.06 Потенциал поля

По принципу суперпозиций потенциал равен удвоенному потенциалу вершины равносторонней треугольной пластины со стороной a и поверхностной плотностью заряда .

Если размеры пластины увеличить в 2 раза, сохранив поверхностную плотность заряда, то потенциал каждой точки тоже увеличится в 2 раза. Для доказательства этого факта можно разбить исходную пластинку на маленькие части, которые можно считать точечными зарядами. В результате масштабирования площадь каждой части увеличится в 4 раза, а значит и заряд вырастет в 4 раза, а расстояние до каждой части увеличится в 2 раза. Учитывая, что потенциал точечного заряда равен получим, что потенциал, создаваемый каждой маленькой частью, увеличится в 2 раза, значит и общий потенциал вырастет вдвое. Значит потенциал точки в 2 раза больше потенциала вершины пластины со стороной , .

Найдём потенциал точки . Для этого мысленно разобьем треугольник на 4 треугольника со сторонами . Заметим, что – это исходный ромб, который создает в точке потенциал . К нему нужно добавить потенциалы создаваемые треугольниками и (рис. 29). Потенциал каждого из них в вершине равен . Отсюда .

После удаления центрального треугольника потенциал в точке D уменьшился на и стал равен .

Для нахождения потенциала точки «дырявой» пластины нужно узнать, какой потенциал создавал в ней треугольник . Рассмотрим ромб . Его потенциал в точке C равен и складывается из потенциала создаваемого треугольником и потенциала создаваемого треугольником и равного . Тогда треугольник создает в точке C потенциал . Значит после удаления центрального треугольника потенциал точки C станет равным