18.29 Три неизвестные x,y,z
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение .
Рассмотрим первое уравнение. Его можно переписать в виде
Так как сумма квадратов – величина неотрицательная, то необходимое условие существования хотя бы одного решения у первого
уравнения: . Заметим, что из равенства вида
следует, что
, тогда из первого уравнения
следует, что
,
, то есть
и
.
Из второго уравнения находим, что ,
как подкоренные выражения.
Учитывая найденное, мы можем утверждать, что если у системы есть решение , то оно должно удовлетворять следующим
условиям:
Определим, какие ограничения на параметр накладывают найденные ограничения на неизвестные
.
Из первого уравнения, как было сказано выше, следует, что .
Так как ,
, и
,
, то из второго уравнения получаем:
Таким образом, значения параметра должны удовлетворять системе:
Так как , то получим:
Заметим, что при этих значениях параметра , следовательно,
, следовательно,
, и это решение
удовлетворяет второму уравнению. Следовательно, при
система имеет единственное решение
, а при других
решений нет.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
имеет хотя бы одно решение .
Первое уравнение при фиксированном задает окружность, центр которой лежит
и радиус
. Так как
и
,
, то центр
движется по верхней левой четверти окружности с центром в
и радиусом
.
Следовательно, при всех
первое уравнение задает голубую “колбаску”, состоящую из четверти области, заключенной между
окружностями с центром в точке
и радиусами
и
, а также двух полукругов с центрами в точках
и
:
В розовой области находятся все положения прямой , при которых эта прямая с “колбаской” имеет хотя бы одну точку
пересечения, то есть система имеет хотя бы одно решение
(существует хотя бы одно
, для которого существует
такая окружность
, которая имеет с прямой
хотя бы одну точку пересечения
).
Заметим, что в силу симметрии голубой области и прямой относительно прямой
, если прямая с окружностью для
имеет точку пересечения, то она имеет и с окружностью для
точку пересечения (положение
). А также в силу этой же
симметрии положение
задает прямую
, точка пересечения которой с голубой областью единственна, следовательно, лежит на
оси симметрии
.
-
:
-
ищем через формулу расстояния от центра окружности до прямой, которое равно радиусу окружности (так как прямая касается окружности):
Нашему положению соответствует меньшее
.
-
:
-
ищем через точку пересечения прямой
и окружности
во II четверти, то есть точку
, которая лежит на
, откуда
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение .
Первое равенство при фиксированном задает окружность с центром в точке
и радиусом
. Так как
, то центр
окружности при изменении
движется по окружности с центром в начале координат и радиусом
. Следовательно, при всех
первое уравнение задает множество
точек, располагающихся между окружностями с центром в
начале координат и радиусами
и
(назовем это множество “бубликом”).
Рассмотрим второе уравнение. При оно равносильно
, а при
равносильно
. Следовательно, при
оно задает квадрат, точка пересечения диагоналей которого совпадает с началом координат
, а вершины лежат на координатных
осях. При
оно задает точку
или пустое множество, что нам не подходит (точка не лежит на бублике, а пустое множество дает
пустое множество решений системы).
Рассмотрим два граничных положения для квадрата, находясь между которыми, квадрат имеет хотя бы одну точку пересечения с
бубликом, следовательно, существует такое , для которого существует окружность, с которой квадрат имеет хотя бы одну точку
пересечения, то есть существует такая тройка
:
Так как половина диагонали квадрата равна , то
,
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение и укажите решения системы для каждого найденного .
Перепишем систему в виде:
Так как и
, то из первого равенства следует, что
. Так как
и
, то из второго равенства
следует, что
. Значит,
. Но правая часть третьего равенства
, следовательно, по методу оценки
третье равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны
:
- 1.
- При
имеем
- 2.
- При
имеем
и
,
и
,