Закон Кулона —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#29417

Два заряженных металлических шарика отталкиваются друг от друга с силой 3 мН. После того как каждому шарику, не меняя расстояние между ними, сообщили дополнительный заряд +0,2 мкКл, шарики вновь стали отталкиваться с силой 3 мН. Затем шарики привели в контакт, после чего вновь расположили на том же расстоянии друг от друга, и снова оказалось, что шарики отталкиваются с силой 3 мН. Найдите исходные заряды шариков и расстояние между ними. Форма и размеры шариков одинаковы, размеры шариков много меньше расстояния между ними. Постоянная в законе Кулона $9 k = 9⋅10$ $Н-⋅м2 Кл2$
(«Курчатов», 2018, 10)

Показать ответ и решение

Пусть исходные заряды шариков равны $q1$ и $q2$ , а изменение зарядов шариков $Δq = +0,2$ мкКл. После изменения зарядов шариков сила взаимодействия не изменилась, следовательно

q1q2 = (q1 + Δq )(q2 + Δq ) ⇒ q1 + q2 = − Δq.

Шарики одинаковые, поэтому после контакта заряды на шариках должны быть одинаковы и равны $q$ . По закону сохранения заряда $2q = q1 + q2 + 2Δq = Δq$ . Приравняем силы взаимодействия в первом и третьем случае: $Δq2 q1q2 = q2 = ---- 4$ , а с учётом $q2 = − Δq − q1$ , получаем

q = − Δq- = − 0,1 м кК л, q = − Δq- = − 0, 1 м кК л. 1 2 2 2

По закону Кулона

q1q2 Δq2 k-r2- = k 4r2-= 3 мН.

Расстояние между шариками

∘ ------ r = Δq- --k---≈ 17 см 2 3 мН

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильное использование закона Кулона	1

Получено уравнение $q = − Δq − q 2 1$	1

Использование закона сохранения заряда	1

Найдены исходные заряды	1

Найдено расстояние	1

Максимальный балл	5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#29418

В одной из моделей молекулярного иона водорода $H+ 2$ полагается, что электрон движется по круговой орбите, лежащей в плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей протоны. Расстояние между протонами равно $r$ , заряд электрона – $e$ , его масса – $m$ . Найти скорость, с которой движется электрон.
(МФТИ, 1974 )

Источники: МФТИ, 1974

Показать ответ и решение

На рисунке изображена ситуация, с которой мы имеем дело. Не умаляя общности решения, рассмотрим случай, когда электрон находится в верхней точки траектории (из симметрии движения следует, что верхней точкой может являться абсолютно любая точка траектория, но в другой плоскости). Пусть $R$ - радиус орбиты электрона, $x$ - расстояние от электрона $e$ до протона $+ p$ . Чтобы система оставалась в равновесии, необходимо, чтобы кулоновские силы со стороны обоих двух протонов уравновешивали друг друга по перпендикулярной к радиусу орбиты оси (что, очевидно, так и есть), а так же являлись причиной существования нормального ускорения электрона. Тогда по второму закону Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль радиуса орбиты, имеем

2ke2 mv2 --2--sin α = ----- a R

Отсюда получаем выражение на скорость, понимая, что $R- sin α = x$

∘ ---2--2- v = 2ke-R-- ma3

ясно, что $cos α = -r 2x$ , теперь выразим кулоновскую силу между протонами через гипотенузу треугольника

ke2 ke2 x2 --2-cos α = --2-⇒ -2-= cosα x r r

окончательно получим

∘ -- r-- x2- 3 1- 2x = r2 ⇒ a = r 2

Теперь, написав теорему Пифагора и подставив туда полученное $r$ , сможем выразить $R$

∘ --------------- ∘ 1 r R = (r 3 -)2 − (-)2 2 2

подставив это в выражение для скорости, проведя некоторые математические вычисления, получим ответ

∘ --2-(√-------)- v = ke-- 316 − 1 mr

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#29419

Две маленьких бусинки массой $m$ заряжены зарядами $Q$ и $Q$ . Бусинки надеты на спицы, которые расположены в вертикальной плоскости симметрично по отношению к вертикали и угол между которыми равен $90∘$ (см. рисунок). Каково расстояние между бусинками в положении равновесия?
(Росатом, 2013, 11)

Источники: Росатом, 2013, 11

Показать ответ и решение

Запишем второй закон Ньютона для одной из бусинок на горизонтальную и вертикальную оси

( 2 |{ N cos45 ∘ = kQ-- r2 |( N sin45∘ = mg

Откуда

∘ ---------- ∘ ----- ∘ kQ2 kQ2 kQ2 mgctg45 = r2--⇒ r = mgctg45-∘-= mg--

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#29420

Найдите силу, с которой равномерно заряженный шар со сферической полостью будет действовать на поднесённый к нему точечный заряд $q$ . Радиус шара $R$ , полости – $R∕2$ (см. рисунок). Объёмная плотность заряда шара $ρ$ . Точечный заряд находится на расстоянии $2R$ от центра шара на оси, соединяющей центры шара и полости. Будет ли заряд притягиваться или отталкиваться?
(«Курчатов», 2014, 11)

Показать ответ и решение

Удобно рассматривать не шар с полостью, а два шара: один с радиусом $R$ и удельным зарядом $ρ$ и другой с радиусом $R ∕2$ и удельным зарядом $− ρ$ (на месте полости). Как известно, равномерно заряженный шар создаёт в окружающем пространстве электрическое поле эквивалентное полю точечного заряда, помещённого в центр шара. Поэтому первый шар будет действовать на точечный заряд силой $ρV q ( 1 ) 4 F1 = k (2R-)2-= 4π𝜀- ρ3πR3q∕(2R)2 0$ (за положительное выбрано направление от шара), а второй шар с силой $( ) ( )3 ( )2 F2 = --1- (− ρ)4π R- q∕ 3 R 4π𝜀0 3 2 2$ . Полная сила, действующая на заряд $F = F1 + F2 = 7--ρqR- 108 𝜀0$ , является силой отталкивания, если знаки $ρ$ и $q$ совпадают, и силой притяжения в противном случае.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#29421

В двух вершинах равностороннего треугольника помещены одинаковые заряды $q1 = q2 = q = 4$ мкКл. Какой точечный заряд $q3$ необходимо поместить в середину стороны, соединяющей заряды $q1$ и $q2$ , чтобы напряженность электрического поля в третьей вершине треугольника оказалась равной нулю?

Показать ответ и решение

Пусть $a$ – сторона треугольника. Найдем растояние от заряда $q3$ до третьей вершины треугольника

∘ -------- a2 √3-- s = a2 − ---= ----a 4 2

Воспользуемся принципом суперпозиции

E⃗1 + ⃗E2 + E⃗3 = 0

в нашел случае по горизонтали $E 1$ и $E 2$ уравновешивают друг друга, значит остает добиться 0 по вертикали. Проекция $E1$ и $E2$ равны, следовательно

kq ∘ E1y + E2y = 2--2 cos 30 a

Откуда должно быть выполнено равенство

kq- ∘ k|q3| 4-|q3| √ -- 2a2 cos 30 = s2 ⇒ 3 = q 3

Откуда

√ -- |q | = q--3q-≈ 5,2 мкК л 3 4

Это заряд по модулю, но так как у нас напряженность должна быть направлена к заряду, то $q 3$ заряжен отрицательно

q3 = − 5, 2 м кК л

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#29422

Расстояние между точечными зарядами $q1 = +1$ нКл и $q2 = − 2$ нКл равно $d = 13$ см. Определить напряжённость результирующего электрического поля обоих зарядов в точке, расположенной на расстоянии $r = 5 1$ см от первого и $r = 12 2$ см от второго заряда.

Показать ответ и решение

числа 5, 12, 13 образуют прямоугольный треугольник, следовательно, угол между напряженностями $E1$ и $E2$ будет равен 90 градусов, значит, мы сможем применить теорему Пифагора.
Найдем напряженности

kq1 kq2 E1 = --2- E2 = --2- r1 r2

Сложим по теореме Пифагора

∘ --------- ∘ -2----2- E = E2 + E2 = k q1 + q2 = 1 2 r41 r24

∘ -----−-18----2---------−-18----2-- = 9 ⋅ 109 Н ⋅ м2/ К л2 1-⋅ 10-К-л- + -4-⋅ 10---К-л-- ≈ 3811 В/ м 625 ⋅ 10 −8 м4 20736 ⋅ 10 −8 м4

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#41066

Три маленьких одинаковых шарика, каждый массой $m$ и зарядом $q$ , расположены на гладкой горизонтальной поверхности. Шарики связаны друг с другом тремя непроводящими и нерастяжимыми нитями, каждая длиной $l$ (см. рисунок). Все три нити одновременно пережигают. Определите ускорения шариков сразу после пережигания нитей. Каким будет импульс каждого шарика после разлета на большие расстояния друг от друга. Действием силы тяжести пренебречь.
(Всеросс., 2020, МЭ-Кемерово, 11)

Показать ответ и решение

Поскольку все шарики находятся в одинаковых условиях, после пережигания нитей они будут иметь одинаковые ускорения. Второй закон Ньютона для одного из шариков:

2√-- ma = -q--3- 4π 𝜖0l2

откуда

√-- q2 3 a = -------2- 4π 𝜀0ml

Так как шарики разлетаются на большие расстояния друг от друга, то потенциальной энергией шариков после разлета можно пренебречь. Закон сохранения энергии для каждого шарика имеет вид:

2 2 2 --q--- mv--- -p-- 4π 𝜀0l = 2 = 2m ,

откуда

∘ --m--- p = q ------ 2π 𝜀0l

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#41067

Шарики массы $m = 1$ г и $M = 5$ г связанные нерастяжимой нитью имеют заряды $q$ по 2 мкКл каждый. Шарики летят вдоль направления нити с равными скоростями $V = 8$ км/с. Нить пережигают. Какова была длина нити, если после разрыва нити шарик массой $m$ остановился?

(Всеросс., 2019, МЭ-Астрахань, 11 )

Показать ответ и решение

1. Пусть конечная скорость заряда массой $M$ равна $U$ . Т.к. движение системы происходит вдоль одного направления, то из закона сохранения импульса следует: $V(M + m ) = M U$ .
2. Начальная энергия системы это кинетическая энергия двух шариков и потенциальная энергия их кулоновского взаимодействия, конечная энергия, после разлёта шариков равна кинетической энергии шарика массой $M$ , а потенциальная энергия кулоновского взаимодействия равна нулю. T.е. закон сохранения энергии будет:

M-V-2- mV--2 --q2-- M--U-2 2 + 2 + 4π𝜀0L = 2

4. Далее несложно получить, что

q2M 4 ⋅ 10− 6 ⋅ 5 ⋅ 10−3 ⋅ 9 ⋅ 109 L = -----------------2 = ---------−6--------6---- ≈ 0,47 м 4π𝜀0m (m + M )V 6 ⋅ 10 ⋅ 64 ⋅ 10

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#41068

На горизонтальной непроводящей незаряженной плоскости лежит однородная непроводящая полусфера (см. рис.) массы 0,2 кг и радиуса 0,3 м. По поверхности полусферы однородно распределён заряд. Известно, что если разместить в центре полусферы (т. А) точечный заряд, то вес полусферы увеличивается в 1,5 раза. Найдите минимальную работу, которую нужно совершить, чтобы разместить в т. А этот заряд.

(Всеросс., 2020, МЭ-Саратов, 11)

Показать ответ и решение

Пусть $Q$ - заряд полусферы. Минимальная работа, которую нужно совершить, чтобы поместить в эту точку заряд, равна потенциальной энергии его взаимодействия с зарядом полусферы. Поскольку точечный заряд находится на равном расстоянии от всех точек полусферы, эта энергия может быть подсчитана по формуле $W = kqQ ∕R (R$ – радиус полусферы).

Увеличение веса возникает, очевидно, за счет силы, действующей со стороны заряда на сферу, которая равна силе, с которой сфера действует на заряд. Для подсчета этой силы разобьем сферу на бесконечно малые заряды $ΔQ$ . Поскольку сфера заряжена равномерно, то $ΔQ = σΔS$ , где $ΔS$ – площадь участка сферы, имеющего заряд $ΔQ$ , а $2 σ = Q ∕2πR$ – поверхностная плотность заряда полусферы. Величина силы взаимодействия точечного заряда $q$ с любым из этих зарядов будет одинакова и равна $2 kq σΔS ∕R$ , однако они будут иметь различные направления. Поскольку каждому заряду можно найти расположенный симметрично относительно оси полусферы, то горизонтальные компоненты сил при суммировании уничтожат друг друга, и полная сила взаимодействия определится как сумма вертикальных компонент. Если $α −$ угол, который образует с вертикалью радиус, проведенный к рассматриваемому участку сферы (см. рис.), то вертикальная компонента будет равна $2 kqσΔS cos α∕R$ . Но $ΔS cosα$ - это площадь проекции рассматриваемого участка на основание полусферы. Поскольку остальные величины в этом выражении не зависят от угла $α$ , то при суммировании по всем за $α$ , то при суммировании по всем зарядам

2 2 2 F = kqσπR ∕R = kqσ π = kqQ ∕4R

Тогда из условия задачи $kqQ ∕4R2 = mg$ , и $W = 2mgR = 2,4$ Дж.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#41070

Дана бесконечная цепочка связанных между собой равных одноимённых зарядов. Известны расстояния $L$ между зарядами, и силы натяжения нитей $T1$ – крайней, и $T2$ – второй с краю. Найти заряд $q$ .

(Всеросс., 2021, МЭ-Камчатка, 11)

Показать ответ и решение

На оба крайних заряда действует одинаковая сила отталкивания $F$ от остальных зарядов бесконечной цепочки.
На первом заряде: равновесие сил $F = T1$ .
На втором заряде: влево действуют $F$ и $T1$ , а вправо $T2$ и $FK$ – кулоновская сила отталкивания от первого заряда (кулоновская сила, действующая на первый заряд со стороны второго уже включена в силу $F$ ).

Тогда

{ F + T1 = T2 + FK F = T FK = 2T1 − T2, 1 ∘ --------- FK L2 (F + T1 − T2) L2 2T1 − T2 2T1 − T2 q2 = ------= -----------------= --------L2, ⇒ q = L ---------. k k k k

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#48482

Между двумя неподвижными плоскопараллельными незаряженными пластинами 1 и 2, закороченными через резистор сопротивлением $R$ , помещают аналогичную проводящую пластину 3 с положительным зарядом $q$ на расстоянии $a$ от пластины 2 $(a < d∕2$ , где $d$ – расстояние между пластинами 1 и 2). После установления равновесного состояния пластину 3 быстро перемещают в симметричное положение (на расстояние $a$ от пластины 1). Полагая, что за время перемещения пластины 3 заряд на пластинах 1 и 2 не успевает измениться, определить:
1) величину и направление тока через резистор $R$ сразу после перемещения пластины 3;
2) количество теплоты, выделившееся на резисторе после перемещения пластины.
Площадь каждой пластины $S$ , расстояние между пластинами мало по сравнению с линейными размерами пластин.

Показать ответ и решение

Обозначим величину напряженности электрического поля, создаваемого пластиной 3, через $E0$ , а через $E1$ - величину напряженности поля пластин 1 и 2. Запишем условие эквипотенциальности пластин 1 и 2 до перемещения пластины 3: $E (d − 2a) − E d = 0 0 1$ . Откуда $E = E (1 − 2a∕d ) 1 0$ .

После перемещения пластины 3 между пластинами 1 и 2 возникает разность потенциалов

U = E d + E (d − a ) − E a = 2E (d − 2a) 12 1 0 0 0

В последнем равенстве была использована связь между $E1$ и $E0$ . Поскольку $E0 = q∕2 𝜀0S$ , то $U = q (d − 2a )∕(𝜀 S) 12 0$ . Возникшая разность потенциалов $U 12$ приведет к появлению тока через резистор

R : I = U ∕R = q(d − 2a)∕(𝜀 SR ) 12 0

Ток будет направлен от пластины 1 к 2.

После перемещения пластины 3 будет происходить перезарядка пластин 1 и 2 до тех пор, пока они не станут снова эквипотенциальными. За это время в резисторе будет происходить выделение тепла. Поскольку начальная (до перемещения) и конечная энергии электрического поля системы трех пластин равны, то суммарное количество тепла, выделившегося на резисторе, будет равно работе, совершенной при перемещении пластины 3:

( )2 2 ( )2 Q = qE1 (d − 2a) = qE0d 1 − 2a- = -q-d- 1 − 2a- d 2𝜀0S d

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#49769

Шарик массой $m$ с положительным зарядом $q$ находится на расстоянии $R$ от шарика массой $7m$ с отрицательным зарядом $− 8q$ . Неподвижные вначале шарики одновременно отпускают, и они сближаются. В некоторый момент расстояние между шариками стало $R ∕8$ . Найдите в этот момент:
1) отношение скорости первого шарика к скорости второго;
2) скорость шарика массой $m$ .
Размеры шариков малы по сравнению с $R$ . Силы гравитации не учитывать.

(МФТИ, 2008)

Источники: МФТИ, 2008

Показать ответ и решение

1) По закону сохранения импульса:

0 = 7mu − mv

7mu = mv ⇒ v-= 7 u

2) По закону сохранения энергии:

q-⋅ (− 8q-) 7mu2-- mv2-- q ⋅-(−-8q) k R = 2 + 2 + k R -- 8

с учетом, что $u v = -- 7$ имеем:

2 2 ∘ ----- 56kq--= 4mv---⇒ v = 7q 2k--= √---7q----- R 7 mR 2π𝜀0mR

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#49770

В вершинах равнобедренного треугольника со сторонами $a,5a, 5a$ находятся неподвижно три небольших по размерам положительно заряженных шарика, связанных попарно тремя лёгкими непроводящими нитями. Каждый из шариков, связанных короткой нитью, имеет массу $m$ и заряд $q$ . Третий шарик имеет массу $2m$ и заряд $5q$ . Короткую нить пережигают, и шарики начинают двигаться. В момент, когда шарики оказались на одной прямой, скорость шариков массой m оказалась равной $v$ .
1) Найдите в этот момент скорость шарика массой $2m$ .
2) Найдите $q$ , считая известными $m, v,a.$

(«Физтех», 2015, 10)

Показать ответ и решение

Поскольку нити нерастяжимы и натянуты, проекции скоростей шариков на нити, в момент когда шарики находятся на одной прямой, равны нулю, тогда скорости шариков направлены перпендикулярно нитям, причем скорость шарика $2m$ противоположно направлена скоростям шариков $m$ . По закону сохранения импульса:

0 = 2mv − 2mu

2mv = 2mu ⇒ u = v

По закону сохранения энергии

kq2- 5kq2- kq2- 5kq2- 2mu2-- 2mv2-- a + 2 5a = 10a + 2 5a + 2 + 2

Откуда, с учётом того, что $u = v$

∘ ------2- q = 20mv---a 9k

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#49771

Две закреплённые концентрические сферы радиусов $R$ и $2R$ заряжены зарядами $− Q$ и $2Q$ соответственно (см. рисунок). В большой сфере сделано маленькое отверстие. На расстоянии $3R$ от центра сфер напротив отверстия удерживают точечный заряд $− Q$ , имеющий массу $m.$ Заряд $− Q$ отпускают. Долетит ли этот заряд до меньшей сферы и если да, то какую скорость будет иметь около неё? А если нет, то на каком расстоянии от центра он остановится?

(«Росатом», 2012, 11)

Источники: Росатом, 2012, 11

Показать ответ и решение

Находясь снаружи сфер заряд $− Q$ будет притягиваться к ним и разгонятся. После влёта в отверстие во внешней сфере заряд $− Q$ не будет взаимодействовать с ней, а будет отталкиваться от внутренней сферы и, следовательно, тормозиться. Чтобы понять, долетит ли заряд $− Q$ до поверхности внутренней сферы, найдём разность потенциальных энергий заряда в начальной точке $Π1$ , и в точке на поверхности внутренней сферы $Π2$ — если она положительна, заряд $− Q$ долетит до внутренней сферы. Потенциалы начальной точки $φ1$ и точки на поверхности внутренней сферы $φ2$ найдём по принципу суперпозиции:

2kQ k(− Q ) kQ φ1 = ----+ -------= ---- 3R 3R 3R

φ = 2kQ--+ k(−-Q-)= 0 2 2R R

Поэтому:

2 Π1 = (− Q )φ1 = − kQ-- 3R

Π2 = (− Q)φ2 = 0

Отсюда $Π1 − Π2 < 0$ , и, следовательно, заряд $− Q$ не долетит до поверхности внутренней сферы. Точку, в которой заряд $− Q$ остановится, найдём из условия, что работа поля над зарядом при его перемещении до этой точки равна нулю. Имеем:

( ) kQ-- 2kQ-- k(−-Q-) 0 = φ1 − φ0 = 3R − 2R + x

где $x$ - расстояние от центра сфер до точки остановки заряда $− Q$ , $φ0$ - потенциал этой точки. Отсюда находим:

x = 3R- 2

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#49778

Четыре маленьких одинаковых шарика, связанных нерастяжимыми нитями одинаковой длины, заряжены зарядами $q,q,q$ и $2q$ . Сила натяжения нити, связывающей первый и второй шарики, равна $T$ . Найти силу натяжения нити, связывающей второй и третий шарики.

(«Росатом», 2012, 11)

Источники: Росатом, 2012, 11

Показать ответ и решение

Покажем, каким силам противодействует сила натяжения $\text{[math]}$ . Воспользуемся принципом суперпозиции и законом Кулона:

T = F12 + F13 + F14

Сила натяжения $\text{[math]}$ удерживает первый шарик, других сил для него нет, значит, больше ничего для первого случая не требуется.

Теперь также составим уравнения (для системы шарик 1 + шарик 2) для силы натяжения между вторым и третьим шариком:

T2 = F13 + F14 + F24 + F23

Распишем каждое уравнение по закону кулона, скажем, что расстояние между соседними шариками равно «а»:

T = F12 + F13 + F14

2 2 2 2 2 T = kq--+ kq--+ k2q--= 53kq--⇒ kq--= 36T- a2 4a2 9a2 36a2 a2 53

Второе уравнение с подстановкой выражения из первого:

T2 = F13 + F14 + F24 + F23

kq2 k2q2 kq2 k2q2 71kq2 T2 = --2-+ ---2-+ --2-+ ---2-= ----2- 4a 9a a 4a 36a

Тогда

7136T 71T T2 = ------ = ---- 36 53 53

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#49779

Точечный заряд, расположенный в точке $C$ , создаёт в точках $A$ и $B$ поле с напряжённостью $EA$ и $EB$ соответственно (см. рисунок; угол $ACB$ – прямой). Найти напряжённость электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке $M$ , являющейся основанием перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$ .

(«Росатом», 2011, 11)

Источники: Росатом, 2011, 11

Показать ответ и решение

Запишем, чему равна напряженность в каждой из этих точек, взяв длины отрезков за

--kq--- ---kq-- --kq--- EA = (AC )2 EM = (M C)2 EB = (BC )2.

А из прямоугольного треугольника $√ ------------ AB = AC2 + BC2$ . Площадь прямоугольного треугольника можно найти как полупроизведение катетов или как полупроизведение высоты и основания:

√ ------------ AC ⋅ BC M C AC2 + BC2 AC ⋅ BC S = --------- = ------------------ ⇒ M C = √----2-------2 2 2 AC + BC

Возведем в квадрат получившиеся уравнение, а дальше смертельный номер: возводим в -1 степень и домножаем обе части на $kq$ :

AC2BC2 kq ( AC2 + BC2 ) M C2 = ----2------2 ⇒ ----2-= -----2---2-- kq AC + BC M C AC BC

Или в напряженностях

( kq kq ) 1 1 | --- + ---| ---+ ---- EM = | EA----EB-| kq = -EA----EB- = EB + EA ( -kq ⋅-kq-) -1- ⋅-1-- EA EB EA EB

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#49780

Две равномерно заряженные полусферы расположены так, что они имеют общий центр, и одна из них вложена в другую (см. рисунок; внутренняя полусфера показана пунктиром). Радиусы полусфер равны $R$ и $3R$ , заряды – $Q$ и $2Q$ соответственно. Найти силу взаимодействия полусфер.

(«Росатом», 2011, 11)

Источники: Росатом, 2011, 11

Показать ответ и решение

1) Для начала разберёмся с тем, как будет определятся наша сила взаимодействия. Для этого сначала замкнём внешнюю полусферу. Напряжённость внутри сферы будет равна нулю.

Значит суммарная сила, действующая со стороны внешней сферы на внутреннюю полусферу будет равна нулю. Отсюда мы можем понять, что внутренняя полусфера взаимодействует с внешней также, если внутреннюю полусферу симметрично отобразить. Исходя из этого замкнём внутреннюю сферу. И рассмотрим теперь взаимодействие внутренней сферы с внешней полусферой. Они взаимодействуют на друг друга с равными силами $f$ , направленными в одну сторону.

Эти силы равны сумме всех электрических сил. Также мы легко можем вычислить напряжённость внутренней сферы на поверхности внешней полусферы. Тогда получим:

Q ΔF = ΔqE = Δq ---------2 4π𝜀0(3R )

2) На каждый $Δq$ действуют сила направленные в разные стороны. Введём систему координат, исходящую из центра внутренней сферы. Результирующая всех сил по $Y$ будет равна нулю, так как полусфера симметрична. Следовательно, спроецируем на $X$ :

ΔFx = Δq ----Q-----cosα 4π𝜀0(3R )2

3) Распишем $Δq$ через поверхностную плотность:

Q ΔFx = ΔS σ---------2 cosα 4 π𝜀0(3R )

4) $ΔS cosα$ является проекцией площади на горизонтальную поверхность (окружность радиусом $3R$ ). Следовательно:

Q 2Q ΔFx = ---------2 ⋅-------2ΔS ′ 4π𝜀0(3R ) 2π(3R )

5) Суммироваться сила будет только по площади, так как заряды постоянны, следовательно получим:

-----Q---- ---2Q--- 2 kQ2- F = 4 π𝜀 (3R )2 ⋅2 π(3R )2 ⋅ π (3R) = 9R2 0

6) Но так как в 1ом пункте мы сказали, что сферы взаимодействуют друг на друга с равными силами $f$ , то найденная нами сила равна сумме этих сил, то есть $2f$ . Отсюда получим окончательный ответ:

2 f = F- = -kQ-- 2 18R2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#64778

В точке $O$ к стержню привязана непроводящая нить длиной $R$ c зарядом $q$ на конце. Известный эталонный заряд $Q2$ и измеряемый заряд $Q1$ установлены на расстояниях $L2$ и $L1$ от точки $O$ . Все заряды одного знака и могут считаться точечными.
Найдите величину заряда $Q1$ , если в состоянии равновесия нить отклонена на угол $β$ от отрезка, соединяющего заряды $Q2$ и $Q1$ .
Какой величины заряды $Q1$ можно измерить таким способом в случае, если $L1 = 2L2$ , $R = 3L2$ ?

(Всеросс., 2018, РЭ, 11)

Показать ответ и решение

Условие равновесия заряда на конце нити: равенство нулю суммы кулоновских сил со стороны $Q1$ и $Q2$ и натяжения нити, направленного к точке $O$ .

Исключим натяжение, рассмотрев составляющие кулоновских сил, поперечные нити. Из условия равновесия следует

Q1sin2-α1= Q2-sin2α2 R1 R2

где $R1$ и $R2$ расстояния от конца нити до зарядов, а $α1$ и $α2$ углы, образуемые кулоновскими силами с нитью. Поскольку $R1 sinα1 = L1sinβ,R2 sinα2 =L2 sinβ$ и $Q1L1 Q2L2 R31--= -R32-,$ то $(L2)( R1)3 Q1 = Q2 L1 R2$ Из теоремы косинусов находим:

R21 = R2 +L21+ 2RL1 cosβ, R22+ L22+ 2RL2cosβ

, откуда находим

( ) ( 2 2 )3∕2 Q1 = Q2 L2 R2+-L12−-2RL1-cosβ- L1 R + L2+ 2RL2 cosβ

При нити, отклонённой от прямой, соединяющей заряды $Q1$ и $Q2$ , равновесие устойчиво так как с изменением $β$ возникнет возвращающая сила. При $β = 0$ и $∘ 180$ равновесие будет при любом $Q1$ , но оно не обязательно устойчиво.

Минимальный измеримый заряд $Qmin$ достигается при стремлении $β$ к 0 , a максимальный $Qmax−$ к $180∘$ .

При указанных в условии значениях $L1 = 2L2,R = 3L2$ получим, что при

1 103 125 Qmin = 128Q2 и Qmax ≥ 128Q2 = 16-Q2.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия зарядов на нити	2

Записана теорема косинусов	2

Сказано, в каком случае будет минимальный заряд	2

Сказано, в каком случае будет максимальный заряд	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#64779

Три частицы с одинаковыми зарядами в начальный момент удерживают в вершинах треугольника со сторонами $R1$ , $R2$ и $R3$ (рис.). Частицы одновременно отпускают, и они разлетаются так, что отрезки, соединяющие любую пару частиц, остаются параллельными исходным. Каково отношение масс этих частиц $m : m : m 1 2 3$ ? Гравитационным притяжением пренебречь.

(Всеросс., 2012, финал, 10)

Показать ответ и решение

В любой момент времени отношение расстояний между частицами $r1 : r2 : r3$ остается равным отношению исходных расстояний $R1 : R2 : R3$ , поскольку конфигурации частиц являются подобными треугольниками. По этой же причине углы $α ,α ,α 1 2 3$ при вершинах $m ,m 1 2$ , $m 3$ остаются неизменными (см. рис.).

Рассмотрим две сходственные стороны треугольников, например, $R3$ и $r3$ . Проведём к ним перпендикуляр $ON$ . Стороны параллельны, если проекции скоростей и ускорений частиц $m 1$ и $m 2$ на $ON$ равны, это обусловлено тем, что частицы с массами $m1$ и $m2$ взаимодействуют лишь с зарядом частицы массой $m3$ . Исходя из закона Кулона и второго закона Ньютона можно получить выражения для ускорений и их проекций:

2 2 a1⊥ = kq-sinα21 = a2⊥ = kq-sin2α2. m1r2 m2r1

Высота $h$ треугольника, опущенная на сторону $r3$ , равна:

h = r2sinα1 = r1sinα2.

Поэтому из предшествующего равенства следует

--1--= --1-- m1r32 m2r31

откуда

3 3 m1 : m2 = r1 : r2.

Аналогичным образом найдём отношение масс $3 3 m2 : m3 = r2 : r3$ . Следовательно, $3 3 3 m1 : m2 : m3 = r1 : r2 : r3$ .

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#76909

Заряд $Q > 0$ однородно распределен по сфере радиуса $R$ . В первом опыте на расстоянии $2R$ от центра сферы помещают небольшой по размерам шарик с зарядом $q > 0$ .
1. Найдите силу $F 1$ , действующую на заряженный шарик.
Во втором опыте заряд $q$ однородно распределяют по стержню длины $R$ , стержень помещают на прямой, проходящей через центр заряженной сферы. Ближайшая к центру сферы точка стержня находится на расстоянии $2R$ от центра.
2. Найдите силу $F2$ , с которой заряд сферы действует на заряженный стержень.
Все силы, кроме кулоновских, считайте пренебрежимо малыми. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k$ . Явлением поляризации пренебрегите.

Показать ответ и решение

1) Напряжённость от сферы в точке на расстоянии $2R$ считается как напряжённость от точечного заряда.Тогда:

F1 = -kQ---⋅ q (2R )2

2) Через интегрирование:
Выберем малый заряд на стержне $dq$ , который находится на расстоянии $r$ от центра сферы. Также пусть длина этого малого заряда – $dr$ . Тогда сила действующая на элементарный заряд: