Тема 18. Задачи с параметром

18.29 Три неизвестные x,y,z

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31812

Найдите все значения параметра a ∈[0;2π]  , при каждом из которых система

(| 2   2
|{x + y +2z(x+y +z)− sina= 0
||((x+1)sin2 a + y2√x-+a2√z +sin 3a= 0
         2                 2

имеет хотя бы одно решение (x;y;z)  .

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение. Его можно переписать в виде

     2       2
(x+ z) + (y +z) = sina

Так как сумма квадратов – величина неотрицательная, то необходимое условие существования хотя бы одного решения у первого уравнения: sina ≥0  . Заметим, что из равенства вида A2+ A2+ ⋅⋅⋅+A2 = B2
 1   2       n  следует, что |A |≤ |B|
  i , тогда из первого уравнения следует, что |x +z|≤√sina≤ 1  , |y +z|≤ √sina≤ 1  , то есть − 1≤ x+z ≤1  и − 1≤ y+ z ≤ 1  .

Из второго уравнения находим, что x≥ 0  , z ≥ 0  как подкоренные выражения.

Учитывая найденное, мы можем утверждать, что если у системы есть решение (x;y;z)  , то оно должно удовлетворять следующим условиям:

0≤ x≤ 1

 − 2≤ y ≤ 1
0≤ z ≤ 1

Определим, какие ограничения на параметр a  накладывают найденные ограничения на неизвестные x,y,z  .

Из первого уравнения, как было сказано выше, следует, что sin a≥0  .

Так как m2 ≥0  , ∀m  , и √--
 m ≥ 0  , m ≥0  , то из второго уравнения получаем:

0= (x +1)sin2 a +y2√x +a2√z+ sin3a ≥sin2 a+ sin3a
           2                 2      2     2

Таким образом, значения параметра a  должны удовлетворять системе:

(|0 ≤a ≤2π
||||{
 sina≥ 0
|||||   3a     a
(sin2-+ sin22 ≤0

Так как sin 3t= 3sin t− 4sin3t  , то получим:

(
||||0≤ a≤ 2π
|||||sina ≥0
|{
|||⌊ − 3 ≤ sina ≤0   ↔   a∈ {0;π;2π}
|||||||  4     2
||(⌈sina= 1
     2

Заметим, что при этих значениях параметра sina= 0  , следовательно, x +z = y+ z = 0  , следовательно, x =y =z =0  , и это решение удовлетворяет второму уравнению. Следовательно, при a ∈{0;π;2π} система имеет единственное решение (0;0;0)  , а при других a  решений нет.

Ответ:

 a ∈{0;π;2π}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32715

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система уравнений

({    √ -----2     √- 2
  (x+  25− z) + (y− z) = 9
( a+ x= y

имеет хотя бы одно решение (x;y;z)  .

Показать ответ и решение

Первое уравнение при фиксированном z  задает окружность, центр которой лежит O = (x ;y)= (−√25−-z;√z)
     0  0  и радиус R =3  . Так как  2   2
y0 + x0 = 25  и y0 ≥ 0  , x0 ≤ 0  , то центр O  движется по верхней левой четверти окружности с центром в Q(0;0)  и радиусом r =5  . Следовательно, при всех z ≥ 0  первое уравнение задает голубую “колбаску”, состоящую из четверти области, заключенной между окружностями с центром в точке Q  и радиусами 2  и 8  , а также двух полукругов с центрами в точках Oz=0(− 5;0)  и Oz=25(0;5)  :

PIC

В розовой области находятся все положения прямой y =x +a  , при которых эта прямая с “колбаской” имеет хотя бы одну точку пересечения, то есть система имеет хотя бы одно решение (x;y;z)  (существует хотя бы одно z  , для которого существует такая окружность     √-----2      √-2
(x+  25− z) +(y−  z) =9  , которая имеет с прямой y = x+ a  хотя бы одну точку пересечения (x;y)  ).

Заметим, что в силу симметрии голубой области и прямой y = x+ a  относительно прямой y =− x  , если прямая с окружностью для z =0  имеет точку пересечения, то она имеет и с окружностью для z =25  точку пересечения (положение i  ). А также в силу этой же симметрии положение j  задает прямую y =x +a  , точка пересечения которой с голубой областью единственна, следовательно, лежит на оси симметрии y = −x  .

i  :

ищем через формулу расстояния от центра окружности до прямой, которое равно радиусу окружности (так как прямая касается окружности):

R = ∘|y−-x−-a|-|  √ ---- √-      ⇔  3 = |5−√0−-a|- ⇔   a= 5± 3√2
      12+ (−1)2 x=−  25−z,y= z,z=25             2

Нашему положению соответствует меньшее        √-
a =5 − 3 2  .

j  :

ищем через точку пересечения прямой y = −x  и окружности x2+ y2 =64  во II четверти, то есть точку (−4√2;4√2-)  , которая лежит на y =x+ a  , откуда

√ -    √-            √ -
4 2= −4 2+ a  ⇔  a =8  2

Следовательно, a∈[5− 3√2;8√2].

Ответ:

 a ∈[5− 3√2;8√2]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32851

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

({         2          2
  (x − 4sinz) + (y +4cosz)= 1
( |x|+|y|=a

имеет хотя бы одно решение (x;y;z)  .

Показать ответ и решение

Первое равенство при фиксированном z  задает окружность с центром в точке Q (4sinz;−4 cosz)  и радиусом R =1  . Так как       2        2
(4sinz) +(−4cosz) =16  , то центр Q  окружности при изменении z  движется по окружности с центром в начале координат и радиусом r= 4  . Следовательно, при всех z ∈ ℝ  первое уравнение задает множество S  точек, располагающихся между окружностями с центром в начале координат и радиусами 3  и 5  (назовем это множество “бубликом”).

Рассмотрим второе уравнение. При y ≥0  оно равносильно y = −|x|+ a  , а при y < 0  равносильно y =|x|− a  . Следовательно, при a >0  оно задает квадрат, точка пересечения диагоналей которого совпадает с началом координат O  , а вершины лежат на координатных осях. При a≤ 0  оно задает точку O  или пустое множество, что нам не подходит (точка не лежит на бублике, а пустое множество дает пустое множество решений системы).

Рассмотрим два граничных положения для квадрата, находясь между которыми, квадрат имеет хотя бы одну точку пересечения с бубликом, следовательно, существует такое z  , для которого существует окружность, с которой квадрат имеет хотя бы одну точку пересечения, то есть существует такая тройка (x;y;z)  :

PIC

Так как половина диагонали квадрата равна a  , то 3= OA1  , 5√2 =OK √2 =OA2  и

OA  ≤ a≤ OA   ⇒   3≤ a≤ 5√2-
   1       1
Ответ:

 a ∈[3;5√2]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31908

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(| 2
||{y√ + a= 4cosx
||  y+ z2 =a
|((a− 2)2 = |z2 − 2z|+|sin2x|+4

имеет хотя бы одно решение и укажите решения системы для каждого найденного a  .

Показать ответ и решение

Перепишем систему в виде:

(|           2
||{a =4√cosx− y
||a =  y+ z2
|((a− 2)2 = |z2 − 2z|+|sin2x|+4

Так как − 1≤ cosx ≤1  и y2 ≥ 0  , то из первого равенства следует, что a≤ 4  . Так как √y ≥0  и z2 ≥ 0  , то из второго равенства следует, что a≥ 0  . Значит, (a − 2)2 ≤4  . Но правая часть третьего равенства |z2− 2z|+ |sin2x|+ 4≥ 4  , следовательно, по методу оценки третье равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 4  :

                            (                   (
(           2               ||| a= 4cosx − y2      ||| a= 4cosx − y2
||||| a= 4cosx− y                ||||| a= √y+ z2         ||||| a= √y+ z2
|{ a= √y+ z2                 |{                   |{
||| (a − 2)2 = 4            ⇔  ||| a= 0;4          ⇔  ||| a= 0;4
|||( |z2− 2z|+ |sin2x|+ 4= 4       ||||| z = 0;2            ||||| z = 0;2
                            |( sin2x= 0           |( x= π2n,n∈ ℤ
1.
При a= 0  имеем
(
||||x = π2n,n ∈ℤ           (
|||||y2 = 4cosπn          |||x= π n,n ∈ℤ        (
|||{⌊ ({     2            |||{    2             |||{x = π2 + πn,n ∈ℤ
||| (z√ = 0         ⇔   |y = 0         ⇔   |y =0
||||||| ( y =0             |||||z = 0             ||(z =0
|||||||⌈ {z = 2             (4cosπ2n= 0
|(  (√y +4= 0
2.
При a= 4  имеем
(
|||| x= π2n,n∈ ℤ          (
||||| y2 +4= 4cosπ2n        |||x = π2n,n ∈ℤ        (
|||{ ⌊({z =0              |||{y =0              |||{x = 2πn,n∈ ℤ
| ||(√ -           ⇔   |              ⇔   |y = 0
||||| |||(  y = 4           |||||z =2              ||(z =2
||||| |⌈{z =2              (cosπ2n =1
|(  (√y-+4 =4
Ответ:

 a ∈{0} и (π+ πn;0;0)
 2 , n∈ ℤ

a∈{4} и (2πn;0;2)  , n ∈ℤ

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!