Тема 18. Задачи с параметром

18.30 Задачи с несколькими параметрами

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27939

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых существует такое b  , при котором неравенство

--a-
sinx + b > 0
выполнено хотя бы для одного x  .
Показать ответ и решение

Так как sinx ∈ [− 1;1]  , то si1nx ∈ (− ∞;− 1]∪[1;+∞ )  . Следовательно, если сделать замену si1nx = t  , то необходимо найти такие a  , при которых существует b  , для которого неравенство

at +b > 0
имеет хотя бы одно решение t ∈ (∞; − 1]∪ [1;+ ∞ )  . Если рассмотреть функцию f(t) = at+ b  , то ее графиком будет прямая. Тогда решением неравенства будут те значения t  , при которых часть прямой находится выше оси абсцисс.
1.
a > 0  . Тогда решением неравенства at+ b > 0  будет некоторый луч t > t0  , который в пересечении с лучом t ≥ 1  даст непустое множество при любом b  . Следовательно, у неравенства будет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию t ∈ (∞; − 1]∪ [1;+ ∞ )  .

PIC

2.
a < 0  . Тогда решением неравенства at+ b > 0  будет некоторый луч t < t
    0  , который в пересечении с лучом t ≤ − 1  даст непустое множество при любом b  . Следовательно, у неравенства будет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию t ∈ (∞; − 1]∪ [1;+∞ )  .

PIC

3.
a = 0  . Тогда решением неравенства будут все t ∈ ℝ  , если b > 0  , и t ∈ ∅  , если b ≤ 0  . Значит, нужно выбрать b > 0  .

PIC

В итоге получаем, что a ∈ ℝ.

Ответ:

ℝ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31656

Найдите все такие пары чисел a  и b  , при каждой из которых уравнение

  2   2    2    2       2     2          2
(3x − 2a +ab) +(3a − ab+ 2b− 12x)+ 4= 4x− x

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

   2   2    2    2       2     2        2
(3x − 2a + ab) + (3a − ab+2b − 12x) = −(x− 2)

Левая часть уравнения представляет собой сумму двух квадратов, следовательно, сумму двух неотрицательных величин, следовательно, неотрицательную величину: (3x2− 2a2+ ab)2+ (3a2 − ab+ 2b2− 12x)2 ≥ 0  . Правая часть неположительна: − (x− 2)2 ≤0  . Следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 0  :

(                                          (|  2    2
{(3x2− 2a2+ ab)2+ (3a2− ab+2b2− 12x)2 = 0     ||{ 3x − 2a +ab= 0
(−(x− 2)2 =0                            ⇔   || 3a2− ab+ 2b2− 12x =0    ⇒
                                           |( x= 2
(
{12− 2a2 +ab= 0
(3a2− ab+2b2− 24 =0   (сложим удворенное первое равенство со вторым) ⇔

({  2      2      2          (|{  (b)2  b
 2b +ab− a = 0 |:a ⁄= 0   ⇔    2 a  + a − 1= 0   ⇔
(12− 2a2 +ab= 0              |( 12 − 2a2+ ab=0
                                           ⌊(
(                    ( ⌊                    { a= −b
|{-b= −1;1            |||{ ⌈a= −b              |||( b= ±2
|a      2         ⇔  |  a= 2b          ⇔   ||({
(12− 2a2 +ab= 0       ||( 12− 2a2+ ab= 0      |⌈  a= 2b√-
                                            ( b= ± 2

Получаем следующие пары для a  и b  :              √- √-    √-  √ -
(2;−2);(−2;2);(2 2; 2);(−2 2;−  2).

Ответ:

 (a;b)∈ {(2;−2);(−2;2);(2√2;√2);(− 2√2;− √2)}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2367

Найдите все возможные значения параметров a  и b  , при которых уравнение

x2 − 8x + a = b|x − 2|

имеет ровно три различных корня, причем сумма каких-то двух из них равна нулю.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

x2 − 8x =  b|x − 2| − a
и рассмотрим функцию       2
g = x  − 8x  и y = b|x − 2| − a  . Графиком функции g  является парабола, ветви которой направлены вверх, а пересекает ось абсцисс она в точках x = 0  и x =  8  . Графиком y  при каждом фиксированном b  и a  является уголок, вершина (2;y0)  которого находится на прямой x =  2  .
Точка, в которой парабола пересекает x = 2  , имеет координаты A (2;− 12)  .
Заметим, что если вершина уголка находится выше этой точки (то есть y0 > − 12  ), то y  с g  не будут иметь 3 точки пересечения.

 

1) Рассмотрим случай, когда y0 = − 12  . Тогда a = 12  .
 
PIC
 
Заметим, что если ветви уголка направлены вниз (то есть b < 0  ), а также при b = 0  , y  не будет пересекать g  в трех точках.
Рассмотрим случай b > 0  . Тогда мы имеем еще две точки пересечения y  с g  : точки B  и C  .
Так как точка A ′ находится левее x = 4  (абсцисса вершины параболы), то A ′B ′ < A′C ′ . Следовательно, и OB ′ < OC  ′ . Значит, не может быть x  + x  = 0
  1   2  , следовательно, только x  + 2 = 0
 1  , откуда x1 = − 2  . Следовательно, g(x1) = y(x1)  , то есть

     2
(− 2) −  8 ⋅ (− 2) = b| − 2 − 2| − 12 ⇒   b = 8.
Таким образом, получили первое решение a = 12;b = 8.

 

2) Рассмотрим случай, когда y0 < − 12  , то есть a > 12  .
Заметим также, что если b ≤ 0  , то y  не будет иметь 3 точки пересечения с g  . Следовательно, рассматриваем только случай, когда ветви уголка направлены вверх.
y  будет иметь 3 точки пересечения с g  в одном из двух случаев:
— когда левая ветка уголка касается параболы, а правая пересекает в двух точках (см. второй рисунок);
— когда левая ветка уголка пересекает параболу в двух точках, а правая касается.

 

a) Рассмотрим первый случай.
 
PIC
 
Левая ветка уголка задается уравнением yl = b(2 − x) − a  , x < 2  . Следовательно, условие касания:

{        ′                                           {
  − b = g (x1 ) = 2x1 − 8                        ⇔      − b = 2x1 − 8
  g(x1) = x21 − 8x1 =  b(2 − x1) − a = yl(x1)            x21 − 8x1 = b(2 − x1) − a
Правая ветка (yp = b(x − 2) − a  , x >  2  ) должна пересекать параболу в точке, абсцисса которой равна − x1 > 2  (неизвестно, это точка D  или C  ). Это задается условием:
yp(− x1) = b(− x1 − 2) − a = (− x1)2 − 8 ⋅ (− x1) = g(− x1)
Решаем систему из трех уравнений
(                                       (
|{ − b = 2x1 − 8                         |{ b = 16
  x21 − 8x1 = b(2 − x1) − a         ⇔      a = 48
|(                    2                  |(
  b(− x1 − 2) − a = x 1 + 8 ⋅ x1          x1 = − 4
Проверим эти значения (нам нужно проверить, что правая ветка уголка будет именно в двух точках пересекать параболу).
                   2
16(x − 2 ) − 48 = x − 8x    ⇒    x3 = 4  и x2 =  20  .
Таким образом, получен еще один ответ a = 48  , b = 16  .

 

b) Рассмотрим второй случай.
 
PIC
 
Аналогично получаем систему:

(                                     (
|{ b = 2x3 − 8                         |{ b = − 16
  x2−  8x  = b(x −  2) − a       ⇔      a = 48
|(  3     3      3  2                  |(
  b(2 + x3 ) − a = x 3 + 8 ⋅ x3          x3 = − 4
Что невозможно, исходя из рисунка (x3 > 2  ).
Ответ:

a = 12, b = 8  и a = 48,b = 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32717

Найдите все b  , для каждого из которых найдется такое a  , что система

(|          3
{x =|y− b|+ b
|(x2+ y2+32 =a(2y− a)+ 12x

имеет хотя бы одно решение (x;y)  .

Показать ответ и решение

Исходная система имеет решения, если новая система (где поменяны местами переменные x  и y  )

(|          3
{y = |x− b|+ b
|(y2+ x2+32 =a(2x− a)+ 12y

также имеет решения.

Первое уравнение задает уголок, который строится последовательно следующим образом:

  сдвигна|b|единицвлево/вправо      сдвигна|3b| единицвверх/вниз      3
|x|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ |x− b|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→  |x&

Вершина уголка x0 = b  ,     3
y0 = b  , следовательно, она движется по гиперболе     -3
y0 = x0  .

Второе уравнение при фиксированном a  задает окружность:

(y− 6)2+ (x− a)2 = 4

Центр этой окружности O(a;6)  , а радиус R =2.  Следовательно, при изменении a  центр окружности движется по прямой y =6  . Значит, при всех a ∈ℝ  это уравнение задает полосу 4≤ y ≤ 8  . Таким образом, нам необходимо, чтобы уголок находился в таком положении, когда существует хотя бы одна точка пересечения уголка с этой полосой (тогда существует хотя бы одна окружность, с которой уголок имеет общие точки). На рисунке розовым цветом обозначено граничное положение уголка, выше которого общих точек с полосой нет, а фиолетовым — промежуточные положения, когда общие точки имеются:

PIC

Заметим, что если вершина уголка находится на ветви гиперболы, находящейся в III четверти, то уголок всегда пересекает полосу. Это задается условием x0 =a <0  . Если же вершина уголка находится на ветви, лежащей в I четверти, то требуется найти розовое граничное положение, когда вершина уголка лежит на верхней границе полосы, то есть в точке пересечения гиперболы y = 3x  и прямой y =8 :

(|{    3       (|{    3
 y = x    ⇔    x= 8
|(y =8        |( y = 8

Таким образом, при x0 = a≥ 38  уголок имеет общие точки с полосой. Следовательно, ответ a< 0  или a ≥ 38.

Ответ:

 a ∈(−∞;0)∪ [3;+∞ )
           8

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!