Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании пирамиды лежит прямоугольник
со стороной
и диагональю
. Все
боковые ребра пирамиды равны 5. На диагонали
основания
отмечена точка
, а на ребре
– точка
так, что
.
а) Докажите, что плоскость параллельна ребру
.
б) Плоскость пересекает ребро
в точке
. Найдите расстояние от точки
до плоскости
.
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим в полупространоство, содержащее точку
, перпендикулярно векторам
и
.
По теореме Пифагора для
|
По теореме Пифагора для (
-проекция точки
на плоскость
)
|
Найдём координаты некоторых точек
,
,
,
,
.
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:
Способ 1
а) Найдём уравнение плоскости
, подставив координаты точек:
Вычтя из второго уравнения 4 раза первое, получим . То есть плоскость
имеет уравнение вида
.
Проведём
. Найдём координаты точки
. Поскольку
, то
—
равносторонний, и тогда по теореме о пропорциональных отрезках
. Получим, что
. Подставив координаты этой точки в уравнение плоскости
, получим верное равенство. Значит, точка
. Значит,
, которая параллельна
. Значит,
.
б) Так как , то проведём
, где
— точка пересечения плоскости
с ребром
. По
теореме Пифагора
То есть
А по теореме о пропорциональных
отрезках для угла
и параллельных секущих
и
:
. Тогда
Уравнение плоскости легко понять, учитывая то, что его вектор нормали направлен вдоль оси
, и плоскость
проходит через начало координат:
. Вектор нормали будет
.
Тогда расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле
Замечание. Расстоянием от точки до такой плоскости будет модуль третьей координаты этой точки, поскольку отрезок, соединяющий точку и плоскость будет идти вдоль вектора нормали.
Способ 2
Параметрически зададим уравнение плоскости через начальную точку и 2 направляющих вектора этой
плоскости.
Попробуем найти точки пересечения плоскости и прямой
|
Если у системы нет решений, значит нет точек пересечения, следовательно, прямая и плоскость параллельны. ч.т.д.
б) Найдем уравнение прямой
Найдем точку в пересечении
и
|
|
Откуда
Подставим найденное значение в уравнение прямой
Заметим, что модуль значения по координате это и есть расстояние точки до плоскости
Тогда
Специальные программы
![](/public/new-site/images/loyalty.png)
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
![](/public/new-site/images/roulette.png)
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
![](/public/new-site/images/dnr-lnr.png)
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
![](/public/images/special/special-nology-minus.jpg)
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
![](/public/new-site/images/teachers.png)
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
![](/public/new-site/images/money.png)
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!