18.08 Алгебра. Исследование замены
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет решение.
Данное уравнение с помощью замены сводится к квадратному:
Заметим, что так как то
Найдем значения
при которых уравнение
не имеет решений либо имеет
решения, но все они
Тогда все остальные значения
пойдут в ответ.
Для этого нужно, чтобы парабола ветви которой при любом
направлены вверх, имела один из
следующих видов:
Рис. 1: уравнение не имеет корней;
Рис. 2: уравнение имеет один корень
который находится не правее 0;
Рис. 3: уравнение имеет два корня, причем оба корня находятся не правее 0.
Все эти случаи записываются следующим образом:
Здесь — абсцисса вершины параболы.
Решив данную совокупность, получим
Следовательно, исходное уравнение имеет решение при
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Необоснованные переходы по ходу исследования | 3 |
Верно наложены все условия, но либо
полученные системы не решены, либо
решены с ошибкой и найдены неверные
значения | 2 |
Уравнение сведено к квадратному
относительно
новой переменной, например, | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Сделаем замену Так как
то
Следовательно, нужно найти те
при которых уравнение будет
иметь хотя бы одно решение
из отрезка
Приведя подобные слагаемые, можем переписать уравнение в
виде
Рассмотрим несколько случаев в зависимости от значений параметра
1) Тогда уравнение примет вид
Решением данного уравнения являются все
Следовательно, этот случай нам
подходит.
2) Тогда уравнение примет вид
Такое уравнение не имеет решений. Следовательно, этот случай нам не
подходит.
3) Тогда имеем:
Нам нужно, чтобы Следовательно,
В данном множестве не содержатся точки
Объединяя случаи, получаем окончательно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра уравнение
имеет четыре различных корня?
Сделав замену получим уравнение, почти всегда квадратное, кроме случая
при котором оно вырождается в
линейное:
Исследуем замену, то есть для каждого фиксированного определим, какое количество решений относительно переменной
мы получим, делая обратную замену:
- при
имеем два корня
- при
имеем один корень
- при
не имеем корней
Так как уравнение может иметь максимум два корня
то наибольшее количество корней исходного уравнения —
четыре, что и требуется.
Следовательно, единственный подходящий вариант: уравнение является квадратным и имеет два корня, причем
положительных.
Это обеспечивается следующими условиями, которые нужно записать в системе:
так как уравнение
— квадратное;
так как уравнение имеет два корня
так как для двух положительных корней произведение положительно;
так как для двух положительных корней сумма положительна.
Решая эти неравенства и пересекая их решения, получаем
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Не рассмотрен случай | 3 |
Верно наложены все условия
для существования двух положительных
значений | 2 |
Верно рассмотрен случай | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях уравнение
имеет как минимум два решения?
Сделаем замену
Тогда
и исходное уравнение
эквивалентно следующей системе:
При этом зная, что решение системы можно найти корни исходного
уравнения, сделав обратную замену:
(1) |
Такие корни будут различными, а значит исходное уравнение будет иметь как минимум два различных корня.
Найдем значения при которых уравнение
имеет хотя бы
один положительный корень.
При уравнение примет вид
Тогда исходное уравнение будет иметь корни по формуле (1), то есть
корней как минимум два, что нам подходит.
При уравнение будет квадратным.
Квадратное уравнение имеет два (не обязательно различных) корня при
Обозначим их за
и
. По теореме Виета произведение корней
равно
то есть оба корня одного знака. При этом также по
теореме Виета сумма корней равна
откуда следует, что оба корня
положительны.
Таким образом, уравнение имеет хотя бы один положительный корень при
любых для которых
Найдем значения
при которых верно данное
неравенство:
Получили, что исходное уравнение имеет хотя бы два корня при одном из следующих условий:
Таким образом,
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Не рассмотрен случай | 3 |
Верно наложены все условия при | 2 |
Сделана замена, верно введены
ограничения на замену, рассмотрен случай
| 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Заметим, что уравнение всегда имеет как минимум один корень
Заметим, что корни уравнения должны удовлетворять условию
Решим уравнение Если сделать замену
причем
то уравнение примет вид
По теореме Виета корнями (необязательно различными) будут
и
То есть и
Заметим, что если, например,
то уравнение
не имеет решений. В противном случае
оно будет иметь решение
Число будет являться решением уравнений
или
если
или
соотвественно.
Таким образом, исходное уравнение
будет иметь два различных корня в следующих двух случаях.
1) Тогда либо один из корней
или
должен оказаться
давая противоречие с условием
либо
один из корней
или
должен оказаться
поскольку при
он не будет удовлетворять условию
а
при
будет совпадать с уже имеющимся корнем
При этом другой корень должен оказаться
и
Это условие задается совокупностью:
Решением совокупности будут
2) ,
и
Следовательно,
Объединяя случаи, получаем окончательно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет решение.
Данное уравнение с помощью замены сводится к квадратному:
Далее заметим, что
Найдем значения при которых уравнение
не имеет решений
либо имеет решения
Тогда все остальные значения
пойдут в
ответ.
Рассмотрим функцию
Для выполнения условий выше ее график — парабола с ветвями вверх — должна выглядеть, как на одной из картинок:
Рис. 1: уравнение не имеет корней;
Рис. 2: уравнение имеет один корень
который находится либо
левее 0, либо правее 1;
Рис. 3: уравнение имеет два корня, причем либо оба корня находятся
левее 0, либо оба корня находятся правее 1, либо один корень левее 0, а другой
корень правее 1.
Все эти случаи записываются в совокупность
Здесь — абсцисса вершины параболы, дискриминант
Решив данную совокупность, получим
Следовательно, исходное уравнение имеет решение при
Замечание.
По теореме Виета корнями квадратного уравнения
являются и
Тогда с учетом ограничения исходное уравнение имеет решение, если
Отсюда получаем тот же ответ
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Необоснованы переходы по ходу исследования | 3 |
Верно наложены все условия для существования решений уравнения, но либо есть ошибка, либо решение не завершено | 2 |
Верно введена и исследована замена, рассмотрена квадратичная функция | 1 |
ИЛИ | |
Верно найдены корни квадратного уравнения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет на промежутке единственный корень.
Так как то уравнение равносильно
Сделаем замену Тогда если нам было нужно, чтобы уравнение имело один корень
на промежутке
то
новое уравнение должно иметь один корень
на промежутке
После замены имеем:
Заметим, что корень не удовлетворяет условию, то есть не лежит в промежутке
Следовательно, для того, чтобы
уравнение имело один корень на
нужно выполнение одного из случаев:
1) корень подходит и корень
не подходит или совпадает с
2) корень подходит и корень
не подходит.
Рассмотрим эти случаи.
1) Чтобы подходил он должен удовлетворять неравенству
Чтобы не подходил
он должен либо не принадлежать
либо совпадать с
либо не удовлетворять неравенству
Таким образом, получаем систему
2) Чтобы подходил он должен принадлежать
и удовлетворять неравенству
Чтобы не подходил
он должен
не удовлетворять неравенству
и не совпадать с
Таким образом, получаем систему
Объединяя случаи, получаем окончательно
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Не рассмотрен случай совпадения корней,
из-за чего ответ может отличаться от
верного невключением | 3 |
Найдены все корни полученных уравнений и верно составлены неравенства для выполнения условия задания, но либо решение не завершено, либо решение содержит ошибку | 2 |
Выполнен верный переход к совокупности
двух уравнений с учетом ограничения
на правую часть данного уравнения
и с помощью верных преобразований
получены
два квадратных уравнения относительно
новой переменной, например, | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет
а) единственное решение;
б) ровно два различных решения.
Сделаем замену
Тогда уравнение равносильно
При имеем два корня
при
имеем один корень
при
корней нет.
а) Чтобы у исходного уравнения было одно решение, нужно, чтобы и корень был равен -1 или
и один корень
равен -1, а второй меньше -1.
б) Чтобы у исходного уравнения было ровно два решения, нужно, чтобы и корень был больше -1 или
и один
корень больше -1, а второй меньше -1.
Вычислим дискриминант и найдем его нули:
Если то единственный корень
При
имеем
при
имеем
Тогда для
пункта а) не подходит ни одно из найденных значений параметра, для пункта б) подходит
Если то имеем:
Для пункта а) число -1 должно находиться в месте, то есть
Отсюда получаем
Для пункта б) число -1 должно находиться в месте, то есть
Отсюда получаем
Заметим, что для параболы с ветвями вверх условие на дискриминант необязательно, когда есть хотя бы одна точка, в которой значение функции отрицательно.
Объединяя все значения параметра, получаем
а)
б)
Расшифровка:
— левее левого корня,
— в левом корне,
— между корнями,
— в правом корне,
— правее правого корня.
a)
b)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все при которых уравнение
имеет более одного решения на отрезке
Сделаем замену
Тогда уравнение примет вид
Пусть — решение этого уравнения. Тогда после обратной замены получим
уравнение
Заметим, что Следовательно, если
то
уравнение имеет 2 решения на указанном в условии отрезке. Если
или
— то одно решение на указанном в условии отрезке. При остальных
решений не будет.
Уравнение при
линейное, при остальных
— квадратное.
Рассмотрим эти два варианта по отдельности.
1) Тогда уравнение примет вид
Решениями такого уравнения
являются все
То есть мы получаем бесконечно много значений для
следовательно, бесконечно много значений для
Такое значение параметра нам
подходит.
2) Заметим, что уравнение можно переписать в виде
Так как то можно разделить обе части равенства на
Дискриминант этого уравнения для любого
Следовательно, уравнение
имеет два различных корня
и
Вспомним еще раз, что для отрезка
каждому соответствует два значения
каждому соответствует одно значение
каждому не соответствует ни одно значение
Чтобы исходное уравнение имело два и больше решений на отрезке
необходимо выполнение одного из случаев:
а
— любое число;
или
или
Рассмотрим функцию
Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось абсцисс в двух точках.
Случай 1.
а
— любое число.
Тогда подходящие нам картинки выглядят так:
Рис. 1
Рис. 1: когда — это левая точка пересечения параболы с осью абсцисс. Тогда
число -1 должно находиться левее левого корня, а -0,5 — либо находиться
между корнями, возможно совпадая с ними, либо находиться правее правого
корня.
Рис. 2
Рис. 2: когда — это правая точка пересечения параболы с осью абсцисс.
Тогда -1 должно находиться либо левее левого корня, либо между корнями,
возможно, совпадая с ними, а -0,5 — совпадать с правым корнем или быть правее
него.
Опишем в виде равенств/неравенств эти рисунки.
Рис. 1:
Рис.2:
Получаем для обоих рисунков:
Далее имеем:
Тогда для обоих рисунков получаем следующие значения параметра:
Случай 2.
или
или
Тогда подходящие
нам картинки выглядят так:
Рис. 3
Рис. 3: -0,5 находится левее левого корня, 1 совпадает с правым корнем или находится правее него:
Рис. 4
Рис. 4: -1 совпадает с левым корнем, -0,5 находится между корнями, 1 совпадает с правым корнем или находится правее него:
Тогда исходное уравнение имеет более одного решения на указанном отрезке при
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснование
(некоторые переходы не расписаны) или
не рассмотрен случай | 3 |
Верно наложены все условия для того, чтобы выполнялось условие задания | 2 |
Рассмотрен случай | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все при которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Сделаем замену Исследуем ее. Представим, что мы решаем это уравнение относительно
Тогда
имеем:
При получаем
Отсюда имеем:
Оба варианта нам не подходят.
При получаем
Отсюда имеем:
Запишем уравнение относительно переменной
Оно должно иметь два решения, не равных нулю. Следовательно,
Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Воспользуемся формулой разности логарифмов и приведем уравнение к виду
причем мы имеем ограничение и
, что можно записать в виде одного неравенства
.
Сделаем замену и исследуем новую переменную. Для этого введем еще одну промежуточную неизвестную
Тогда имеем следующее:
Так как функция – обратная пропорциональность (за исключением случая
, который мы сейчас рассмотрим отдельно),
то есть
– строго монотонная, то каждому значению
соответствует не более одного
. Функция
также является строго
монотонной, поэтому каждому
будет соответствовать не более одного
. Причем можно дополнить: различным
соответствуют
различные
, а различным
– различные
.
Рассмотрим случаи ,
и
:
, тогда
, график
представляет собой убывающую гиперболу, расположенную в 1 и 3 четвертях (относительно своих асимптот), а асимптотами у нее являются
и
. Следовательно, значениям
соответствуют
, а им в свою очередь соответствуют
.
, тогда
, график
представляет собой возрастающую гиперболу, расположенную в 2 и 4 четвертях (относительно своих асимптот), а асимптотами у нее являются
и
. Следовательно, значениям
соответствуют
, а им в свою очередь соответствуют
.
, тогда
,
при
. Значению
соответствует
.
Новое уравнение с является квадратным, то есть может иметь от нуля до двух корней:
Мы ищем те , при которых исходное уравнение имеет два решения, значит, если это
, то при нем уравнение
должно
иметь два положительных корня. Если это
, то при нем должно быть два отрицательных корня. А если
, то
точно
должно являться решением (есть другие решения или нет и какие они – нам неважно).
Заметим, что можно преобразовать:
Найденные корни совпадают при и равны
. Поэтому это значение параметра нужно исключить. При
нам
подходят
, получаемые из
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения , при которых неравенство
справедливо для каждого допустимого ?
Сделаем замену . Исследуем ее. Так как
, то
. Тогда
, а
.
При имеем два корня
, при
имеем один корень
. При остальных
не имеем корней
.
Чтобы неравенство было справедливо для любого допустимого , нужно, чтобы решение неравенства с
содержало в себе множество . Преобразуем неравенство, учитывая, что
Заметим, что .
Дискриминант: .
Рассмотрим параболу и варианты ответа для неравенства
:
Имеет смысл рассматривать только первую верхнюю, а также все три нижние.
1) . Тогда нужно, чтобы числа 1 и 2 лежали в
месте, следовательно,
Заметим, что для параболы с ветвями вверх условие на дискриминант необязательно, когда есть хотя бы одна точка, в которой
значение функции отрицательно.
2) Левая нижняя картинка.
3) Средняя нижняя картинка. и
, следовательно,
. Уже невозможно.
4) Правая нижняя картинка. (при
) и
. Либо
находится в
месте (что невозможно, так как
),
либо
находится в
месте. Это задается следующими условиями
Объединим все полученные значения: .
Расшифровка: – до левого корня,
– в левом корне,
– между корнями,
– в правом корне,
– правее правого корня.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все , при которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Сделаем замену . Тогда уравнение примет вид
Исследуем, при каких значениях переменной какое число решений для переменной
мы получаем. Для этого решим
уравнение:
При , откуда
, получаем уравнение
, которое не имеет решений. При
имеем единственный
корень
Следовательно, исходное уравнение будет иметь два решения, когда уравнение с заменой имеет два корня , то есть при
, каждый из которых удовлетворяет условию
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите , при которых уравнение
имеет решения.
Заметим, что по ОДЗ . При всех остальных
аргумент логарифмов равен
Так как – сумма двух взаимно обратных чисел, которая по модулю
, то
В виду того, что это выражение не может быть отрицательным, так как находится в аргументе логарифма, заключаем, что
Сделаем замену , следовательно,
. Уравнение приобретает вид
. Чтобы уравнение имело решения (только тогда могут быть решения относительно
),
нужно, чтобы
, откуда
.
1) Рассмотрим случай отдельно. Тогда единственный корень уравнения равен
Данный корень дает корень
. Следовательно, это
нам подходит.
2) Пусть . Тогда у уравнения два корня и нужно, чтобы хотя бы один из них находился в промежутке
. Пойдем от
противного. Пусть ни один из корней не лежит в этом промежутке, то есть оба больше нуля. Тогда нам подходит такая парабола
:
Это положение числа 0 задается следующими условиями
Следовательно, противоположные соответствуют тому, когда хотя бы один корень из промежутка
, то есть это
. Пересечем с дискриминантом и получим
. Также ранее нам подошло
. Следовательно, ответ:
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите при которых уравнение
не имеет корней.
Выражение
Сделаем замену , тогда уравнение примет вид (и сразу введем функцию)
Заметим, что , следовательно, исходное уравнение не будет иметь решений, если новое уравнение не будет иметь
решений либо будет иметь решения, но не из этого отрезка.
1) , тогда уравнение линейное и приобретает вид
. Такое уравнение не имеет решений, следовательно, данное
нам подходит.
2) Пусть . Тогда
. Рассмотрим случаи:
2.1) , откуда
. Подходит.
2.2) , тогда
Данное дает решения
, следовательно,
не подходит.
2.3) . Тогда уравнение имеет два корня и нужно, чтобы они не принадлежали промежутку
. Засчет того, что
вершина параболы
, то может быть единственный вариант: один корень
, второй
(отпадает случай, когда
оба
, и случай, когда оба
). Рассмотрим параболу:
Положение точек задается следующей системой:
Пересечем это с условием дискриминанта и получим .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите , при которых уравнение
не имеет корней.
Выражение определено при всех
и принимает все значения,
кроме
. Если сделать замену
, то имеем
,
причем каждое такое значение
дает ровно одно значение для
. Получим
следующее уравнение:
Оно линейное при и квадратное при
. Чтобы исходное уравнение
не имело решений, нужно, чтобы новое уравнение: 1) не имело решений; 2) имело
решения и все они были из промежутка
.
Если , получим:
. Подходит.
Если . Найдем, при каких
у уравнения есть корень
:
Найдем, при каких у уравнения есть корень
:
Подбором находим рациональный корень . С помощью деления в столбик
левой части на
находим разложение:
Выпишем дискриминант:
При дискриминант
, следовательно, имеется один корень
, который не равен
. Следовательно, он должен быть
. При
он равен нулю, а при
равен
. Подходит
.
При дискриминант положительный. Будем рассматривать уравнение в
виде
При один корень
, а другой
. Все хорошо.
При у уравнения два корня, не равные нулю. Если один из них
, то другой должен быть отрицательный, значит, и произведение
отрицательное:
Все этому удовлетворяют.
При всех оставшихся у уравнения два корня, не равные ни
, ни
.
Значит, оба должны быть отрицательными, то есть их произведение должно быть
положительным, а сумма – отрицательной:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все , при которых уравнения
имеет ровно два различных корня.
Сделаем замену . Тогда уравнение примет
вид
Так как , то
. Следовательно, правая часть
равенства
. Левая же часть равенства как полный квадрат
.
Следовательно, равенство возможно только в том случае, когда обе части
равенства равны
:
Уравнение имеет 0, 1 или 2 решения. Уравнение
также имеет
0, 1 или 2 решения. Следовательно, уравнение
может иметь от 0 до 4
решений.
2 решения оно имеет, если
-
квадратное уравнение имеет два решения, а из получаемых двух модульных уравнений одно имеет два решения, а другое – не имеет решений.
Это выполняется, если
, откуда
и
,
. Получаем
.
-
квадратное уравнение имеет одно решение, а получаемое модульное уравнение имеет два решения.
Это выполняется, если
, откуда
, откуда
. Следовательно,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите , при которых неравенство
имеет более одного решения.
Выделим полный квадрат:
Так как , то неравенство при
равносильно
Рассмотрим функцию . Графиком является парабола,
сдвинутая на
единицы вниз и на
единиц по горизонтали. Так как
, то исходное неравенство будет иметь решения тогда и только тогда,
когда у неравенства
есть хотя бы два решения
. Следовательно, график
должен выглядеть следующим образом:
То есть точка должна находиться левее большего корня.
Первое неравенство совокупности задает положение точки между
корнями. Система задает положение этой точки левее меньшего корня либо
совпадение с ним. Дорешаем совокупность:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Сделаем замену и исследуем ее. Если взять за
то
и
Графиком функции является часть гиперболы при
. Чтобы
построить эту гиперболу, нужно гиперболу
сдвинуть на 1 влево и на 1
вверх. Тогда при
получим часть ветви:
То есть Следовательно, исходное уравнение будет иметь хотя бы
одно решение, если уравнение
имеет хотя бы один корень из промежутка
Заметим, что это уравнение может вырождаться в линейное. Поэтому рассмотрим следующие случаи:
- 1)
Тогда уравнение примет вид
Следовательно, этот случай нам не подходит.
- 2)
Тогда уравнение квадратное и имеет решения, если его дискриминант неотрицателен:
- 2.1)
откуда
Тогда единственным корнем уравнения является абсцисса
вершины параболы, следовательно,
Из чисел
в этом промежутке лежит лишь число
То есть это значение параметра пойдет в ответ.
- 2.2)
откуда
Тогда, учитывая, что ветви параболы не зафиксированы и случай
мы рассмотрим отдельно, а также то, что при этих значениях параметра
(то есть оба корня не могут лежать в промежутке
), нам подходят следующие 4 случая:
то есть
Отсюда, так как произведение корней равно
получаем, что второй корень равен
Таким образом, этот случай нам не подходит, так как нет ни одного корня из промежутка
Пусть
Рассмотрим каждый рисунок в отдельности:
- 1:
- Ветви параболы направлены вверх, число 1 находится между
корнями, число 0 находится левее меньшего корня либо
совпадает с ним.
Эта ситуация задается следующей системой:
- 2:
- Ветви параболы направлены вниз, число 1 находится между
корнями, число 0 находится левее меньшего корня либо
совпадает с ним.
Эти две системы можно объединить в следующую:
- 3:
- Ветви параболы направлены вверх, число 1 находится правее
большего корня, число 0 находится левее большего корня либо
совпадает с ним.
Если найти множество
значений параметра, при которых число 0 находится правее большего корня при условии, что ветви направлены вверх, то при всех
число 0 находится левее большего корня или совпадает с ним (при выполнении всех условий тех случаев, в которых мы находимся, то есть при
И
). Тогда условие нашей картинки будет выглядеть следующим образом:
(cases 1)
Найдем
Тогда система cases 1 равносильна:
Пересекая с
и
получаем значения параметра, идущие в ответ:
- 4:
- Ветви параболы направлены вниз, число 1 находится правее
большего корня, число 0 находится левее большего корня либо
совпадает с ним.
Аналогично предыдущему случаю (но ветви направлены вниз):
(cases 2)
Найдем
Тогда система cases 2 равносильна:
Объединяя
с
получаем итоговый ответ
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Не рассмотрен случай линейного
уравнения или случай | 3 |
Верно
рассмотрен случай линейного уравнения и
| 2 |
Введена и исследована замена, при этом может быть рассмотрен случай линейного уравнения | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все положительные значения параметра при каждом из которых
уравнение
имеет единственный корень.
Сделаем замену
Тогда уравнение примет вид
Это уравнение равносильно системе
Для того, чтобы уравнение имело 1 решение, необходимо, чтобы
Учитывая то, что по условию, получаем
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточно обоснованные переходы | 3 |
Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка | 2 |
ИЛИ | |
неравенства решены верно, но не учтено,
что по условию | |
Верно сведено к линейному уравнению относительно новой переменной с учетом ограничений | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |