Тема 18. Задачи с параметром

18.16 Функции. Четность/нечетность функций

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31576

Дана функция f(x)= 5x+ 25
         5x  . Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых функция f(x +a)  является четной.

Показать ответ и решение

Функция g(x)= f(x+ a)  является четной, если g(− x)=g(x)  на всей области определения x∈ ℝ  , следовательно, f(x+ a)= f(−x +a)  :

 x+a  -25-                    −x+a  --25-
5   + 5x+a = f(x+ a)= f(−x+ a)= 5   +5−x+a  ⇔
 a  x      −a − x  a  −x      −a  x
5 ⋅5 + 25⋅5  ⋅5  = 5 ⋅5   +25⋅5  ⋅5   ⇔
 x( a     −a)   −x( a     −a)
5  5 − 25⋅5  − 5   5 − 25⋅5   = 0  ⇔
 (5x− 5−x)(5a − 25⋅5−a)= 0 ⇔

 ⌊ 2x
 |⌈5  − 1 =0  ⇔
  52a− 25= 0
 ⌊
 ⌈x= 0
  a= 1

Следовательно, при ∀x∈ ℝ  равенство f(x+ a)= f(−x +a)  выполняется, если a= 1.

Ответ:

 a ∈{1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31577

Найдите наименьшее положительное значение параметра a  , при котором график функции f(x)= 3ax3− 2sin 8πa−x
                5  симметричен относительно начала координат.

Показать ответ и решение

Функция y =f(x)  определена при всех x∈ ℝ  . Ее график симметричен относительно начала координат, если она является нечетной, следовательно, f(x)= −f(−x)  на всей области определения.

  3     8πa − x   (     3      8πa − (−x))
3ax − 2sin---5-- =−  3a(− x)− 2sin ---5-----  ⇔

3ax3− 2sin8πa-− x =3ax3+ 2sin8πa+-x ⇔
           5                5
sin8πa+-x+ sin 8πa-− x-= 0 ⇔
     5         5
  8πa+ x+ 8πa− x   8πa+ x− 8πa+ x
sin------10------⋅cos------10------= 0  ⇔
⌊
|sin 8πa-= 0
|⌈   x5
 cos5 = 0

Данная совокупность имеет решения при всех x ∈ℝ  , если sin8π5a= 0  , то есть при a∈{58n}, n ∈ℤ  . Наименьшее положительное a = 58.

Ответ:

 a ∈{5}
    8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31579

В зависимости от значений параметра a  найдите наибольшее значение функции

       4     2    2
f (x)= x − 2ax + 3a

на отрезке [−2;1].

Показать ответ и решение

Функция f(x)  является четной, следовательно, можно рассматривать функцию на отрезке [−2;2],  так как f(x)= f(−x)  при всех x ∈ℝ.  Найдем производную:

f′(x)= 4x(x2− a)

Следовательно, число нулей производной зависит от двух случаев ниже.

1.
a≤ 0,  тогда производная имеет единственный нуль x= 0,  следовательно, при x< 0  функция f(x)  убывает, при x > 0  она возрастает. Тогда на отрезке [−2;2]  наибольшее значение функция принимает в точке x = 2:
fнаиб = f(2)= 3a2− 8a+ 16
2.
a> 0,  тогда производная имеет три нуля:      √ -  √-
x = −  a;0; a,  следовательно,
  • при x <− √a  функция убывает;
  • при − √a-< x< 0  она возрастает;
  • при 0< x < √a  она убывает;
  • при x >√a  она возрастает.

Тогда в зависимости от расположения точки √a  относительно точки 2 существует два случая.

2.1.
√a> 2,  тогда fнаиб = f(0)= 3a2.
2.2.
√-
 a≤ 2,  тогда fнаиб  может быть равно как f(0),  так и f(2).  Сравним их:
                 2            2
f(2)> f(0)  ⇔   3a − 8a+ 16> 3a   ⇔   a< 2

При 0 < a< 2  имеем:

fнаиб = f(2)= 3a2− 8a+ 16

При 2 ≤ a≤ 4  имеем:

fнаиб = f(0)= 3a2

Подведем итог.

При a< 2  имеем fнаиб =f (2)= 3a2− 8a+ 16.

При a≥ 2  имеем fнаиб =f(0)= 3a2.

Ответ:

                        2
a ∈[2;+ ∞ )  ⇒   fmax = 3a

a∈ (−∞; 2)  ⇒   fmax = 3a2 − 8a +16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1045

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

             √ --
f(x) = |a + 2 | 3x
имеет 4 решения, где f  – четная периодическая с периодом T =  16-
     3  функция, определенная на всей числовой прямой, причем f (x) = ax2   при 0 ≤ x ≤  8.
         3

 

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Так как f (x )  – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при    8-
−  3 ≤ x ≤ 0            2
f(x) = ax   . Таким образом, при    8-       8-
−  3 ≤ x ≤  3  , а это отрезок длиной 16-
 3  , функция f (x ) = ax2   .

 

1) Пусть a > 0  . Тогда график функции f (x)  будет выглядеть следующим образом:
PIC
Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график                √ --
g(x) = |a + 2| ⋅ 3x  проходил через точку A  :
PIC
Следовательно,

                                                    ⌊     18
                          [                          a =  ---
64-            3√ --        9(a + 2) = 32a           ||     23
 9 a = |a + 2 | ⋅ 8   ⇔     9(a + 2) = − 32a   ⇔     ⌈
                                                     a = − 18-
                                                           41
Так как a > 0  , то подходит     18
a = ---
    23  .

 

2) Пусть a < 0  . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
PIC
Нужно, чтобы график g(x)  прошел через точку B  :

                            ⌊     18
                             a =  ---
64-            3√ ---        ||     23
 9 a = |a + 2| ⋅  − 8   ⇔    ⌈
                             a = − 18-
                                   41
Так как a < 0  , то подходит       18
a = − ---
      41  .

 

3) Случай, когда a = 0  , не подходит, так как тогда f (x ) = 0  при всех x  , g (x ) = 2 3√x-  и уравнение будет иметь только 1 корень.

Ответ:

    {         }
a ∈   − 18; 18-
        41  23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1238

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых график функции

f(x) = 3tg ax-+ 2 sin 8πa-−-3x-
           5             4

симметричен относительно начала координат.

Показать ответ и решение

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено f (− x ) = − f (x )  для любого x  из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено f(− x) = − f(x).

 

        (     )                      (    (    )                 )                                      (    (   )                 )
    3tg  − ax-  + 2 sin 8πa-+-3x- = −   3tg  ax- +  2sin 8πa-−-3x-    ⇒    − 3tg ax-+ 2sin 8πa-+-3x-=  −   3tg  ax- +  2sin 8-πa-−-3x    ⇒
            5              4                 5             4                    5             4                5              4

                                                   (                      )        (                      )
⇒    sin 8πa-+--3x + sin 8πa-−--3x = 0   ⇒    2 sin 1-  8πa-+-3x- + 8πa-−-3x-  ⋅ cos 1  8πa-+-3x-−  8πa-−-3x-  = 0   ⇒     sin(2πa ) ⋅ cos 3x = 0
            4              4                     2       4           4           2      4            4                               4

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех x  из области определения f(x)  , следовательно,                     n
sin(2πa ) = 0 ⇒ a =  -,n ∈  ℤ
                    2  .

Ответ:

 n
--,n ∈ ℤ
 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#56939

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых неравенство

                  ( 2              )
1|a− 2|⋅|x+ a− 4|+  a-−-4a+-3− |a− 2| ⋅|x − 2|+ 1|a− 2|⋅|x− a|≤ 1
2                    |a − 2|                  2

выполняется ровно для двух различных значений x  .

Показать ответ и решение

Пусть x− 2= y,  а a− 2= b,  b⁄= 0.  Тогда неравенство примет вид

1|b|⋅(|y− b|+|y+ b|)− |y|≤ 1.
2                  |b|

Умножим обе части равенства на |b|> 0.  Получим

1
2|b|2⋅(|y− b|+|y+ b|)− |b|≤ ◟|◝y|◜◞.
◟--------=◝f◜(y)--------◞  =g(y)

Рассмотрим две функции z =f (y)  и z =g(y).  Обе функции являются четными. Следовательно, если у неравенства есть решение y = y0 ≥ 0,  то у него есть и решение y =− y0.  Следовательно, можно рассмотреть неравенство при y ≥ 0  и потребовать единственного решения y = y0 > 0  у этого неравенства:

1 |b|2⋅(|y− b|+ |y + b|)− |b|≤ y.
2

Изобразим графики левой и правой частей в системе координат yOz.

yzzz|A|bb==|3|−fg(y(y|))b|

Неравенство будет иметь единственное решение на y > 0,  если график функции z = g(y)  проходит через точку A(|b|;|b|3− |b|).  Следовательно, если

                ⌊
 3                |b|= 0            √-
|b| − |b|=|b| ⇔  ⌈   2     ⇒   b= ±  2  (так как b⁄= 0)
                  |b| = 2

Следовательно,             √ -
a= b+ 2 =2 ±  2.

Ответ:

a ∈{2± √2-}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31578

Найдите все положительные значения a  , при каждом из которых множество решений неравенства

    -----a+-x2+-2log5(a2−-4a+5)------
1 ≤ 30√17x4+-5x2+a +1+ log25(a2 − 4a+ 5)

состоит из одной точки, найдите это решение.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

------a+-x2-+2log5(a2− 4a+-5)----
30√17x4+-5x2+ a+ 1+ log25(a2− 4a+ 5) − 1≥ 0

Рассмотрим левую часть как функцию f(x).  Она определена при всех x ∈ℝ  , так как знаменатель представляет собой сумму двух выражений   √--------
30 17x4+5x2 ≥ 0  и a+ 1+ log25(a2− 4a+5)> 0  при a> 0.  Заметим, что f(x)  является четной, так как переменная  x  входит в нее только в четной степени. Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси ординат. То есть если есть некоторый x0 ≥0  , являющийся решением неравенства (тогда точка на графика с такой абсциссой находится выше оси абсцисс), то есть и − x0 ≤ 0  , являющийся решением неравенства. Следовательно, для того, чтобы решением неравенства была единственная точка, этой точкой должна быть x0 = 0  :

-a+-2log5(a2-− 4a+-5) − 1 ≥0 ⇔
a +1+ log25(a2− 4a+ 5)
             2     (       2      2   )     (                          )
a-+2log5((a-− 2)-+1)−2-a+1-+2log5((a-− 2)-+1)-≥ 0|⋅a +1+ log25((a− 2)2 +1)> 0 ∀a> 0 ⇔
          a +1+ log5((a− 2) +1)
log2((a − 2)2+ 1)− 2log ((a− 2)2 +1)+ 1≤ 0 ⇔
  5               5
(log5((a− 2)2+1)− 1)2 ≤ 0 ⇔

log5((a − 2)2+ 1)= 1 ⇔

a= 0;4

Тогда положительное a =4.

Ответ:

 a ∈{4} ⇒  x ∈{0}

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!