18.30 Задачи с несколькими параметрами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых существует такое
, при котором неравенство
Так как , то
. Следовательно, если сделать замену
, то необходимо
найти такие
, при которых существует
, для которого неравенство
- 1.
. Тогда решением неравенства
будет некоторый луч
, который в пересечении с лучом
даст непустое множество при любом
. Следовательно, у неравенства будет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию
.
- 2.
. Тогда решением неравенства
будет некоторый луч
, который в пересечении с лучом
даст непустое множество при любом
. Следовательно, у неравенства будет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию
.
- 3.
. Тогда решением неравенства будут все
, если
, и
, если
. Значит, нужно выбрать
.
В итоге получаем, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все такие пары чисел и
, при каждой из которых уравнение
имеет единственное решение.
Уравнение равносильно
Левая часть уравнения представляет собой сумму двух квадратов, следовательно, сумму двух неотрицательных величин, следовательно,
неотрицательную величину: . Правая часть неположительна:
. Следовательно,
по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны
:
Получаем следующие пары для и
:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все возможные значения параметров и
, при которых уравнение
имеет ровно три различных корня, причем сумма каких-то двух из них равна нулю.
Перепишем уравнение в виде
Точка, в которой парабола пересекает
Заметим, что если вершина уголка находится выше этой точки (то есть
1) Рассмотрим случай, когда . Тогда
.
Заметим, что если ветви уголка направлены вниз (то есть ), а также при
,
не будет
пересекать
в трех точках.
Рассмотрим случай . Тогда мы имеем еще две точки пересечения
с
: точки
и
.
Так как точка находится левее
(абсцисса вершины параболы), то
.
Следовательно, и
. Значит, не может быть
, следовательно, только
,
откуда
. Следовательно,
, то есть
2) Рассмотрим случай, когда , то есть
.
Заметим также, что если , то
не будет иметь 3 точки пересечения с
. Следовательно,
рассматриваем только случай, когда ветви уголка направлены вверх.
будет иметь 3 точки пересечения с
в одном из двух случаев:
— когда левая ветка уголка касается параболы, а правая пересекает в двух точках (см. второй
рисунок);
— когда левая ветка уголка пересекает параболу в двух точках, а правая касается.
a) Рассмотрим первый случай.
Левая ветка уголка задается уравнением ,
. Следовательно, условие
касания:
Таким образом, получен еще один ответ
b) Рассмотрим второй случай.
Аналогично получаем систему:
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все , для каждого из которых найдется такое
, что система
имеет хотя бы одно решение .
Исходная система имеет решения, если новая система (где поменяны местами переменные и
)
также имеет решения.
Первое уравнение задает уголок, который строится последовательно следующим образом:
Вершина уголка ,
, следовательно, она движется по гиперболе
.
Второе уравнение при фиксированном задает окружность:
Центр этой окружности , а радиус
Следовательно, при изменении
центр окружности движется по
прямой
. Значит, при всех
это уравнение задает полосу
. Таким образом, нам необходимо, чтобы
уголок находился в таком положении, когда существует хотя бы одна точка пересечения уголка с этой полосой (тогда
существует хотя бы одна окружность, с которой уголок имеет общие точки). На рисунке розовым цветом обозначено граничное
положение уголка, выше которого общих точек с полосой нет, а фиолетовым — промежуточные положения, когда общие точки
имеются:
Заметим, что если вершина уголка находится на ветви гиперболы, находящейся в III четверти, то уголок всегда пересекает полосу. Это
задается условием . Если же вершина уголка находится на ветви, лежащей в I четверти, то требуется найти розовое граничное
положение, когда вершина уголка лежит на верхней границе полосы, то есть в точке пересечения гиперболы
и прямой
Таким образом, при уголок имеет общие точки с полосой. Следовательно, ответ
или