Тема 18. Задачи с параметром

18.08 Алгебра. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38361

Найдите a  , при которых уравнение

a⋅41x−1+ (a− 1)⋅2 1x − a3+ 3a− 2= 0

не имеет корней.

Показать ответ и решение

Выражение y = 1− 1
    x  определено при всех x⁄= 0  и принимает все значения, кроме − 1  . Если сделать замену  1x−1
2    = t  , то имеем t∈ (0;0,5)∪ (0,5;+∞ )  , причем каждое такое значение t  дает ровно одно значение для x  . Получим следующее уравнение:

at2+ 2(a− 1)t − (a3− 3a+ 2)= 0

Оно линейное при a =0  и квадратное при a⁄= 0  . Чтобы исходное уравнение не имело решений, нужно, чтобы новое уравнение: 1) не имело решений; 2) имело решения и все они были из промежутка (−∞; 0]∪{0,5} .

Если a = 0  , получим: t= −1  . Подходит.

Если a ⁄= 0  . Найдем, при каких a  у уравнения есть корень t= 0,5  :

a + a− 1− (a3− 3a +2)= 0 ⇔   4a3− 17a+ 12= 0
4

Найдем, при каких a  у уравнения есть корень 0  :

 3                      2
a − 3a+ 2= 0  ⇔   (a− 1)(a+ 2)= 0  ⇔   a =− 2;1

Подбором находим рациональный корень     3
a = 2  . С помощью деления в столбик левой части на 2a− 3  находим разложение:

                              3   3± √41
(2a− 3)(2a2+ 3a− 4)= 0  ⇔   a= 2;− --4----

Выпишем дискриминант:

D = 4(a − 1)2(a+ 1)2 ≥0

При a= ±1  дискриминант D = 0  , следовательно, имеется один корень t0 = 1−a
     a  , который не равен 0,5  . Следовательно, он должен быть ≤ 0  . При a = 1  он равен нулю, а при a= − 1  равен − 2  . Подходит a =±1  .

При a⁄= ±1  дискриминант положительный. Будем рассматривать уравнение в виде

 2  2(1− a)t   a3− 3a + 2
t − ---a--- − ----a----= 0

При a= −2  один корень t1 =0  , а другой t2 = −3  . Все хорошо.

При a⁄= −2;±1  у уравнения два корня, не равные нулю. Если один из них t1 = 0,5  , то другой должен быть отрицательный, значит, и произведение отрицательное:

 a3-− 3a-+2
−    a     < 0  ⇔   a∈ (−∞; −2)∪(0;1)∪(1;+∞ )

Все     3  3 ±√41-
a = 2;−---4---  этому удовлетворяют.

При всех оставшихся a  у уравнения два корня, не равные ни 0,5  , ни 0  . Значит, оба должны быть отрицательными, то есть их произведение должно быть положительным, а сумма – отрицательной:

(
||{ 2(1-− a)-< 0        ({
    a             ⇔    a∈ (−∞;0)∪ (1;+ ∞)   ⇔  a∈ (−2;0)
||(− a3−-3a+-2 >0      ( a∈ (−2;0)
       a
Ответ:

− 2 ≤ a≤ 0;a= 1; 3; −3±-√41
               2   4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!