Потенциал поля —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#24824

В точку $A$ поместили первый точечный заряд, и он создал в точке $B$ потенциал 2 В. Затем первый заряд убрали, и в точку $B$ поместили второй точечный заряд. Он создал в точке $A$ потенциал 9 В. Далее первый заряд вернули обратно в точку $A$ . С какой силой взаимодействуют эти заряды?

Показать ответ и решение

Пусть модули зарядов, которые помещали в точки A и B, равны $q1$ и $q2$ соответственно, а расстояние между ними равно $R$ . Записывая формулы для потенциалов, создаваемых точечными зарядами в точках B и A, получим:

q1 q2 φB = k -- ; φA = k-- R R

Согласно закону Кулона, искомая сила взаимодействия зарядов равна:

q1q2 F = k R2

С учётом записанных выражений для потенциалов получим:

φB-φA- −9 F = k = 2 ⋅ 10 Н = 2 нН

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#29492

В точку A поместили первый точечный заряд, и он создал в точке B потенциал 2 В. Затем первый заряд убрали, и в точку B поместили второй точечный заряд. Он создал в точке A потенциал 9 В. Далее первый заряд вернули обратно в точку A. С какой силой взаимодействуют эти заряды?

Показать ответ и решение

Пусть модули зарядов, которые помещали в точки $A$ и $B$ , равны $q1$ и $q2$ соответственно, а расстояние между ними равно $R$ . Потенциалы в точках $A$ и $B$ равны:

φA = k q2 φB = kq1 R R

Сила взаимодействия зарядов находится по формуле:

q q F = k -1-2. R2

С учётом формул для потенциалов:

φA φB F = ------ = 2 ⋅ 10−9 Н k

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#29493

В вершинах правильного треугольника расположены точечные заряды $q$ , $2q$ и $3q$ . Найдите потенциал электростатического поля этих зарядов в центре треугольника. Сторона треугольника равна $a$ .

Показать ответ и решение

Центр треугольника – точка пересечения медиан. С учетом того, что треугольник правильный, то медианы являются и высотами. Тогда длина медианы равна

∘ -------2 √ -- 2 a-- a--3- x = a − 4 = 2 .

Центр делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины, тогда каждый заряд находится от вершины на расстоянии

2 a√3-- r = -x = ----- 3 3

Потенциал каждого заряда равен

qi φi = k--, ri

Тогда

-3√q-- 3-⋅√ 2q 3-⋅√ 3q- φ1 = ka 3 ,φ2 = k a 3 ,φ3 = k a 3

Или

√ -- √ -- √ -- --3q- --3-⋅ 2q --3-⋅ 3q φ1 = k a ,φ2 = k a ,φ3 = k a

Тогда полный потенциал

√ -- 6kq--3- φ = φ1 + φ2 + φ3 = a

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Найдена длина медианы	2

Найден потенциал каждого заряда	2

Найден полный потенциал	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#29494

Три одинаковых точечных заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$ . Напряжённость электрического поля в точке, находящейся посередине между двумя зарядами, равна $E$ . Найти потенциал электрического поля в этой точке.

(«Росатом», 2013, 11 )

Источники: Росатом, 2013, 11

Показать ответ и решение

Напряженность от точечного заряда равна:

q-- E = k x2,

где $k$ – постоянная Кулона, $x$ – расстояние от заряда до точки.
Найдём напряженности, которые создают все заряды в точке с напряженностью $E$ :

---Q--- E1 = k(a∕2 )2

Q E2 = k------- (a∕2 )2

Q E3 = k-2, r

где $√ -- r = 3∕2a$ – высота треугольника.
Так как заряды одинаковые, то напряженность в рассматриваемой точке будет равна напряженности от третьего заряда. Поля двух зарядов, между которыми находится точка будут складываться в нуль, тогда общая напряженность равна:

4kQ E = ---2- 3a

Отсюда

kQ--= 3Ea-- a 4

Потенциал поля в рассматриваемой точке по принципу суперпозиции равен сумме потенциалов, создаваемых точечными зарядами

kQ kQ kQ (6 + √3-)Ea φ = φ1 + φ2 + φ3 = ----+ ----+ √------= ------------ a∕2 a∕2 3a∕2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#29495

По тонкому кольцу радиуса $R$ распределён (произвольным образом) заряд $q.$ Найдите потенциал поля этого заряда в центре кольца

Показать ответ и решение

Найдем потенциал, который создает элементарный заряд $dq$

kdq- dφ = R

Просуммируем

kq- φ = R

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#29496

Два изолированных проводящих шара радиусами $R$ и $r$ расположены далеко друг от друга и имеют заряды $Q$ и $q$ соответственно. Найдите заряды шаров после соединения их проводом.

Показать ответ и решение

Пусть заряды шаров после перетекания равны $Q ′$ и $q′$ соответственно Заряд будет перетекать до тех пор, пока потенциалы на шарах не станут равными

′ ′ φQ = φq ⇒ k Q--= k q-⇒ Q ′ = R-q′ R r r

Также в системе будет выполняться закон сохранения заряда

R ( R + r ) (Q + q)r q + Q = q′ + Q ′ ⇔ q + Q = q′ +--q′ ⇒ q′ ------ = Q + q ⇒ q′ =--------- r r R + r

Тогда

Q ′ = R-q′ = (Q-+-q)R-. r R + r

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#29497

Три небольших одинаковых металлических шарика расположили правильным треугольником. Вся система находится в вакууме. Шарики поочерёдно по одному разу соединяют с удалённым проводником, потенциал которого поддерживается постоянным. В результате на первом шарике оказывается заряд, равный $Q1$ , а на втором – заряд, равный $Q2$ . Определите заряд третьего шарика.
(Всеросс., 1992, ОЭ, 11 )

Показать ответ и решение

Потенциал первого шарика после соединения его с удаленным проводников равен

-Q1--- φ1 = 4π𝜀 r, 0

где $r$ – радиус шарика. На втором шарике при соединении его с проводником появится заряд $Q2$ , а его потенциал будет определяться зарядами $Q1$ и $Q2$ :

--Q1--- --Q2-- φ2 = 4π𝜀 R + 4π 𝜀 r, 0 0

где $R$ – расстояние между шариками. Аналогично потенциал третьего шарика $φ3$ будет:

φ3 = --Q3-- + --Q2---+ --Q1---. 4π 𝜀0r 4π𝜀0R 4π 𝜀0R

Так как все шарики соединялись с одним и тем же проводником, имеющим постоянный потенциал, то

φ1 = φ2 = φ3.

Из полученных уравнений находим

Q22 Q3 = --- Q1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#29498

Гирлянда из 2014 одинаковых металлических шариков подвешена на длинном непроводящем тросе. Расстояние между шариками много больше их диаметра, и они удалены от других тел, которые могут влиять на электростатические поля. На все шарики нанесён одинаковый заряд $Q = − 7$ мкКл. Ещё один металлический шарик (меньшего размера) закреплён на изолирующей ручке. Этим шариком поочерёдно касаются всех шаров гирлянды. Известно, что после касаний абсолютная величина заряда шарика, которого касались вторым, оказалась на n = 2% больше, чем шарика, которого касались первым. Чему после всех касаний будет равен заряд маленького шарика? Ответ приведите в нКл, округлив до целых, с учётом знака.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2014, 10–11 )

Показать ответ и решение

При касании двух проводящих тел их общий заряд распределяется между ними в пропорции, которая определятся только геометр (размером и относительным положением тел). При касании двух шаров, удаленных друг от других тел, эта пропорция будет определена только соотношением радиусов и потому одинакова для всех касаний в системе. Предположим, что меньший шарик получает x% от общего заряда. Ясно, что больший шар при этом обретет долю от общего заряда в 1-х %, причем х точно меньше 0,5. Тогда после первого касания заряд меньшего шарика определяется как $q1 = xQ$ , а заряд первого шара $Qq = (1 − x)Q$ . После касания второго шара имеем $q2 = x(q + xQ ) = x(1 + x)Q$ , а $Q2 = (1 − x)(q + xQ ) = (1 − x2)Q$ . В соответствии с условием задачи получаем, что $Q n Q21-= 1 + x = 1 + 100$ , а значит $n x = 100-$ . Продолжая наши рассуждения, несложно определить значение $q = x(1 + x + x2 + ...+ x2013)Q 2014$ . Второй множитель с хорошей точностью равен $1−1x$ (попробуйте доказать это самостоятельно, это чисто математическое упражнение (: ). Тогда $-x- --n-- q2014 = 1−xQ = 100− nQ$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#29499

Два кубика c длинами рёбер $3a$ и $a$ и общим центром делят пространство на три области. Область внутри маленького кубика равномерно заряжена по объёму электрическим зарядом с плотностью - $ρ 1$ ( $ρ 1$ > 0), пространство между поверхностями маленького и большого кубиков равномерно заряжено с объёмной плотностью заряда + $ρ2$ ( $ρ2$ > 0), вне большого кубика электрических зарядов нет. Найдите отношение объёмных плотностей заряда $ρ1∕ρ2$ , при котором потенциал в центре кубиков будет равен потенциалу бесконечно удалённой точки, то есть нулю.

Показать ответ и решение

Из соображений размерности следует, что потенциал относительно бесконечно удаленной точки в центре равномерно заряженного по объёму кубика с длиной ребра $a$ равен:

3 φ = γq-= γρa--= γρa2, a a

где $γ$ – коэффициент пропорциональности, который зависит только геометрии системы (этот коэффициент одинаков для всех кубов). Пусть $ρ1 ---= x ρ2$ . Тогда нашу систему зарядов можно представить, как результат наложения друг на друга кубика с длиной ребра $3a$ , заряженного с плотностью $+ ρ 2$ , и кубика с длиной ребра $a$ , заряженного с плотностью $− (x + 1 )ρ2$ . Тогда потенциал в центре двух таких кубиков равен:

γ ρ ⋅ 9a3 − γ (x + 1 )ρ a2 = 0 2 2

Отсюда получаем, что

ρ1 x = ---= 8. ρ2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#29500

Тонкая плоская пластинка из диэлектрика в форме ромба со стороной $a$ и острым углом $60∘$ заряжена однородно с поверхностной плотностью заряда $σ$ . Потенциал в вершине острого угла ромба равен $φ 1$ , в вершине тупого – $φ 2$ (рис. слева). Из такого же диэлектрика вырезают тонкую пластинку в форме равностороннего треугольника ABC со стороной $2a$ и заряжают ее с такой же поверхностной плотностью заряда (рис. в центре).

1. Определите потенциал в точке $C$ треугольной пластинки.
2. Определите потенциал в точке $D$ , лежащей на середине стороны треугольной пластинки.
Теперь из треугольной пластинки ABC удаляют правильный треугольник со стороной a (рис. справа).
3. Определите потенциал в точке $D ′$ «дырявой» пластинки.
4. Определите потенциал в точке $′ C$ «дырявой» пластинки.
Примечание. Все пластины удалены друг от друга и других тел.

(Всеросс., 2019, финал, 10)

Показать ответ и решение

По принципу суперпозиций потенциал $φ2$ равен удвоенному потенциалу вершины равносторонней треугольной пластины со стороной a и поверхностной плотностью заряда $σ$ .

Если размеры пластины увеличить в 2 раза, сохранив поверхностную плотность заряда, то потенциал каждой точки тоже увеличится в 2 раза. Для доказательства этого факта можно разбить исходную пластинку на маленькие части, которые можно считать точечными зарядами. В результате масштабирования площадь каждой части увеличится в 4 раза, а значит и заряд вырастет в 4 раза, а расстояние до каждой части увеличится в 2 раза. Учитывая, что потенциал точечного заряда равен $kq-, r$ получим, что потенциал, создаваемый каждой маленькой частью, увеличится в 2 раза, значит и общий потенциал вырастет вдвое. Значит потенциал точки $C$ в 2 раза больше потенциала вершины пластины со стороной $a$ , $φC = φ2$ .

Найдём потенциал точки $D$ . Для этого мысленно разобьем треугольник на 4 треугольника со сторонами $a$ . Заметим, что $AEDF$ – это исходный ромб, который создает в точке $D$ потенциал $φ1$ . К нему нужно добавить потенциалы создаваемые треугольниками $BDE$ и $DF C$ (рис. 29). Потенциал каждого из них в вершине равен $φ2∕2$ . Отсюда $φD = φ1 + φ2$ .

После удаления центрального треугольника потенциал в точке D уменьшился на $φ2$ и стал равен $φ ′ = φ + φ ∕2 D 1 2$ .

Для нахождения потенциала точки $C$ «дырявой» пластины нужно узнать, какой потенциал создавал в ней треугольник $DEF$ . Рассмотрим ромб $CF ED$ . Его потенциал в точке C равен $φ1$ и складывается из потенциала создаваемого треугольником $DEF$ и потенциала создаваемого треугольником $F DC$ и равного $φ2∕2$ . Тогда треугольник $DEF$ создает в точке C потенциал $φ1 − φ2 ∕2$ . Значит после удаления центрального треугольника потенциал точки C станет равным $( φ2 ) 3 φ ′C = φ2 − φ1 − --- = --φ2 − φ1 2 2$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#41071

По закреплённому в вакууме тонкому проволочному кольцу радиусом $R$ равномерно распределён отрицательный заряд $Q$ . Электрон с массой $m$ и зарядом $e$ приближается к кольцу по прямой, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Какому условию должна удовлетворять скорость электрона в точке, находящейся на расстоянии $√ -- d = 3R$ от центра кольца, чтобы электрон смог пролететь сквозь него? Силой тяжести можно пренебречь.

(Всеросс., 2020, МЭ-Чукотка, 11)

Показать ответ и решение

Потенциал на оси равномерно заряженного кольца на расстоянии $d$ от центра равен:

----Q----- Q-- φ1 = k √ -2----2-= k 2R R + d

Потенциал в центре равномерно заряженного кольца:

φ2 = kQ- R

Из закона сохранения энергни следует:

∘ ------------- ∘ ----- ∘ --------- mV 2min 2e (φ2 − φ1) keQ eQ ---2---+ eφ1 = eφ2 ⇒ Vmin = -----m------ = mR---= 4π𝜀-mR--- 0

Значит, $∘ --eQ--- V ≥ 4π𝜀0mR$ .

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#49781

По тонкому кольцу радиуса $R$ распределён (произвольным образом) заряд $q.$ Найдите потенциал поля этого заряда в центре кольца

Показать ответ и решение

Найдем потенциал, который создает элементарный заряд $dq$

kdq- dφ = R

Просуммируем

kq φ = --- R

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#49782

По закреплённому в вакууме тонкому проволочному кольцу радиусом R равномерно распределён отрицательный заряд $Q.$ Электрон с массой $m$ и зарядом $e$ приближается к кольцу по прямой, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Какому условию должна удовлетворять скорость электрона в точке, находящейся на расстоянии $√ -- d = 3R$ от центра кольца, чтобы электрон смог пролететь сквозь него? Силой тяжести можно пренебречь.

(Всеросс., 2018, МЭ, 11)

Источники: Всеросс., 2018, МЭ, 11

Показать ответ и решение

Потенциал на оси равномерно заряженного кольца на расстоянии $d$ центра равен:

----Q----- Q-- φ1 = k √ -2----2-= k 2R R + d

Потенциал в центре равномерно заряженного кольца:

φ2 = kQ- R

Из закона сохранения энергии следует:

∘ -------------- ∘ ------ mV m2in 2 |e|(φ2 − φ1) k|e|Q --2----+ eφ1 = eφ2 ⇒ Vmin = ------m------ = -mR---

Значит,

∘ ------ V ≥ k|e|Q-- mR

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#49783

Внутри проводящей сферы радиусом $R$ , несущей заряд $Q$ , на расстоянии $R∕2$ от её центра O находится точечный заряд $q$ . Найдите потенциал $φ$ в точке $M$ . Точка $M$ , центр сферы $O$ и заряд $q$ лежат на одной прямой. Найдите заряды внутренней и внешней поверхностей сферы. Распределён ли заряд на внутренней поверхности равномерно или неравномерно? А на внешней? Качественно изобразите вид силовых линий электрического поля.

(МОШ, 2016, 11)

Источники: МОШ, 2016, 11

Показать ответ и решение

Толща проводника экранирует для наружной области поле, имеющееся внутри сферы, поэтому, хотя на внутренней поверхности сферы заряд $− q$ распределен неравномерно, на внешней поверхности заряд $Q + q$ распределится равномерно. Данная задача эквивалентна случаю, если мы внутренность сферы со всем ее «содержимым» заменим сплошным проводником, оставив на поверхности заряд $Q + q$ (так можно сделать, потому что система зарядов на внутренней поверхности сферы вместе с точечным зарядом $q$ вне сферы поля не создает).

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#49785

На расстоянии $a$ от центра заземлённой проводящей сферы радиуса $R$ расположен точечный заряд $q$ . Чему равен заряд сферы?

Показать ответ и решение

Рассмотрим 2 случая, заряд находится вне сферы $a > R$ и заряд находится внутри сферы ( $R > a$ ).
Случай 1:
1. Заряды распределятся неравномерно по поверхности сферы (одноименные будут отталкиваться, разноименные притягиваться).
2. Возьмем заряд $ΔQ$ на поверхности сферы, его потенциал равен $Δϕ = kΔQ-- R$ . Тогда, чтобы найти потенциал, созданный сферой, надо просуммировать потенциалы, и он равен

ϕ1 = kQ-- R

А потенциал, созданный точечным зарядом в центре сферы

kq- ϕ2 = a

Откуда потенциал в центре сферы

ϕc = ϕ1 + ϕ2 = kQ--+ kq- R a

Так как шар является проводником, то потенциал внутри сферы равен потенциалу поверхности шара и равен $ϕЗ$ .

3. Так как потенциал Земли равен 0, то и потенциал шара должен тоже равняться 0, откуда

kq-= − kQ-⇒ Q = − qR- a R a

Случай 2:
Так как потенциал сферы равен 0, то внешняя поверхность сферы не будет заряжена, также внутри сферы будет отсутствовать поле, следовательно, по теореме Гаусса сумма зарядов через замкнутую поверхность сферы тоже должна быть равна 0, откуда следует, что заряд сферы $Q = − q$ .

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула потенциала электрического поля	2

Расписана формула нахождения результирующего потенциала	2

Рассмотрено два случая	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#49786

Проводящая сфера радиуса $R$ имеет заряд $q.$ Сферу окружают концентрической сферической проводящей оболочкой радиуса $3R$ . Чему станет равен потенциал сферы, если заземлить оболочку?

Показать ответ и решение

Так как оболочка заземлена, то её потенциал равен 0, значит

-kq kq2- 3R + 3R = 0 ⇒ q2 = − q,

где $q2$ – заряд оболочки.
Найдем потенциал сферы после заземления оболочки

′ kq- kq2- 3q −-q- 2kq- φ = R + 3R = k 3R = 3R

Ответ:

06 Потенциал поля