.01 Абсолютно упругий удар

Докажем, что при лобовом упругом столкновении тел их относительная скорость не меняется по величине, а меняет только направление. Пусть одно тело массой движется со скоростью , второе массой покоится (относительная скорость тел первого тела относительно второго равна и направлена вправо; см. рисунок). Скорости тел после центрального упругого столкновения можно найти по законам сохранения импульса и энергии (пусть для определенности , тогда скорость первого тела направлена противоположно скорости ):

Отсюда находим скорости тел после столкновения

и относительную скорость первого тела относительно второго

Отсюда с учетом того, что поменяла направление, заключаем, что относительная скорость такая же по величине, но направлена противоположно. При следующем столкновении с бортиками тележки такая же картина сохранится. Теперь вернемся к решению задачи. Поскольку система тел – «тележка–тело» замкнута, центр масс тела и тележки движется с постоянной скоростью

В начале (поскольку тело находится в центре тележки) центр масс системы находится в центре тележки. В конце (поскольку тело снова в центре) там же находится и центр масс. Поэтому перемещение тележки равно перемещению центра масс системы за то время, за которое тело совершило 2020 столкновений с бортиками. Т.е.

Где – время, прошедшее от толчка тела до того как оно вернулось в ту же точку, испытав 2020 столкновений с бортиками. Найдем это время. От 1–го столкновения до 2020–го тело пройдет 2019 длин тележки с одной и той же относительной скоростью. Поэтому затратит на это время

И еще два раза по половине тележки – после начального толчка до первого удара, и от 2020 удара до попадания в центр тележки. В результате находим, что

Отсюда получаем окончательно

(Официальное решение Росатом)