Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана треугольная пирамида , причем высота пирамиды, опущенная из точки
, падает в точку
. Известно, что
перпендикулярно
.
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды , если известно, что
,
,
.
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось лежит в плоскости
и направлена в полуплоскость с точкой
перпендикулярно
,
Ось направим вдоль вектора
.
Пусть , угол между осью
и прямой
, направленный в полуплоскость, содержащую
отрицательное направление оси
(как на картинке), равняется
.
Найдём координаты всех точек:
,
,
,
,
а) Найдём вектора :
Так как :
|
|
|
В силу того, что - длины сторон треугольника
.
Тогда . Получаем, что ось
совпадает с
. Отсюда следует, что угол между
и
равняется углу между
и
, равняется
. Треугольник
прямоугольный с прямым углом
.
ч.т.д.
б) По теоереме косинусов для :
|
Применяя три раза теорему Пифагора для , получим равенства
|
Следовательно, объем пирамиды равен
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырехугольной пирамиде сторона
основания равна
, а высота
пирамиды равна
. Точки
и
- середины ребер
и
соответственно.
– высота пирамиды
с вершиной
и
основанием
.
а) Докажите, что точка является серединой отрезка
.
б) Найдите расстояние между прямыми и
.
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим в полупространство, содержащее точку
, перпендикулярно векторам
и
.
Найдем координаты некоторых точек
,
,
,
,
а) Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор
прямой:
По обратной ТТП для плоскости , наклонной
и прямой
, перпендикулярной наклонной, получаем, что
— проекция
точка
принадлежит прямой
Найдем вектор
Тогда из условия
|
|
|
Получаем, что
Следовательно, - середина
. ч.т.д.
б) Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор
прямой:
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:
Пусть - искомое расстояние.
принадлежат
соответственно.
,
Тогда имеем следующее
|
|
Можем найти
Найдём длину вектора
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании пирамиды лежит прямоугольник
со стороной
и диагональю
. Все
боковые ребра пирамиды равны 5. На диагонали
основания
отмечена точка
, а на ребре
– точка
так, что
.
а) Докажите, что плоскость параллельна ребру
.
б) Плоскость пересекает ребро
в точке
. Найдите расстояние от точки
до плоскости
.
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим в полупространоство, содержащее точку
, перпендикулярно векторам
и
.
По теореме Пифагора для
|
По теореме Пифагора для (
-проекция точки
на плоскость
)
|
Найдём координаты некоторых точек
,
,
,
,
.
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:
Способ 1
а) Найдём уравнение плоскости
, подставив координаты точек:
Вычтя из второго уравнения 4 раза первое, получим . То есть плоскость
имеет уравнение вида
.
Проведём
. Найдём координаты точки
. Поскольку
, то
—
равносторонний, и тогда по теореме о пропорциональных отрезках
. Получим, что
. Подставив координаты этой точки в уравнение плоскости
, получим верное равенство. Значит, точка
. Значит,
, которая параллельна
. Значит,
.
б) Так как , то проведём
, где
— точка пересечения плоскости
с ребром
. По
теореме Пифагора
То есть
А по теореме о пропорциональных
отрезках для угла
и параллельных секущих
и
:
. Тогда
Уравнение плоскости легко понять, учитывая то, что его вектор нормали направлен вдоль оси
, и плоскость
проходит через начало координат:
. Вектор нормали будет
.
Тогда расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле
Замечание. Расстоянием от точки до такой плоскости будет модуль третьей координаты этой точки, поскольку отрезок, соединяющий точку и плоскость будет идти вдоль вектора нормали.
Способ 2
Параметрически зададим уравнение плоскости через начальную точку и 2 направляющих вектора этой
плоскости.
Попробуем найти точки пересечения плоскости и прямой
|
Если у системы нет решений, значит нет точек пересечения, следовательно, прямая и плоскость параллельны. ч.т.д.
б) Найдем уравнение прямой
Найдем точку в пересечении
и
|
|
Откуда
Подставим найденное значение в уравнение прямой
Заметим, что модуль значения по координате это и есть расстояние точки до плоскости
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 10, а косинус угла
одноименного треугольника
равен
. Точка
— середина ребра
.
а) Докажите, что .
б) Найдите косинус угла между прямыми и
.
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось лежит в плоскости
и направлена в полуплоскость с точкой
перпендикулярно
,
Ось направим в верхнее полупространство перпендикулярно векторам
и
.
По теоереме косинусов для треугольника :
|
|
Пусть точка - центр описанной окружности равностроннего треугольника, тогда
По теореме
Пифагора для треугольника
:
|
|
Найдем координаты всех точек.
a) Докажем перпендикулярность прямый через перпендикулярность их направляющих векторв.
Найдем их скалярное произведение
|
б) Найдем косинус угла между прямыми, как косинус угла между их направляющими векторами.
|
|
Подставляем найденные значения в уравнение с косинусом
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
ЕГЭ — 2021 по математике. Резервная волна
В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник
. На прямой
отмечена
точка
так, что
— середина
. На прямой
отмечена точка
так, что
- середина
.
а) Докажите, что прямые и
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и
, если
, а
.
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось лежит в плоскости
и направлена в полуплоскость с точкой
перпендикулярно
,
Ось направим вдоль вектора
.
Пусть , а
. Найдём координаты некоторых точек
a) Докажем перпендикулярность прямых через перпендикулярность их направляющих векторв.
|
б) Из условия ,
следует, что
.
Способ 1.
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми то же самое , что и найти расстояние от любой точки на одной прямой до плоскости, проходящей, через вторую прямую, параллельной первой.
Пусть — плоскость, проходящая через
параллельно
. Тогда если провести
(вдоль
направления оси
) и
, то
Найдём координаты точки
Найдём уравнение плоскости :
Из первого и второго уравнения следует, что Пусть
, тогда
из второго уравнения. Из третьего
уравнения
. Домножим все коэффициенты уравнения на
и получим плоскость
с уравнением
. Вектор нормали
, его длина равна
Найдём расстояние от точки
до
плоскости
:
Способ 2.
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой.
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой.
Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми(см. базовая задача №7 из методички), получим ответ.
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На ребре прямоугольного параллелепипеда
взята точка
так, что
:
= 2 : 3, на ребре
— точка
так, что
:
= 1 : 4, а точка
— середина ребра
. Известно, что
,
,
.
а) Докажите, что плоскость проходит через вершину
.
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью
.
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим вдоль вектора
.
Найдем координаты всех точек
Способ 1.
а) Найдём уравнение плоскости
, подставляя координаты точек:
Пусть . Тогда из первого уравнения
, из второго уравнения
, из третьего
.
Получим уравнение:
. Подставим координаты точки
и проверим, выполняется ли
равенство:
Равенство верно, значит, тока принадлежит плоскости
б) Найдём уравнение плоскости , подставив соответствующие точки в уравнение плоскости
:
Пусть , тогда из первого уравнения
. Из второго и третьего уравнений
. Получим уравнение
, вектор нормали этой плоскости
. Вектор нормали плоскости
с уравнением
равен
. Угол между плоскостями равен углу между соответствующими им нормалями:
. Получим ответ
.
Способ 2
а) Параметрически зададим плоскость через начальную точку и два направляющих вектора плоскости.
Заметим, что при подстановке в уравнение плоскости, получаем точку
:
Следовательно, точка принадлежит плоскости
ч.т.д.
б) Параметрически зададим плоскость через начальную точку и два направляющих вектора
плоскости
Найдем угол между двумя заданными плоскостями(см. базовая задача №10 из методички), получим ответ.
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной пирамиде с вершиной
, все рёбра которой равны 2, точка
— середина ребра
,
точка
центр основания пирамиды, точка
делит отрезок
в отношении
, считая от вершины
пирамиды.
а) Докажите, что прямая перпендикулярна прямой
.
б) Найдите расстояние от точки до прямой
.
В основании лежит равносторонний треугольник со стороной высота в этом треугольнике
.
Проекция точки на плоскость
это точка пересечения медиан(точка
), и она делит медиану
в
отношении
от вершины. Найдём
по теореме Пифагора для
|
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось лежит в плоскости
и направлена в полуплоскость с точкой
перпендикулярно
,
Ось направим в полупространство, содержащее точку
, перпендикулярно векторам
и
.
Запишем координаты некоторых точек точек.
,
,
,
,
Так как
а) Докажем перпендикулярность прямых через перпендикулярность их направляющих векторв.
Найдем скалярное произведение .
|
Замечание. При вычислении скалярного произведения мы воспользовались свойством ассоциативности
Следовательно, прямые перпендикулярны ч.т.д.
б) Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор этой
прямой.
Решим базовую задачу расстояния между точкой и прямой(см. методичку задача №5), получим ответ.
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания
равна боковому ребру
. Медианы
треугольника
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что .
б) Точка — середина
. Найдите
, если AD=3.
Пусть .
В основании лежит квадрат со стороной диагональ
Проекция точки на плоскость
это точка пересечения диагоналей(точка
). Найдём
по теореме
Пифагора для
|
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим в полупространство, содержащее точку
, перпендикулярно векторам
и
.
Запишем координаты некоторых точек точек.
,
,
,
,
,
— середина стороны
.
Так как - точка пересечения медиан,
, тогда координаты точки
можно найти следующим
образом
а) Заметим, что
Получаем, что
б) По условию . Найдём координаты точки
.
Найдем длину вектора и получим ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильном тетраэдре точка
— середина ребра
, точка
лежит на ребре
и
.
а) Найдите угол между прямыми и
.
б) Найдите расстояние между прямыми и
, если ребро тетраэдра равно
.
Пусть ребро тетраэдра равно .
В основании лежит равносторонний треугольник со стороной высота в этом треугольнике
Проекция точки на плоскость
это точка пересечения медиан(точка
), и она делит медиану
в
отношении
от вершины. Найдём
по теореме Пифагора для
|
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось лежит в плоскости
и направлена в полуплоскость с точкой
перпендикулярно
,
Ось направим в полупространство, содержащее точку
, перпендикулярно векторам
и
.
Запишем координаты всех точек.
,
,
,
,
.
Так как
а) Найдем угол между прямыми и
, как угол между направляющими векторами
Найдём угол между векторами по следующей формуле
|
Замечание. При вычислении скалярного произведения мы воспользовались свойством ассоциативности
Отсюда следует ответ
|
б) Из условия, что ребро тетраэдра равно , получаем, что
.
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор этой
прямой.
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор этой
прямой.
Решим базовую задачу расстояния между прямыми(см. методичку задача №7), получим ответ.
|
а) б) 2