07 Упрощённые 13 в координатах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и - середины рёбер и куба соответственно.
а) Доказать, что прямая
б) Пусть - проекция точки на прямую . Найти , если
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора .
Пусть , тогда имеем следующие координаты точек:
Так как - середина :
Так как - середина :
а) Прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие вектора. То есть, , если . Найдем вектора :
Найдем скалярное произведение и :
Скалярное произведение равно 0, следовательно, вектора перпендикулярны.
ч.т.д.
б) Из условия узнаем, что
Найдем уравнение прямой :
Так как принадлежит :
По условию - проекция точки на , из следует, что и
|
|
|
Подстваим найденное значение
Следовательно, , что и требовалось найти.
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с прямым углом . Прямые и перпендикулярны.
а) Доказать, что .
б) Найти , если .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора .
Пусть
а) Из условия, что следует, что
|
|
Так как , ч.т.д.
б) Из условия
Из доказанного ранее
По теореме Пифагора для треугольника :
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .
а) Докажите, что — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины до плоскости .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим в верхнюю полупространство перпендикулярно векторам и .
a) Заметим, что и , поэтому , , значит, . ч.т.д
б) Из пункта а) следует, что точка по координате имеет значение = . Тогда:
Параметрически зададим уравнение плоскости :
Пусть - проекция точки на плоскость , тогда:
Очевидно, что и , следовательно, и
|
|
|
Найдем