпал с корнем уравнения (2),
совокупность будет иметь два решения:
и
Следовательно, этот
случай нам подходит.
Мы рассмотрели случаи, когда один из дискриминантов равен нулю, теперь рассмотрим оставшиеся случаи, которые нам могут подойти.
3) и
Тогда
Следовательно, уравнение (1) имеет два корня уравнение (2)
не имеет корней. Для того, чтобы совокупность имела два решения, нужно, чтобы
оба получившиеся корня удовлетворяли условию
Для этого достаточно,
чтобы меньший корень удовлетворял этому условию:
Учитывая, что мы рассматриваем случай, когда получаем итоговые
подходящие значения для
4) и
Тогда
Следовательно, уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет два корня
Для того, чтобы совокупность имела два решения, эти корни
должны удовлетворять условию
Для этого достаточно, чтобы больший
корень удовлетворял этому условию:
Учитывая, что в нашем случае получаем подходящие значения для
5) и
Тогда
Следовательно, оба уравнения имеют по два корня.
Пусть
Заметим, что корни и
симметричны относительно 3, а корни
и
— относительно 1, то есть
находится правее 3,
— левее 1. При
значениях
корни
и
всегда будут удовлетворять условиям
и
соответственно. Следовательно, чтобы совокупность имела
два решения, корни
и
НЕ должны удовлетворять этим условиям
соответственно:
Учитывая, что в нашем случае получаем окончательные
подходящие значения для
Тогда исходное уравнение имеет ровно два решения при
Способ 2 (графический).
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе
координат
множество
решений системы. Если некоторая точка плоскости
с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной
задачи это означает, что если параметр
принимает значение
то
будет
одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых две точки вида
, где
принадлежат
множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически это
равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет две точки
пересечения с множеством
Наше уравнение равносильно
Пусть — множество, задающееся полученной совокупностью. Тогда
—
это объединение двух частей парабол (голубой и зеленой), изображенных на
рисунке.
Заметим, что параболы пересекаются в двух точках и
, расположенных
на прямой
:
Таким образом, от обеих парабол нужно взять части, соответствующие
или
Также на рисунке розовым цветом обозначена область, в которой может
находиться прямая если требуется две точки пересечения этой прямой с
множеством
Таким образом, нам подходят все прямые, лежащие ниже прямой, проходящей
через и лежащие выше прямой, проходящей через
Точка имеет координаты
Следовательно,
или
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С
помощью верного рассуждения получены
все значения | 3 |
С помощью верного рассуждения
получены не все значения | 2 |
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически) | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет ровно два решения.
Преобразуем числитель дроби в левой части уравнения:
Перепишем уравнение в виде системы
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений
системы. Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для
исходной задачи это означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из решений
системы. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых ровно две из точек вида
где
принадлежат множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически
это равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет ровно две точки пересечения с множеством
Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений внутренней совокупности, объединим их, а затем
исключим точки, удовлетворяющие условию
- Множеством решений первого уравнения внутренней совокупности являются точки прямой
- Множеством решений второго уравнения внутренней совокупности являются точки параболы
- Третье условие
задает всю плоскость, за исключением точек графика функции
Графиком
является растянутая вдвое вдоль оси ординат «галочка» модуля с ветвями, направленными вверх, с вершиной в точке
Найдем точки пересечения этих графиков.
-
Если график
пересекается с графиком
в точке
то
То есть графики функций
и
пересекаются в точках
и
-
Если график
пересекается с графиком
в точке
то
То есть графики функций
и
пересекаются в точках
и
-
Если график
пересекается с графиком
в точке
то
Решим внутреннюю систему.
То есть графики функций
и
пересекаются в точках
и
Построим графики.
Множество решений системы является объединением всех точек синей прямой и зеленой параболы, за исключением точек
и
выделенных красным и принадлежащих красной галочке.
Только горизонтальные прямые (касательная в вершине зеленой параболы),
(прямая
через
),
(прямая через
) и
(прямая через
) будут иметь с
две точки
пересечения.
Горизонтальная прямая, проходящая через точку пересечения графиков всех функций будет иметь с
одну точку
пересечения.
Легко видеть, что все остальные горизонтальные прямые будут иметь с либо одну точку пересечения, либо три точки
пересечения и заведомо нам не подойдут.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Нет обоснования построения или
недостаточное обоснование нахождения
точек | 3 |
Найдены (показано нахождение) все точки пересечения рассматриваемых графиков функций, но далее не все значения параметров получены верно | 2 |
Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых система неравенств
имеет единственное решение.
Перепишем исходную систему в виде
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений
системы. Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для
исходной задачи это означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из решений
системы. Нас просят найти все такие значения
параметра
при каждом из которых ровно одна из точек вида
где
принадлежит множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически
это равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет ровно одну точку пересечения с множеством
Построим на плоскости множества решений каждого из неравенств системы, а затем найдем пересечение этих множеств.
- Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы
- Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы
Убедимся, что вершина параболы лежит выше параболы
Ее координаты равны
Так как то вершина параболы
действительно лежит выше параболы
Построим графики.
Множеством решений системы является пересечение внутренних областей парабол
и
включая границы.
Только горизонтальные прямые и
будут иметь с
ровно одну точку пересечения. При этом
—
касательная в вершине параболы
а не прямая, проходящая через точку пересечения парабол.
Любая горизонтальная прямая ниже или выше
не будет иметь пересечений с множеством
Прямые между и
будут иметь больше одной точки пересечения с
Таким образом, исходная система имеет единственное решение при
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснование построения | 3 |
Рассмотрено верно одно из двух взаимных
расположений графиков функций, при
этом верно найдено хотя бы одно из
значений параметра | 2 |
ИЛИ | |
значения параметра найдены верно, но нет обоснования их нахождения на основе взаимного расположения графиков функций | |
Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых множество решений неравенства
не содержит ни одного решения неравенства
Условие задачи означает, что система
не имеет решений.
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений системы.
Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной задачи это
означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие
значения
параметра
при каждом из которых не существует точек вида
где
принадлежащих множеству
решений
изображенному на плоскости
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая
не имеет
точек пересечения с множеством
Систему можно переписать в виде
Множество на рисунке — это пересечение голубой и зеленой областей, а розовая область — это область, в которой может
находиться горизонтальная прямая
чтобы система не имела решений.
Найдем координаты точки Это точка пересечения прямой
и прямой
—
Следовательно, система не имеет решений при значениях параметра или
Замечание.
В решении необходимо показать, что точка находится левее точки пересечения параболы
и прямой
—
точки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при которых уравнение
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат
множество
решений
совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
, то для
исходной задачи это означает, что если параметр
принимает значение
, то
будет одним из решений системы.
Нас просят найти все такие значения
параметра
, при каждом из которых ровно две из точек вида
принадлежат множеству решений
, изображенному на плоскости
. Фактически это
равносильно тому, что горизонтальная прямая
имеет ровно две точки пересечения с множеством
.
Из совокупности мы видим, что «выше» прямой решением будут точки графика параболы
,
а на оставшейся части плоскости (т.е. «ниже» и включая прямую
) решением будут точки графика параболы
.
Найдем точки пересечения парабол.
То есть параболы пересекаются в точках и
. Заметим, что
обе эти точки лежат на прямой «разделения»
. Вершина параболы
совпадает с точкой
(легко проверить
подставлением), а вершина параболы
это точка
Построим графики. Красным изображена парабола , пунктирная ее часть не удовлетворяет условию
.
Синим изображена парабола
, пунктирная ее часть не удовлетворяет условию
. Зеленым изображена линия
«разделения»
.
Множеством решений системы является объединение всех точек сплошных частей синего и красного
графиков.
По графику видим, что все горизонтальные прямые, которые «выше», чем (прямая через
) будут иметь ровно две точки пересечения с
. Здесь важно отметить, что горизонтальная прямая,
проходящая через
будет касательной к параболе
в ее вершине, следовательно, будет иметь с ней ровно
одну точку пересечения. Прямые
и
(прямая через
) будут иметь с
ровно три
точки пересечения. Любая прямая между
и
будет иметь четыре точки пересечения с
. Любая
прямая «ниже»
снова будет иметь ровно две точки пересечения с
. Таким образом, в ответ войдут
интервалы