Тема 18. Задачи с параметром

18.16 Функции. Четность/нечетность функций

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31579

В зависимости от значений параметра a  найдите наибольшее значение функции

       4     2    2
f (x)= x − 2ax + 3a

на отрезке [−2;1].

Показать ответ и решение

Функция f(x)  является четной, следовательно, можно рассматривать функцию на отрезке [−2;2],  так как f(x)= f(−x)  при всех x ∈ℝ.  Найдем производную:

f′(x)= 4x(x2− a)

Следовательно, число нулей производной зависит от двух случаев ниже.

1.
a≤ 0,  тогда производная имеет единственный нуль x= 0,  следовательно, при x< 0  функция f(x)  убывает, при x > 0  она возрастает. Тогда на отрезке [−2;2]  наибольшее значение функция принимает в точке x = 2:
fнаиб = f(2)= 3a2− 8a+ 16
2.
a> 0,  тогда производная имеет три нуля:      √ -  √-
x = −  a;0; a,  следовательно,
  • при x <− √a  функция убывает;
  • при − √a-< x< 0  она возрастает;
  • при 0< x < √a  она убывает;
  • при x >√a  она возрастает.

Тогда в зависимости от расположения точки √a  относительно точки 2 существует два случая.

2.1.
√a> 2,  тогда fнаиб = f(0)= 3a2.
2.2.
√-
 a≤ 2,  тогда fнаиб  может быть равно как f(0),  так и f(2).  Сравним их:
                 2            2
f(2)> f(0)  ⇔   3a − 8a+ 16> 3a   ⇔   a< 2

При 0 < a< 2  имеем:

fнаиб = f(2)= 3a2− 8a+ 16

При 2 ≤ a≤ 4  имеем:

fнаиб = f(0)= 3a2

Подведем итог.

При a< 2  имеем fнаиб =f (2)= 3a2− 8a+ 16.

При a≥ 2  имеем fнаиб =f(0)= 3a2.

Ответ:

                        2
a ∈[2;+ ∞ )  ⇒   fmax = 3a

a∈ (−∞; 2)  ⇒   fmax = 3a2 − 8a +16

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!