.04 Закон Кулона

Пусть - заряд полусферы. Минимальная работа, которую нужно совершить, чтобы поместить в эту точку заряд, равна потенциальной энергии его взаимодействия с зарядом полусферы. Поскольку точечный заряд находится на равном расстоянии от всех точек полусферы, эта энергия может быть подсчитана по формуле – радиус полусферы).

Увеличение веса возникает, очевидно, за счет силы, действующей со стороны заряда на сферу, которая равна силе, с которой сфера действует на заряд. Для подсчета этой силы разобьем сферу на бесконечно малые заряды . Поскольку сфера заряжена равномерно, то , где – площадь участка сферы, имеющего заряд , а – поверхностная плотность заряда полусферы. Величина силы взаимодействия точечного заряда с любым из этих зарядов будет одинакова и равна , однако они будут иметь различные направления. Поскольку каждому заряду можно найти расположенный симметрично относительно оси полусферы, то горизонтальные компоненты сил при суммировании уничтожат друг друга, и полная сила взаимодействия определится как сумма вертикальных компонент. Если угол, который образует с вертикалью радиус, проведенный к рассматриваемому участку сферы (см. рис.), то вертикальная компонента будет равна . Но - это площадь проекции рассматриваемого участка на основание полусферы. Поскольку остальные величины в этом выражении не зависят от угла , то при суммировании по всем за, то при суммировании по всем зарядам

Тогда из условия задачи , и Дж.

(Официальное решение ВсОШ)