18.16 Функции. Четность/нечетность функций
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана функция . Найдите все значения параметра
, при каждом из которых функция
является
четной.
Функция является четной, если
на всей области определения
, следовательно,
:
Следовательно, при равенство
выполняется, если
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее положительное значение параметра , при котором график функции
симметричен
относительно начала координат.
Функция определена при всех
. Ее график симметричен относительно начала координат, если она является нечетной,
следовательно,
на всей области определения.
Данная совокупность имеет решения при всех , если
, то есть при
. Наименьшее положительное
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В зависимости от значений параметра найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Функция является четной, следовательно, можно рассматривать функцию на отрезке
так как
при
всех
Найдем производную:
Следовательно, число нулей производной зависит от двух случаев ниже.
- 1.
тогда производная имеет единственный нуль
следовательно, при
функция
убывает, при
она возрастает. Тогда на отрезке
наибольшее значение функция принимает в точке
- 2.
тогда производная имеет три нуля:
следовательно,
- при
функция убывает;
- при
она возрастает;
- при
она убывает;
- при
она возрастает.
Тогда в зависимости от расположения точки
относительно точки 2 существует два случая.
- 2.1.
тогда
- 2.2.
тогда
может быть равно как
так и
Сравним их:
При
имеем:
При
имеем:
- при
Подведем итог.
При имеем
При имеем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
(Задача от подписчиков)
Так как – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно,
при
. Таким образом, при
, а это отрезок длиной
, функция
.
1) Пусть . Тогда график функции
будет выглядеть следующим образом:
Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график проходил
через точку
:
Следовательно,
2) Пусть . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Нужно, чтобы график прошел через точку
:
3) Случай, когда , не подходит, так как тогда
при всех
,
и уравнение
будет иметь только 1 корень.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых график функции
симметричен относительно начала координат.
Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является
нечетной, то есть выполнено для любого
из области определения функции. Таким
образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено
Последнее уравнение должно быть выполнено для всех из области определения
,
следовательно,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство
выполняется ровно для двух различных значений .
Пусть а
Тогда неравенство примет вид
Умножим обе части равенства на Получим
Рассмотрим две функции и
Обе функции являются
четными. Следовательно, если у неравенства есть решение
то у него есть и решение
Следовательно, можно рассмотреть
неравенство при
и потребовать единственного решения
у этого
неравенства:
Изобразим графики левой и правой частей в системе координат
Неравенство будет иметь единственное решение на если график
функции
проходит через точку
Следовательно,
если
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все положительные значения , при каждом из которых множество решений неравенства
состоит из одной точки, найдите это решение.
Перепишем неравенство в виде
Рассмотрим левую часть как функцию Она определена при всех
, так как знаменатель представляет собой сумму двух
выражений
и
при
Заметим, что
является четной, так как переменная
входит в нее только в четной степени. Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси ординат. То есть если есть
некоторый
, являющийся решением неравенства (тогда точка на графика с такой абсциссой находится выше оси абсцисс), то есть и
, являющийся решением неравенства. Следовательно, для того, чтобы решением неравенства была единственная точка, этой
точкой должна быть
:
Тогда положительное