18.07 Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения при которых неравенство
является верным при всех значениях
Значит можно домножить обе части на знаменатель и знак не изменится.
Случай, когда это не квадратный трёхчлен
- 1.
-
- 2.
-
Тогда если рассмотреть функцию
:
Это парабола, верви которой направлены вниз, вершина параболы
убывает на
- значит, нам этот случай не подходит.
- 3.
-
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких ровно один корень уравнения
удовлетворяет условию
Рассмотрим функцию Графиком является парабола с ветвями вверх.
Дискриминант может быть как отрицательным (что не подходит для нашей задачи), равным нулю или
положительным (два этих случая нам как раз и нужно исследовать).
Рассмотрим отдельно случай, когда , то есть
. При
уравнение имеет единственный корень
, при
корень равен
Второй случай не удовлетворяет условию
Следовательно,
подходит только
.
Рассмотрим случай Удовлетворять условию
может либо левый
, либо правый
корень уравнения.
Если
, то
. Если
, то
.
Проверим отдельно, чему равен один из корней уравнения, когда другой равен 1 или 3 для того, чтобы далее рассматривать только строгие неравенства.
Если , то
, тогда второй корень равен 2, что нам подходит.
Если , то
, то другой корень равен
, что нам не подходит.
Теперь если , то
.
Если , то
(см рис). Заметим, что условия для обеих картинок можно записать одной системой, так
как получаем то, что числа
и
должны быть разных знаков, то есть их произведение должно быть
отрицательным.
Решая систему, получаем
Объединяя подходящие значения параметра, получаем окончательно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра уравнение
имеет два различных корня, причем оба больше ?
Рассмотрим функцию
Графиком является парабола с ветвями вверх:
Чтобы оба корня были больше -1, нужно следующее:
Всего существует пять мест, куда можно поставить число относительно корней
уравнения: слева направо
Нам подходит лишь место
В
этом месте значение функции во всех точках положительное. Но так как в
месте значение функции во всех точках тоже положительное, то дополнительно
накладывается условие на абсциссу вершины параболы: что она больше
-1.
Решая систему выше, получаем
Расшифровка: — левее левого корня
— в левом корне
— между корнями
— в правом корне
— правее правого корня
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Ответ может отличаться от верного
включением точки | 3 |
Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено | 2 |
Верное введение функции и её исследование | 1 |
ИЛИ | |
Верно найдены корни квадратного уравнения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых множество решений неравенства
содержит отрезок
Рассмотрим функцию
Тогда наше неравенство имеет вид
При каждом фиксированном графиком функции
является
парабола, причем ветви параболы направлены вверх. Если неравенство
имеет решения, то существуют точки, принадлежащие параболе, которые
находятся ниже оси абсцисс. Следовательно, уравнение
имеет два
различных корня, то есть парабола пересекает ось абсцисс в двух точках
Тогда интервал является решением неравенства
Отрезок
содержится в интервале
если числа
и
находятся
между корнями
и
Получаем картинку ниже:
Эта картинка задается следующими условиями:
Замечание.
Если существует хотя бы одна точка в которой
где
графиком
является парабола с ветвями вверх, то автоматически
эта парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, то есть выполнено
условие
для уравнения
Следовательно, в нашей системе
требование существования двух различных корней уравнения
является
излишним.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточно обоснованные переходы | 3 |
Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено | 2 |
Верное введение функции и
её исследование (обосновано, что график
функции парабола при любом | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра решением неравенства
является отрезок
Рассмотрим множество функций
При каждом фиксированном это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными
вверх. При этом она может выглядеть как (1)
(2)
или (3)
Для того, чтобы решением неравенства являлся отрезок необходимо, чтобы парабола выглядела как (2), то есть
необходимо выполнение следующих условий:
Заметим, что при неравенство
выполняется, так как оно равносильно
Следовательно, получаем
Замечание.
Первое условие системы можно считать избыточным в том смысле, что дискриминант автоматически положителен при условии
поскольку квадратный трехчлен имеет два корня
и
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснование (некоторые переходы не расписаны) | 3 |
Верно наложены все условия для того, чтобы решением неравенства являлся заданный отрезок, но в решении есть ошибка или оно не завершено | 2 |
Верное введение функции и её исследование | 1 |
ИЛИ | |
верно найдены корни квадратного уравнения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра число 3 заключено между корнями уравнения
Рассмотрим функцию
Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх и которая должна пересекать ось абсцисс в двух точках. Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы парабола выглядела так:
Значит, необходимо:
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточно обоснованные переходы | 3 |
Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено | 2 |
Верное введение функции и её исследование | 1 |
ИЛИ | |
Верно найдены корни квадратного уравнения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все положительные значения параметра , при каждом из которых оба корня уравнения
не меньше .
По условию уравнение должно иметь два корня, значит, оно квадратное и имеем условия на старший коэффициент и дискриминант:
Графиком функции
при каждом фиксированном является парабола.
Рассмотрим два случая в зависимости от направления ветвей параболы.
(1) Ветви направлены вверх:
(2) Ветви направлены вниз:
Таким образом, для положительных по условию значений имеем совокупность двух случаев:
Заметим, что условие важно. Без этого условия возможен еще один случай, который нам не подходит.
Например:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых неравенство
имеет решения, и все эти решения принадлежат отрезку
При неравенство принимает вид
что верно при любом значении
Так как не содержится в отрезке
то значение параметра
не подходит.
Далее будем считать, что
Тогда старший коэффициент следовательно, при каждом фиксированном
ветви параболы
направлены вверх.
Если дискриминант квадратного трехчлена то исходное неравенство не имеет решений. Следовательно, этот случай нам
не подходит.
Если то решением неравенства будет отрезок
где
— корни уравнения
Заметим, что при решением неравенства будет вырожденный «отрезок»
состоящий из одной точки
— абсциссы вершины параболы.
Изобразим эскиз параболы, удовлетворяющей условию задачи:
Здесь — абсцисса вершины параболы.
Для включения отрезка в отрезок
необходима система из условий:
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Ответ может отличаться от верного
невключением граничного значения или
не рассмотрен случай | 3 |
Для | 2 |
Рассмотрен верно случай | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых один корень уравнения
больше 1, а другой меньше 1.
Рассмотрим два случая:
1) . Тогда уравнение становится линейным и
. Это значения параметра нам не
подходит.
2) . Тогда уравнение является квадратным. Его дискриминант
.
Если уравнение
имеет два
корня.
Графиком функции при каждом фиксированном
является
парабола,
причем при ветви направлены вверх, при
ветви направлены
вниз:
Для того, чтобы уравнение имело один корень больше , а другой меньше 1, нужно:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все положительные значения параметра , при каждом из которых оба корня уравнения
не меньше .
Так как уравнение должно иметь два корня, то оно должно быть квадратным, то есть и дискриминант
.
Графиком функции при каждом фиксированном
является парабола.
(1) и ветви параболы направлены вверх:
(2) ветви параболы направлены вниз:
Таким образом, учитывая, что по условию нам нужны только положительные :
Заметим, что условие важно. Без этого условия возможен еще один случай, который не удовлетворяет нашему условию.
Например:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра уравнение
имеет два корня из отрезка ?
Так как уравнение квадратное, то для того, чтобы оно имело два корня, необходимо, чтобы его дискриминант был больше нуля:
.
Для того, чтобы оба корня были из отрезка , нужно, чтобы парабола
выглядела
так:
Заметим, что — вершина параболы.
То есть нужно выполнение сразу нескольких условий:
Решив последнюю систему, получим .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра неравенство
справедливо для каждого допустимого значения ?
ОДЗ неравенства: .
Заметим, что при всех из ОДЗ аргументы обоих логарифмов положительны.
Пусть . Так как
, то
, следовательно,
. Тогда исходное
неравенство относительно
будет иметь решения при всех
из ОДЗ, если полученное
неравенство
1) Пусть . Тогда неравенство равносильно
![PIC](/api/latex-service/v1/GetSession/3622/A_18_2_23.png)
То есть числа
2) Пусть . Тогда неравенство равносильно
![PIC](/api/latex-service/v1/GetSession/3622/A_18_2_24.png)
Первые два положения задаются условием
Третье положение задается условием
Так как этот случай был возможен при , то, пересекая эти значения с
,
получим
.
Объединяя найденные в обоих пунктах, получим окончательный ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых решение неравенства
содержит отрезок .
Перепишем неравенство в виде
Рассмотрим следующие случаи.
1)
В этом случае неравенство становится линейным:
Видим, что только при решение неравенства содержит отрезок
Следовательно, пойдет в ответ.
2)
В этом случае неравенство является квадратичным, причем при каждом
фиксированном графиком
является парабола, ветви которой направлены вверх.
Рассмотрим уравнение
Найдем дискриминант
2.1) При получаем
и парабола
имеет ровно одну точку
пересечения с осью
Тогда решением неравенства являются все что в свою очередь
содержит отрезок
Следовательно,
пойдет в ответ.
2.2) При получаем
и парабола
имеет две точки пересечения с осью
и решением неравенства являются
Для того, чтобы решение содержало отрезок необходимо, чтобы
парабола задавалась одним из двух видов:
или
Тогда имеем систему и далее совокупность двух случаев:
При модуль
раскрывается отрицательно:
При модуль
раскрывается положительно:
Решением данной совокупности будут
3)
Тогда неравенство также является квадратичным и — парабола, ветви
которой направлены вниз.
При этих значениях также дискриминант
но решением неравенства
уже будут
Для того, чтобы решение содержало отрезок необходимо, чтобы
парабола выглядела следующим образом:
Тогда получаем систему
Объединяя все полученные значения для получим окончательный
ответ.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Ответ отличается от верного невключением одной из точек | 3 |
Рассмотрены случаи линейного неравенства и | 2 |
ИЛИ | |
рассмотрен верно только случай | |
Верно рассмотрен случай линейного неравенства | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Исходное уравнение равносильно системе
Cпособ 1.
Система имеет два решения тогда и только тогда, когда уравнение
имеет два неотрицательных решения. Следовательно, если
рассмотреть функцию
то должно быть выполнено:
Cпособ 2.
Перепишем систему в виде
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе
координат
множество
решений системы. Если некоторая точка
плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для исходной задачи это означает, что если параметр
принимает
значение
то
будет одним из решений системы. Нас просят найти
все такие значения
параметра
при каждом из которых ровно де
точки вида
где
принадлежат множеству решений
изображенному на плоскости
Фактически это равносильно тому, что
горизонтальная прямая
имеет две точки пересечения с множеством
График — парабола, пересекающая ось абсцисс в точках
и
а также пересекающая прямую
в точке
Следовательно,
множество
выглядит следующим образом:
Следовательно, горизонтальная прямая должна находиться между прямыми
не включительно и
включительно. Тогда подходят значения
параметра
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра уравнение
имеет решения и все решения принадлежат промежутку
Сначала рассмотрим отдельно случай При этом квадратное уравнение обращается в линейное:
Получили, что нам подходит.
Далее считаем, что Тогда имеем дело с параболой
Ветви параболы направлены вверх при любых так как
Дискриминант должен быть неотрицательным, чтобы
уравнение имело решения. Рассмотрим вершину параболы
Для того чтобы точки пересечения параболы с осью то есть решения уравнения, принадлежали промежутку
вершина должна принадлежать этому промежутку, а значения в концах промежутка должны быть строго положительны.
Соответствующее расположение изображено ниже.
Решим систему с перечисленными условиями:
Поскольку то является пустым пересечение множеств
Тогда решение всей системы — пустое множество и единственное подходящее значение параметра
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснование
(некоторые переходы не расписаны) или
не рассмотрен случай | 3 |
Верно наложены все условия для того, чтобы выполнялось условие задания | 2 |
Рассмотрен случай | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких корни уравнения
больше
?
Рассмотрим функцию . Графиком является парабола с ветвями вверх. Чтобы оба корня были больше
, нужно,
чтобы
Всего существует пять мест, куда можно поставить число относительно корней уравнения: слева направо
,
,
,
,
. Нам
подходит лишь
. В этом месте значение функции во всех точках положительное. Но так как в
месте значение функции во
всех точках тоже положительное, дополнительно накладывается условие на абсциссу вершины параболы: что она больше
.
Решая систему выше, получаем .
Расшифровка: – до левого корня,
– в левом корне,
– между корнями,
– в правом корне,
– правее правого корня.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что уравнение
имеет два различных корня при любом значении .
Нужно доказать, что при любом
. Заметим, что если мы будем выписывать дискриминант этого трехчлена, то
получим
– многочлен четвертой степени, который вряд ли удастся разложить на множители.
Будем рассуждать по-другому: если существует хотя бы одна точка , значение функции в которой всегда отрицательное (то есть при
любом
) для параболы с ветвями вверх (какая у нас и есть), то это как раз и будет значить, что парабола пересекает ось
в двух
точках, то есть уравнение имеет два различных корня.
Эта точка легко подбирается – это :
Следовательно, уравнение имеет два корня, причем можно заметить, что они расположены по разные стороны от числа
.
Доказательство
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра один корень уравнения
меньше 2, а другой больше 2?
Рассмотрим функцию
Ее графиком является парабола с ветвями вверх. Чтобы оба корня находились по разные стороны от числа 2, необходимо следующее:
Заметим, что условие на дискриминант в данном случае необязательно, так как если есть хотя бы одна точка, где значение функции отрицательно для параболы с ветвями вверх, то мы автоматически имеем два корня.
Всего существует пять мест, куда можно поставить число 2 относительно корней уравнения: слева направо
Нам подходит лишь
В этом месте значение функции во всех точках отрицательное. И это единственное место, где значение
функции отрицательное.
Решая систему выше, получаем
Расшифровка: — левее левого корня
— в левом корне
— между корнями
— в правом корне
— правее правого корня
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточно обоснованные переходы | 3 |
Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено | 2 |
Верное введение функции и её исследование | 1 |
ИЛИ | |
Верно найдены корни квадратного уравнения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких все корни уравнения
по модулю меньше 1?
Рассмотрим функцию
Ее графиком является парабола с ветвями вверх при либо парабола с ветвями вниз при
либо прямая при
Рассмотрим отдельно случай Тогда имеем
Точка пересечения с осью абсцисс — это
Она по
модулю меньше 1. Следовательно, это значение параметра
нам подходит.
Рассмотрим случай Число -1 должно находиться в
месте, число 1 — в
месте. Таким образом,
чтобы оба корня по модулю были меньше 1, необходимо выполнение одной из двух систем (при
и
соответственно):
Всего существует пять мест, куда можно поставить число относительно корней уравнения: слева направо
Нам подходят лишь
и
В этих местах значение функции во всех точках положительное, если ветви направлены
вверх, и отрицательное, если ветви направлены вниз. Для того, чтобы оба числа 1 и -1 не попали оба, например, в
место, дополнительно накладывается условие на абсциссу вершины параболы: что она по модулю меньше
1.
Объединяя решения систем выше между собой и с решением случая получаем
Расшифровка: — левее левого корня
— в левом корне
— между корнями
— в правом корне
— правее правого корня
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких существует единственный корень уравнения
удовлетворяющий условию ?
Рассмотрим функцию . Графиком является парабола с ветвями вверх.
Дискриминант может быть как отрицательным, так и равным нулю.
Рассмотрим отдельно случай, когда , то есть
. При
уравнение имеет единственный корень
, при
корень равен
. Второй случай не удовлетворяет условию
. Следовательно, подходит только
.
Рассмотрим случай . Удовлетворять условию
может либо левый
, либо правый
корень уравнения. Если
, то
. Если
, то
. Тогда
Заметим, что условие на дискриминант в данной случае необязательно, так как если есть хотя бы одна точка, где значение функции отрицательно для параболы с ветвями вверх, то мы автоматически имеем два корня.
Всего существует пять мест, куда можно поставить число относительно корней уравнения: слева направо ,
,
,
,
. Нам
подходят лишь
или
. В этих местах значение функции во всех точках положительное, если ветви направлены вверх. А также
место, где значение функции отрицательное, если ветви направлены вверх.
Заметим, что если число 3 находится в , то число 1 не может попасть в
, так как в таком случае было бы
, что неверно.
Аналогично для второй картинки. Именно поэтому систему можно написать так сокращенно.
Решая систему выше и объединяя со случаем , получаем
.
Расшифровка: – до левого корня,
– в левом корне,
– между корнями,
– в правом корне,
– правее правого корня.