Тема 17. Задачи по планиметрии

17.10 Медиана и удвоение медианы

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30685

Медиана треугольника совпадает с его биссектрисой. Верно ли, что он равнобедренный?

Показать ответ и решение

Пусть медиана BM  треугольника ABC  также является биссектрисой угла ABC  . Тогда продлим медиану BM  за точку M  на свою длину. Назовём полученную точку D  .

PIC

Рассмотрим треугольники ABM  и CDM  . Они равны, так как BM = DM  по построению, AM = CM  по условию и ∠AMB  = ∠CMD  как вертикальные. В равных треугольниках соответственные элементы равны, в частности, ∠ABM  =∠CDM  и AB = CD  .

Так как BM  — биссектриса угла ABC  , имеем:

∠CBM  = ∠ABM  =∠CDM

Таким образом, треугольник BCD  — равнобедренный, то есть BC = CD  , значит, AB = CD = BC  .

Ответ: Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#30687

На медиане BM  треугольника ABC  взяли точку E  так, что угол CEM  равен углу ABM  . Докажите, что отрезок CE  равен одной из сторон треугольника.

PIC

Показать ответ и решение

Продлим медиану BM  за точку M  на свою длину. Назовём полученную точку — D  .

PIC

Рассмотрим треугольники ABM  и CDM  . Они равны, так как BM = DM  по построению, AM = CM  по условию и ∠AMB  = ∠CMD  как вертикальные. В равных треугольниках соответственные элементы равны, в частности, ∠ABM  =∠CDM  и AB = CD  .

По условию ∠ABM  =∠CEM  , значит, ∠CDM = ∠CEM  , следовательно, треугольник CDE  — равнобедренный, то есть CD = CE  . Тогда CE = CD = AB  , значит, отрезок CE  равен стороне AB  треугольника ABC  .

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#30715

В треугольнике ABC  медиана BM  в два раза меньше стороны AB  и образует с ней угол 50∘ . Найдите угол ABC  . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Пусть D  — точка, симметричная точке B  относительно M  . Тогда MB = MD  и ABCD  — параллелограм (так как диагонали делят друг друга пополам). BD =2BM  =AB  , следовательно, треугольник ABD  — равнобедренный с углом          ∘
∠ABD  = 50 между равными сторонами. Тогда по сумме углов треугольника

              1   ∘            ∘
∠DAB = ∠BDA = 2(180 − ∠ABD )= 65

Кроме того, AD ∥BC  , следовательно, ∠DBC  = ∠BDA = 65∘ , тогда ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 115∘ .

PIC

Ответ: 115

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#30689

В треугольнике ABC  точка M  — середина стороны AC.  На стороне BC  взяли точку K  так, что угол BMK  прямой. Оказалось, что BK = AB.  Найдите ∠BKM,  если ∠A + ∠C = 70∘.  Ответ дайте в градусах.

PIC

Показать ответ и решение

Продлим медиану BM  за точку M  на свою длину. Назовём полученную точку D.

Рассмотрим треугольники ABM  и CDM.  Они равны, так как BM  = DM  по построению, AM  = CM  по условию и ∠AMB   =∠CMD  как вертикальные. В равных треугольниках соответственные элементы равны, в частности, ∠BAM   =∠DCM  и AB = CD.

PIC

Рассмотрим треугольник BKD.  В нем высота KM  является также медианой, так как BM = DM  , следовательно, BK  = DK.  Тогда DK = BK  =AB  = CD,  значит, треугольник CDK  равнобедренный, и

∠CKD  = ∠KCD  = ∠BCD  = ∠BCA  + ∠DCA = ∠BCA  + ∠BAC  = 70∘

Углы BKD  и CKD  — смежные, значит,

∠BKD  = 180∘ − ∠CKD  =180∘− 70∘ = 110∘

В равнобедренном треугольнике BKD  высота KM  также является и биссектриссой угла BKD,  следовательно,

                     ∘
∠BKM   = 1∠BKD  = 110-= 55∘
         2          2
Ответ:

  ∘
55

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#30686

В треугольнике ABC  провели медиану BM  . Оказалось, что сумма углов A  и C  равна углу ABM  . Найдите отношение медианы  BM  к стороне BC  .

Показать ответ и решение

Продлим медиану BM  за точку M  на свою длину. Назовём полученную точку D  .

PIC

Рассмотрим треугольники ABM  и CDM  . Они равны, так как BM = DM  по построению, AM = CM  по условию и ∠AMB  = ∠CMD  как вертикальные. В равных треугольниках соответственные элементы равны, в частности, ∠ABM  =∠CDM  и ∠BAM  = ∠DCM  .

По условию ∠ABM  =∠BAM  + ∠BCA  , значит,

∠CDB = ∠CDM  =∠ABM  = ∠BAM + ∠BCA = ∠DCM  + BCA = DCB

Таким образом, треугольник BCD  является равнобедренным, то есть BC =BD  . Так как      1
BM = 2BD  , получаем, что BM  :BC =1 :2  .

Ответ: 1:2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#30688

Докажите, что два треугольника равны по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Показать ответ и решение

Пусть в △ABC  и △A ′B′C′ имеется AB =A ′B′ , BC = B′C ′ , BO = B′O′ — медианы. Докажем, что треугольники равны.

PIC

Продлим медианы BO  и  ′ ′
B O за точки O  и   ′
O так, чтобы BO = OD  ,  ′ ′   ′ ′
B O =O D . Получим два параллелограмма ABCD  и  ′ ′ ′ ′
A B C D . Рассмотрим △ABD  и    ′ ′ ′
△A B D . Они равны по трем сторонам, следовательно,          ′ ′ ′
∠ADB = ∠AD B . Тогда, в свою очередь,           ′ ′ ′
△ADO  = △A D O по углам           ′ ′ ′
∠ADB  = ∠AD B и       ′ ′
AD = A D ,       ′ ′
DO = DO . Следовательно,       ′ ′
AO = A O . Но тогда AC = 2AO =2A′O′ = A′C′ . Следовательно, △ABC  = △A′B′C′ по трем сторонам. Ч.т.д.

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#16805

 B  выпуклом четырехугольнике ABCD  стороны AB, BC  и CD  paвны, M  — середина стороны AD.  Известно, что угол BMC  равен   ∘
90 .  Найдите угол между диагоналями четырехугольника ABCD.

Показать ответ и решение

Обозначим точку пересечения диагоналей через E  . B′ и C′ — точки, симметричные относительно M  точкам B  и C  соответственно. Тогда         ′
MB  =MB ,         ′
MC = MC по построению.

   ′ ′
BCB C — параллелограмм (т.к. диагонали делят друг друга пополам), следовательно,  ′ ′
C B = BC  .

     ′
ABDB — параллелограмм (т.к. диагонали делят друг друга пополам), следовательно,  ′
BD = AB  .

     ′
ACDC — параллелограмм (т.к. диагонали делят друг друга пополам), следовательно,      ′
AC =C D  .

Треугольники BCM  и  ′
B CM  равны как прямоугольные по двум катетам (CM  общий,         ′
MB = MB по построению), следовательно их гипотенузы равны        ′
CB = CB . Получили, что         ′    ′
CD = CB  =DB и треугольник     ′
CDB — равносторонний.

PIC

Рассмотрим искомый угол BEA  . С одной стороны, из параллельности AC  и C′D  он равен углу BDC ′ . С другой стороны, как внешний для треугольника BCE  он равен сумме углов ∠BCE + ∠EBC  . Треугольники ABC  и BCD  равнобедренные, следовательно, ∠CAB  =∠BCA, ∠DBC  = ∠CDB  . Подытоживая написанные равенства, получаем

∠BDC ′ = ∠BEA = ∠BCE + ∠EBC = ∠BCA + ∠DBC = ∠CAB + ∠CDB

Треугольники ABC  и    ′ ′
DB  C равны по трем сторонам (           ′    ′ ′
AB = BC = BD = B C ,      ′
AC =C D  ), следовательно,          ′  ′
∠CAB = ∠C DB . Тогда, подставив в равенство выше, получим      ′    ′  ′
∠BDC  =∠C DB  +∠CDB  , причем      ′    ′  ′              ′   ∘
∠BDC  + ∠C DB + ∠CDB = ∠CDB  = 60 , т.к. треугольник CDB ′ равносторонний. Таким образом, искомый угол                60∘
∠BEA = ∠BDC ′ =-2-= 30∘ .

Ответ:

 30∘

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#30690

В треугольнике равны две медианы. Докажите, что он равнобедренный.

Показать ответ и решение

Пусть в △ABC  равны медианы AM  и CL  . Докажем, что AB = CB  .

Продлим эти медианы на отрезки    ′
MA и   ′
LC , равные AM  и CL  соответственно. Получим два параллелограмма    ′
ABA C  и    ′
AC BC  . Следовательно,  ′         ′
A B = AC = CB  ,  ′        ′
A B ∥ AC ∥C B  , откуда  ′
A , B  и  ′
C лежат на одной прямой, то есть       ′ ′
AC ∥ AC .

PIC

   ′    ′ ′
∠ACC  =∠A C C  как накрест лежащие при      ′ ′
AC ∥A C и секущей    ′
CC . Также   ′                ′
AA = 2AM = 2CL= CC . Проведем через точку C  прямую, параллельную AA ′ и пересекающую прямую A′C′ в точке D  . Тогда △C′CD  — равнобедренный (AA ′ =CD  как противоположные стороны параллелограмма ACDA ′ , значит, CD = AA′ = CC′ ), следовательно, ∠A ′C′C =∠C ′DC  .

∠C′DC = ∠AA ′C ′ как соответственные при CD ∥AA ′ и секущей DC′ . Тогда ∠A′C′C = ∠C′DC = ∠AA′C′ . Следовательно, △AA ′B = △C ′CB  по A′B = C′B  , CC ′ =AA ′ и ∠A ′C′C =∠AA ′C ′ . Значит, равны третьи стороны AB =BC  . Ч.т.д.

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#30717

На сторонах AB  и BC  треугольника ABC  во вне построили квадраты ABKL  и CBNT.  Докажите, что отрезок KN  в два раза больше медианы BM  треугольника ABC.

Показать ответ и решение

Пусть D  — точка, симметричная точке B  относительно M  . Тогда MB = MD  и ABCD  — параллелограм, так как диагонали AC  и BD  точкой пересечения делят друг друга пополам.

PIC

Обозначим ∠ABC  =β  . Из параллельности AB  и DC  следует, что          ∘
∠BCD = 180 − β  .

Выразим ∠NBK  через β  :

∠NBK  =360∘− ∠KBA − ∠ABC − ∠CBN = 360∘− 90∘− β − 90∘ = 180∘ − β

Отсюда получаем ∠NBK  = ∠BCD  и треугольники NBK  и BCD  равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников имеем искомое соотношение KN = BD = 2BM  .

Ответ:

Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#30718

В треугольнике ABC  медиана BM  в четыре раза меньше стороны AB  и образует с ней угол 60∘ . Найдите угол ABC  .

Показать ответ и решение

Пусть D  — точка, симметричная точке B  относительно M  . Тогда MB = MD  и ABCD  — параллелограм (так как диагонали делят друг друга пополам).

Пусть N  — середина AB  .      1
BM  =4AB  ,            1
BD = 2BM = 2AB = BN  . Получаем, что в треугольнике BDN  угол B  равен  ∘
60 и BN = BD  , следовательно, он равносторонний и                    1
ND = NB =BD  =NA = 2AB  .

PIC

Тогда в треугольнике BDA  медиана DN  равна половине стороны AB  , к которой она проведена, следовательно, он прямоугольный с прямым углом D  . AD ∥BC  , следовательно,

∠DBC = ∠BDA  =90∘  ⇒   ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 150∘
Ответ: 150

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#30720

В треугольнике ABC  проведена медиана AF.  Точка D  — середина отрезка AF,  точка E  — пересечение прямой CD  и стороны AB.  Известно, что BD  =BF  = CF.  Докажите, что AE = DE.

Показать доказательство

Первое решение.

Пусть D1  — точка, симметричная точке D  относительно F.  Тогда F D = FD1  и CDBD1  — параллелограмм (так как диагонали четырехугольника BDCD1  делят друг друга пополам).

PIC

В треугольнике FDB  стороны BD  и BF  равны, следовательно, ∠FDB  = ∠BF D.  Кроме того, ∠EDA  =∠CDD1  как вертикальные, ∠CDD1 = ∠BD1D  как накрест лежащие при параллельных прямых CD  и D1B  и секущей DD1.

Треугольники ABF  и D1BD  равны по углу (∠BF A = ∠D1DB )  и прилежащим к нему сторонам (F B = DB,  F A= DD1 ),  следовательно, ∠FAB = ∠BD1D.  Итого, получили следующую цепочку равенств углов

∠EDA  = ∠CDD1  = ∠BD1D  =∠F AB

Тогда в треугольнике AED  углы при вершинах A  и D  равны и AE = DE.

 

Второе решение.

Задачу можно решить без удвоения медианы, если обратить внимание на треугольники △ ADB  и △ CF D.

В этих треугольниках углы ∠ADB  и ∠CF D  равны как дополняющие равные по условию углы ∠F DB  и ∠DF B  до развернутого угла. Кроме того, BD  = CF  и AD = DF  по условию.

Тогда треугольники △ ADB  и △ CF D  равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда лежащие напротив равных сторон углы ∠CDF  и ∠DAB  равны и с привлечением равных вертикальных углов ∠CDF  и ∠ADE  получаем равные углы в треугольнике △ ADE  и требуемое равенство AE  =DE.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31087

На сторонах AB  и AC  равностороннего треугольника ABC  выбраны точки P  и R  соответственно так, что AP = CR  . Точка M  — середина отрезка PR  . Докажите, что BR =2AM  .

Показать ответ и решение

Продлим медиану AM  треугольника AP R  на свою длину. Пусть мы получили точку Q  . Тогда AP QR  — параллелограмм, так как его диагонали AQ  и PR  точкой пересечения делятся пополам.

Тогда AP = QR  и QR ∥AB  . Значит, соответственные углы BAC  и QRC  равны, то есть          ∘
∠QRC = 60 .

Рассмотрим треугольник CQR  . В нем QR = AP = CR  и          ∘
∠QRC  =60 , значит, этот треугольник является равносторонним, то есть          ∘
∠RCQ  =60 . Таким образом, точка Q  лежит на стороне BC  и QC = QR =CR  .

PIC

Рассмотрим треугольники ACQ  и BCR  . Они имеют общий угол ACB  , AC = BC  и QC = CR  , значит, △ACQ  =△BCR  по первому признаку. В равных треугольниках соответственные элементы равны, в частности, BR = AQ = 2AM  .

Ответ: Задача на доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#75435

В равностороннем треугольнике ABC  провели медианы AE  и BD.  На медиане AE  отметили точку G  так, что AG  :GE = 1:2.

а) Докажите, что описанная вокруг треугольника GEB  окружность делит отрезок AB  в отношении 1 :3,  считая от вершины A.

б) Известно, что эта же окружность пересекает BD  в точке I.  Ёe радиусы JI  и JE  пересекают медианы AE  и BD  в точках L  и K.  Найдите отношение IL :KE.

Показать ответ и решение

а)

1. Пусть медианы △ABC  пересекаются в точке F.  По свойству данной точки AF :F E = 2:1.

2. Раз AF :F E = 2:1  и AG :GE  =1 :2,  то G  — это середина отрезка AF.

3. По определению DG  — это средняя линия △AF C,  которая параллельна F C.

4. Проведём высоту CL  в △ABC.  FC  лежит на высоте треугольника CL,  следовательно, FC ⊥ AB  и DG ⊥ AB.

5. Продлим DG  до пересечения с AB  в точке H.

PIC

6. Поскольку DH  ∥CL  и D  — середина боковой стороны AC,  то DH  — это средняя линия △ACL  и AH  = HT.

7. В равностороннем треугольнике высоты и медианы совпадают, стало быть, L  — середина AB,  откуда AH :HB  = 1:3.

8. Теперь нам осталось доказать, что H  — это и есть та самая точка пересечения окружности и отрезка AB  (не считая точки B  ).

9.                   ∘
∠GHB  + ∠GEB  =180 ,  откуда HBEG  — вписанный и H  — действительно точка пересечения окружности с отрезком AB.  Ч.Т.Д. б)

1. Провед̈eм перпендикуляры IN  и EM  на AE  и BD  соответственно.

2. Поскольку △ABC  равносторонний, то AE  и BD  ещё и биссектрисы. Таким образом, ∠FAB = ∠F BA = 602∘= 30∘.

3. По сумме углов △AF B :

∠AF B =180∘− 30∘− 30∘ = 120∘.

4. Вписанный ∠EBI  и центральный ∠EJI  опираются на одну дугу, стало быть ∠EJI = 2⋅∠EBI = 60∘.

5. Поскольку                   ∘
∠LF K + ∠LJK = 180 ,  то LFKJ  —- вписанный и                   ∘
∠F LJ +∠F KJ = 180 .

6. ∠NLI = ∠F LJ  как вертикальные.

∠MKE  = 180∘− ∠FKJ  =∠F LJ,

то есть ∠NLI  =∠MKE.

7. ∠INL = ∠EMK   = 90∘,  поскольку IN  и EM  — перпендикуляры.

8. Из прошлых двух пунктов выводим подобие △INL ∼ △EMK  по двум углам. Раз так, то IL:EK  = IN :EM.

PIC

9. ∠GEB  = 90∘,  следовательно, GB  — диаметр и ∠GIB  = 90∘.

10. ∠GIB = ∠ADB  и G  — середина AF,  стало быть GI  — средняя линия △ADF.

11. Из прошлого пункта следует, что △GIF  ∼ △ADF  с коэффициентом подобия 1 :2.

12. ∠DAF  = ∠EBF,  ∠ADF  = ∠BEF,  AD  =EB.  Эти три тезиса в сумме говорят о равенстве △ADF  = △BEF.

13. Из прошлых двух пунктов следует, что △GIF  ∼ △BEF  с тем же коэффициентом подобия 1:2.

14. IN  и EM  — высоты данных треугольников, следовательно, их длины связаны тем же коэффициентом подобия 1 :2.

15. Из пунктов 14) и 8) следует, что IL:KE  = 1:2.

Ответ:

б) 1 :2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#16803

Про выпуклый пятиугольник ABCDE  известно, что AE  = AD, AC = AB  и ∠DAC  = ∠AEB  + ∠ABE.  Докажите, что сторона CD  в два раза больше медианы AM  треугольника ABE.

Показать ответ и решение

Проблема.

В задаче есть дурацкое условие про то, что сумма каких-то двух углов равна третьему, с которым непонятно, что делать.

Естественная мысль.

Какой еще угол равен сумме двух углов из условия? Внешний угол при вершине A  треугольника ABE  .

Пусть B′ — точка, симметричная точке B  относительно A  . Угол B′AE  — внешний в треугольнике ABE  , тогда ∠B ′AE = ∠ABE  + ∠BEA   = ∠DAC  . Треугольники B ′AE  и DAC  равны по углу при вершине A  и прилежащим к ней сторонам (   ′
AB  = AB  = AC, AE  = AD  ), следовательно, их третьи стороны тоже равны   ′
B E = CD  . Точка A  — середина BB ′ , точка M  — середина BE  , значит, AM  средняя линия треугольника BEB ′ и AM  =  12B ′E = 12CD  .

PIC

Ответ:
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!