Квадратичная функция (парабола) —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 11. Графики функций

11.02 Квадратичная функция (парабола)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43928

На рисунках изображены графики функций вида $y =ax2 +bx+ c.$ Установите соответствие между знаками коэффициентов $a$ и $c$ и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ
$А )a> 0, c> 0 Б)a < 0, c> 0 В)a> 0, c <0$
ГРАФИКИ
$xy01)$ $xy02)$ $xy03)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей параболы:

если $a> 0,$ то ветви параболы направлены вверх;
если $a< 0,$ то ветви параболы направлены вниз.

Коэффициент $c$ отвечает за точку пересечения параболы с осью $Oy :$

если $c> 0,$ то точка пересечения имеет координаты $(0;c),$ где $c > 0;$
если $c< 0,$ то точка пересечения имеет координаты $(0;c),$ где $c < 0.$

1.: На рисунке 1 изображена парабола с ветвями вверх. Точка пересечения параболы с осью $Oy$ имеет отрицательную координату по оси $Oy.$ Значит, у данной параболы $a> 0,$ $c <0.$ Поэтому рисунку 1 соответствует буква В.
2.: На рисунке 2 изображена парабола с ветвями вниз. Точка пересечения параболы с осью $Oy$ имеет положительную координату по оси $Oy.$ Значит, у данной параболы $a< 0,$ $c >0.$ Поэтому рисунку 2 соответствует буква Б.
3.: На рисунке 3 изображена парабола с ветвями вверх. Точка пересечения параболы с осью $Oy$ имеет положительную координату по оси $Oy.$ Значит, у данной параболы $a> 0,$ $c >0.$ Поэтому рисунку 3 соответствует буква А.

Ответ: 321

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#42872

На рисунках изображены графики функций вида $y =ax2 +bx+ c.$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c.$

ГРАФИКИ

$xy0А)$ $xy0Б )$ $xy0В)$

КОЭФФИЦИЕНТЫ

$1)a <0, c >0 2)a > 0, c > 0 3)a > 0, c< 0$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей параболы:

если $a> 0,$ то ветви параболы направлены вверх;
если $a< 0,$ то ветви параболы направлены вниз.

Коэффициент $c$ отвечает за точку пересечения параболы с осью $OY :$

если $c> 0,$ то точка пересечения имеет координаты $(0;c),$ где $c > 0;$
если $c< 0,$ то точка пересечения имеет координаты $(0;c),$ где $c < 0.$

1.: На рисунке Б изображена парабола с ветвями вверх. Точка пересечения параболы с осью $Oy$ имеет отрицательную координату по оси $Oy.$ Значит, у данной параболы $a> 0,$ $c <0.$ Поэтому рисунку А соответствует цифра 3.
2.: На рисунке Б изображена парабола с ветвями вверх. Точка пересечения параболы с осью $Oy$ имеет положительную координату по оси $Oy.$ Значит, у данной параболы $a > 0,$ $c> 0.$ Поэтому рисунку Б соответствует цифра 2.
3.: На рисунке В изображена парабола с ветвями вниз. Точка пересечения параболы с осью $Oy$ имеет положительную координату по оси $Oy.$ Значит, у данной параболы $a < 0,$ $c> 0.$ Поэтому рисунку В соответствует цифра 1.

Ответ: 321

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#35046

ГРАФИКИ

$xy0А)$ $xy0Б )$ $xy0В)$

КОЭФФИЦИЕНТЫ

$1)a >0, c >0 2)a > 0, c < 0 3)a < 0, c> 0$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей параболы. Если $a > 0,$ то ветви направленны вверх, если $a< 0,$ то вниз.

Коэффициент $c$ отвечает за точку пересечения параболы с осью ординат. Если $c> 0,$ то точка пересечения лежит в верхней полуплоскости, если $c <0,$ то в нижней полуплоскости.

Рассмотрим график А. На нем изображена парабола, ветви которой направленны вверх, а точка ее пересечения с осью ординат лежит в нижней полуплоскости, следовательно, графику А соответствуют коэффициенты $a> 0$ и $c< 0,$ то есть А — 2.

Рассмотрим график Б. На нем изображена парабола, ветви которой направленны вниз, а точка ее пересечения с осью ординат лежит в верхней полуплоскости, следовательно, графику Б соответствуют коэффициенты $a < 0$ и $c> 0,$ то есть Б — 3.

Рассмотрим график В. На нем изображена парабола, ветви которой направленны вверх, а точка ее пересечения с осью ординат лежит в верзней полуплоскости, следовательно, графику В соответствуют коэффициенты $a> 0$ и $c > 0,$ то есть В — 1.

Таким образом,


А	Б	В

2	3	1

Ответ: 231

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#35045

Ha pисунках изображены графики функций вида $2 y = ax + bx+ c.$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c.$

ГРАФИКИ

$PIC$

КОЭФФИЦИЕНТЫ

$1) a > 0, c< 0 2) a <0, c> 0 3) a> 0, c > 0$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

Если ветви параболы квадратичной функции направлены вниз, то старший коэффициент этой функции отрицателен, то есть графику «В» соответствует случай под номером 2.

Ветви оставшихся парабол направлены вверх, следовательно их старшие коэффициенты положительны. Значение коэффициента $c$ — ордината точки пересечения параболы с осью ординат, другими словами, значение функции при $x =0.$ На графике «А» парабола пересекает ось ординат выше оси абсцисс, значит, коэффициент $c> 0.$ Тогда графику «А» соответствует случай номер 3. Значит, графику «Б» соответствует случай 1.

Ответ: 312

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#24832

ГРАФИКИ

$xy01)$ $xy02)$ $xy03)$

КОЭФФИЦИЕНТЫ

$А )a> 0, c< 0 Б)a> 0, c >0 В )a< 0, c> 0$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

График функции $y = ax2 + bx+ c$ — парабола. Если $a > 0$ , то ветви параболы направлены вверх, если $a < 0$ — вниз. Если $c > 0$ , то точка пересечения графика с осью $OY$ находится выше оси $OX$ , если $c < 0$ — ниже.

Коэффициентам под буквой В соответствует график 1, так как это единственный график, ветви которого направлены вниз.

Коэффициентам под буквой А соответствует график 3, так как это единственный график, точка пересечения которого с осью $OY$ лежит ниже оси $OX$ .

Тогда коэффициентам под буквой Б соответствует график 2.

Ответ:


А	Б	В

$3$	$2$	$1$

Ответ: 321

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#54947

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функци, и графиками этих функций.

ФОРМУЛЫ
$А )y = −x2+ 2x+ 4 Б )y = x2− 2x− 4 В)y =− x2− 2x+ 4$
ГРАФИКИ
$xy0111)$ $xy0112)$ $xy0113)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

Среди представленных графиков ровно один график 2 — парабола с ветвями вверх, то есть старший коэффицент положительный, чему соответствует формула под номером Б.

У оставшихся парабол старшие коэффициенты отрицательные. Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $2 y = ax + bx+ c,$ равна $b − 2a.$ У формулы А вершина параболы равна $2- − −2 = 1.$ Так как у параболы 3 абсцисса вершины равна 1, то графику 3 соответствует формула А.

Значит, графику 1 соответствует формула под буквой В.

Ответ: 321

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#44270

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками этих функций.

ФОРМУЛЫ
$А )y = −4x2− 28x− 46 Б)y = 4x2− 28x +46 В)y = − 4x2+28x − 46$
ГРАФИКИ
$xy0111)$ $xy0112)$ $xy0113)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей параболы:

если $a> 0,$ то ветви параболы направлены вверх;
если $a< 0,$ то ветви параболы направлены вниз.

Так как только у параболы 1 ветви направлены вверх, то цифре 1 соответствует буква Б.

У параболы 2 $xв. < 0,$ у параболы 3 $xв. > 0.$

Посчитаем $xв.$ для формулы А:

xв. = −-b = −-−-28 =− 3,5 2a 2⋅(−4)

Посчитаем $xв.$ для формулы В:

b 28 xв. = − 2a = − 2⋅(−4) = 3,5

Тогда формуле А соответствует парабола 2, формуле В — парабола 3.

Ответ: 213

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#38718

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

$xy110А )$ $xy110Б)$ $xy110В)$

ФОРМУЛЫ

$2 2 2 1) y = x − 8x+ 16 2) y = − x − 8x − 16 3) y = −x +8x − 16$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

График на картинке А — парабола с ветвями вверх, значит, коэффициент при $x2$ положителен, то есть функция под номером 1.

Абсцисса вершины параболы для графика функции $y = ax2+ bx+ c$ равна $− b2a.$ Таким образом, абсцисса вершины параболы, соответствующей формуле 2, равна $8 − 2 = −4,$ то есть она лежит левее точки пересечения координатных прямых.

Итого получаем, что формуле 2 соответствует график Б, а формуле 3 — В.

Ответ: 123

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#35047

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками этих функций.

ГРАФИКИ

$xy1101)$ $xy1102)$ $xy1103)$

ФОРМУЛЫ

$А ) y = x2+ 8x+ 12 Б) y = x2− 8x+ 12 В ) y = − x2+ 8x − 12$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

Формула «В» — единственная формула с отрицательным старшим коэффициентом, следовательно ветви параболы направлены вниз, чему соответствует график под номером 3.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $2 y = ax +bx+ c,$ равна $b- − 2a.$ То есть абсцисса вершины параболы «А» отрицательна: $8 −2 = −4< 0$ и расположена левее оси ординат. Таким образом, функции «А» соответствует график под номером 1. Значит, функции «Б» соответствует график номер 2.

Ответ:


А	Б	В

1	2	3

Ответ: 123

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#35044

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками этих функций.

ГРАФИКИ

$xy110А)$ $xy110Б )$ $xy110В)$

ФОРМУЛЫ

$1) y = x2− 5x+ 3 2) y = −x2 +5x − 3 3) y = x2+ 5x+ 3$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

Среди представленных графиков ровно один график Б) — парабола с ветвями вниз, то есть старший коэффицент отрицательный, чему соответствует формула под номером 2.

У оставшихся парабол старшие коэффициенты положительные. Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $2 y = ax +bx+ c,$ равна $b − 2a.$ Абсцисса вершины параболы А) расположена левее оси ординат, то есть отрицательна, старший коэффициент положителен, следовательно коэффициент при $x$ больше 0.

Таким образом, графику А) соответствует формула под номером 3. Значит, графику В) соответствует формула под номером 1.

Ответ: 321

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#35043

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

$xy011А)$ $xy011Б )$ $xy011В)$

ФОРМУЛЫ

$1)y =− 3x2+ 24x − 42 2)y = 3x2− 24x +42 3)y = −3x2− 24x− 42$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

Среди представленных графиков ровно один график «В» — парабола с ветвями вверх, то есть старший коэффициент положительный, чему соответствует формула под номером 2.

У оставшихся парабол старшие коэффициенты отрицательные. Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $2 y = ax + bx+ c,$ равна $b − 2a.$ Абсцисса вершины параболы «А» расположена левее оси ординат, то есть отрицательна, старший коэффициент отрицателен, следовательно коэффициент при $x$ меньше 0. Таким образом, графику «А» соответствует функция под номером 3. Значит, графику «Б» соответствует функция под номером 1.

Ответ: 312

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#35039

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

$PIC$

ФОРМУЛЫ

$2 2 2 1) y = x − 7x+ 14 2) y = x + 7x+ 14 3) y = −x − 7x − 14$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:


А	Б	В

Показать ответ и решение

Среди представленных графиков ровно один под буквой «В» — парабола с ветвями вниз, следовательно ему соответствует квадратное уравнение с отрицательным старшим коэффициентом под номером 3.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = ax2+bx +c,$ равна $− b2a.$ Вершина параболы «А» лежит левее оси ординат, то есть величина $− 2ba$ отрицательна, ветви направлены вверх, значит, старший коэффициент $a$ положительный, тогда $b$ тоже положительный. Таким образом, параболе «А» соответствует функция под номером 2. Значит, параболе «Б» соответствует функция 3.

Ответ:


А	Б	В

2	1	3

Ответ: 213

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#35042

График какой из приведённых ниже функций изображён на рисунке?

1) $2 y = x +7x+ 10$

2) $2 y = x − 7x+ 10$

3) $2 y = −x +7x − 10$

4) $2 y = −x − 7x − 10$

$PIC$

Показать ответ и решение

Ветви параболы направлены вниз, следовательно старший коэффициент отрицательный. Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $2 y =ax + bx+c,$ равна $-b − 2a.$ Вершина параболы расположена правее оси ординат, то есть её абсцисса положительна, а старший коэффициент отрицательный, значит, коэффициент при $x$ положителен. Таким образом, верный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#35041

Какая из парабол, изображённых на рисунке, является графиком функции $y =x2+ 2x?$

$PIC$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Координата вершины параболы функции $2 y = ax +bx+ c$ по оси $Ox$ равна $-b − 2a.$ Тогда координата вершины параболы функции $2 y =x + 2x$ равна $− 1.$ Только у параболы 3 вершина находится в точке $x =− 1.$

Способ 2.

Заметим, что $2 2 (2 ) 2 x + 2x = x +2x+ 1− 1= x + 2x+ 1 − 1 =(x+ 1)− 1,$ то есть $2 y = (x +1) − 1.$

Таким образом, при $x= −1$ значение фукции равно

y =(x+ 1)2 − 1= (−1+ 1)2− 1= 02− 1= −1

Через точку $(−1;−1)$ проходит только график 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#35040

Найдите значения коэффициентов $a,$ $b$ и $c$ по графику функции $2 y = ax + bx+ c,$ изображённому на рисунке.

$PIC$

В ответ последовательно запишите получившиеся значения коэффициентов $a,b,c$ через запятую с пробелом после нее.

Показать ответ и решение

По графику, изображенному на рисунке видно, что он проходит через точки $(−2;2),$ $(−1;0)$ и $(− 3;0).$

Если график функции проходит через какую-то точку, то координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство. Таким образом, мы можем получить систему из трех уравнений:

$pict$