Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб . На ребрах
и
отмечены точки
и
соответственно, причем
,
а
– середина
. В каком отношении плоскость
делит ребро
.
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим вдоль вектора
.
Пусть сторона куба , тогда можем найдем координаты следующих точек
,
,
,
,
,
,
,
(Так как )
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:
Параметрически зададим уравнение плоскости через начальную точку и 2 направляющих вектора
плоскости:
Найдем точку пересечения и
:
|
Найдем координаты точки пересечения, подставив найденное значение в уравнение прямой
Тогда очевидно, что
, где
- точка пересечения ребра и плоскости.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат
, а две боковые грани
и
представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом
.
1) Найдите сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей основания и параллельно
грани .
2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, если .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим вдоль вектора
.
( и
по условию
плоскости основания)
Пусть , тогда:
,
,
,
,
,
Параметрически зададим уравнение искомой плоскости через начальную точку и 2 направляющих вектора
плоскости
(в силу того, что эти плоскости параллельны):
1) Очевидно, что, так как
, прямая плоскости
, проходящая через точку
будет параллельна прямой
и пересекать
и
в их серединах — в точках
и
, соответственно.
Найдем пересечение плоскости с прямой
|
Подставим в уравнение прямой и найдём точку
Найдем уравнение прямой
Докажем, что точка пересечения и плоскости
- точка
имеет координаты:
Подставим в уравнение прямой
Подставим в уравнение плоскости
Точка принадлежит одновременно прямой и плоскости, следовательно, это и есть точка пересечения.
Заметим, что одноименные направляющие вектора прямых и
коллинеарны
И очевидно, что прямые не являются параллельными, так как направляющие вектора не коллинеарны.
Получаем, что в сечении - трапеция.
2) Заметим, что . Докажем это через скалярное произведение направляющих векторов этих
прямых.
Тогда найдем по формуле:
|
Из условия .
Тогда найдем
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная треугольная пирамида с вершиной
.
1) Проведите плоскость через середину ребра и точки пересечения медиан граней
и
. Найдите сечение
пирамиды этой плоскостью.
2) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если ,
.
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора
,
Ось направим в полуплоскость, содержащую точку
, перпендикулярно
,
Ось направим в полупространство, содержащее точку
, перпендикулярно векторам
и
.
Пусть точка — основание высоты пирамиды,
,
1) Пусть - середина ребра
,
- точки пересечения медиан граней
и
соответственно.
Аналогично найдем середины
Воспользовавшись тем фактом, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану
в отношении , считая от вершины, найдем координаты точек
.
Заметим, что направляющий вектор плоскости .
Тогда - направляющий вектор плоскости. Учитывая, что плоскость по условию проходит через середину
,
получаем, что
принадлежит искомой плоскости.
Параметрически зададим уравнение искомой плоскости через начальную точку и 2 направляющий вектора этой
плоскости.
Пусть - точка пересечения плоскости
и прямой
. Параметрически зададим уравнение прямой
через
начальную точку и направляющий вектор прямой:
Найдем точку пересечения и
:
|
Подставим значение параметра в уравнение прямой и найдем координаты точки
.
В сечении получаем треугольник , где все точки этого треугольника нам известны.
2) Найдём уравнение вектора
Заметим, что . Докажем это через скалярное произведение одноименных векторов.
|
Тогда треугольника можно по следующей формуле:
|
Из условия ,
Отсюда