Абсолютно упругий удар —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32423

Шар массой $m$ , движущийся со скоростью $v0$ , налетает на покоящийся шар массой $M$ . Происходит упругий центральный удар. Найдите скорости шаров после удара. Решите задачу в ЛСО и СЦМ.

Показать ответ и решение

1) В ЛСО: В случае абсолютно упругого удара закон сохранения импульса:

mv0 = mu1 + M u2,

Закон сохранения энергии:

2 2 2 mv-0- mu--1 M-u-2 2 = 2 + 2 ,

Решая систему двух уравнений относительно $u 1$ и $u 2$ , находим:

(m − M )v0 u1 = --m-+-M----, u2 = -2mv0--. m + M m-−-M--- -2mv0--- u1 = m + M v0, u2 = m + M .

2) В СЦМ: Скорость центра масс системы:

mv V = ----0--- m + M

Скорость центра масс после удара не измениться (так как импульс системы не изменен), следовательно:

mu + M u V = ---1------2-⇒ mv0 = mu1 + M u2 m + M

Закон сохранения энергии:

2 2 2 mv-0-= mu--1+ M-u-2, 2 2 2

Уравнения получены точно такие же как и в ЛСО, следовательно скорости $u1$ и $u2$ будут такими же.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32425

Имеются три шара с массами $m$ , $μ$ и $2m$ . Шар массой $2m$ движется, остальные шары покоятся (см. рисунок). Происходят центральные упругие столкновения шаров. При каком значении массы $μ$ шар массой $m$ будет иметь после столкновения с шаром $μ$ максимальную скорость?

Источники: Росатом, 2013, 11

Показать ответ и решение

Законы сохранения энергии и импульса для первого столкновения позволяют найти скорость среднего шара после первого столкновения

v1 = --2v---- 1 + -μ-- 2m

Из этой формулы легко найти и скорость левого шара после столкновения со средним (заменить $v → v1,μ → m, 2m → μ$ )

4v 4v v2 = (-------)-(--------)- = -----(---------)- m- mu-- 3- m- μ--- 1 + μ 1 + 2m 2 + μ + 2m

Очевидно, $v2$ максимальна, когда минимальна скобка в знаменателе. Ее минимум находим, дифференцируя по $μ$ и приравнивая производную к нулю. Получаем

√ -- μ = 2m

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записан закон сохранения импульса для двух случаев	2

Записан закон сохранения энергии для двух случаев	2

Сказано, когда скорость максимальна	2

Выражена искомая скорость	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32426

На горизонтальном столе покоится игрушечная тележка массой $M$ и длиной $L$ с высокими бортиками. В центре тележки находится точечное тело массой $m$ . В некоторый момент времени телу толчком сообщили скорость $v$ в направлении переднего бортика тележки (см. рисунок). Испытав упругое столкновение с передним бортиком, тело отражается в направлении заднего бортика, стукнувшись о него — в направлении переднего и т. д. Какой путь пройдет тележка к тому моменту, когда тело окажется в центре тележки, испытав $2020$ столкновений с ее бортиками?

Источники: Росатом, 2020, 11

Показать ответ и решение

Докажем, что при лобовом упругом столкновении тел их относительная скорость не меняется по величине, а меняет только направление. Пусть одно тело массой $m$ движется со скоростью $⃗v$ , второе массой $M$ покоится (относительная скорость тел первого тела относительно второго равна $v отн = v$ и направлена вправо; см. рисунок). Скорости тел после центрального упругого столкновения можно найти по законам сохранения импульса и энергии (пусть для определенности $m < M$ , тогда скорость первого тела направлена противоположно скорости $⃗v$ ):

mv = − mv1 + M v2

mv2 = mv21 + M v22

Отсюда находим скорости тел после столкновения

M − m 2m v1 = --------v, v2 = -------v M + m M + m

и относительную скорость первого тела относительно второго

v отн = v1 − v2 = v

Отсюда с учетом того, что $v$ поменяла направление, заключаем, что относительная скорость такая же по величине, но направлена противоположно. При следующем столкновении с бортиками тележки такая же картина сохранится. Теперь вернемся к решению задачи. Поскольку система тел – «тележка–тело» замкнута, центр масс тела и тележки движется с постоянной скоростью

mv v0 = -------- m + M

В начале (поскольку тело находится в центре тележки) центр масс системы находится в центре тележки. В конце (поскольку тело снова в центре) там же находится и центр масс. Поэтому перемещение тележки равно перемещению центра масс системы за то время, за которое тело совершило 2020 столкновений с бортиками. Т.е.

Sm = --mv---t M + m

Где $t$ – время, прошедшее от толчка тела до того как оно вернулось в ту же точку, испытав 2020 столкновений с бортиками. Найдем это время. От 1–го столкновения до 2020–го тело пройдет 2019 длин тележки с одной и той же относительной скоростью. Поэтому затратит на это время

2019l ------ v

И еще два раза по половине тележки – после начального толчка до первого удара, и от 2020 удара до попадания в центр тележки. В результате находим, что

2020l- t = v

Отсюда получаем окончательно

2020ml Sm = -------- m + M

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32427

Гладкая упругая шайба радиуса $R$ , движущаяся со скоростью $v0$ , упруго сталкивается с такой же шайбой, покоящейся на гладкой горизонтальной поверхности. В результате столкновения скорость налетающей шайбы уменьшается вдвое.
1. Найдите расстояние $d$ от центра покоившейся шайбы до прямой, по которой двигался центр налетающей шайбы.
2. Через какое время $t$ после соударения расстояние между центрами шайб будет равно $S$ ?

Источники: Физтех, 2019, 10

Показать ответ и решение

Рассмотрим соударение тел более подробно. Введём оси вдоль линии удара, ось $⊥$ и ось $∥$ . Силы в момент удара направлены только вдоль прямой соединяющей центры шайб (линия удара), это значит, что второе тело после удара будет двигаться вдоль этой прямой. Докажем, используя ЗСИ и ЗСЭ, что первая шайба будет двигаться перпендикулярно линии удара. Для этого представим соударение шайб, как центральный удар вдоль оси $∥$ . Тогда ЗСЭ и ЗСИ в проекции на ось $∥$ :

mv0 ∥ = mv2 − mv1 ∥

mv2 mv2 mv2 ---0-= ---2-+ ---1- 2 2 2

v2 = v2 + v2 0 0∥ 0⊥

v2 = v2 + v2 1 1∥ 1⊥

v = v 0⊥ 1⊥

⇒ v0∥ = v2 + v1∥ ⇒ v0∥ = v0∥ + v1∥ + v1∥ ⇒ v1∥ = 0

То есть после удара скорость первой шайбы будет равна $v1 = v0⊥$ , второй $v2 = v0∥$ .

По условию задачи скорость налетающей шайбы уменьшается вдвое после удара, то есть:

v v1 = v0⊥ = -0 = v0 sin α ⇒ α = 30∘ 2

Из треугольника:

sin α = -d- = 1-⇒ d = R 2R 2

Тогда скорость второй шайбы после столкновения:

√ -- v0 3 v2 = v0∥ = v0cosα = --2---

Из рисунка по теореме Пифагора:

S2 = (v1t)2 + (2R + v2t)2

v2 √ -- 3v2 ⇒ S2 = -0-t2 + 4R2 + 2 3Rv0t + --0-t2 4 4

⇒ v2t2 + 2√3Rv t + (4R2 − S2 ) = 0 0 0

√S2--−-R2-− √3R- ⇒ t = ------------------ v0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32428

Две одинаковые гладкие упругие шайбы движутся по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость первой шайбы $V$ , скорость второй $− 2V$ . Для каждой шайбы прямая, сонаправленная с вектором скорости и проходящая через центр шайбы, касается другой шайбы. Происходит абсолютно упругое соударение.
1. Найдите скорость $V1$ (по модулю) первой шайбы после соударения.
2. На какой угол $α$ повернется вектор скорости первой шайбы в результате соударения?

Источники: Физтех, 2019, 10

Показать ответ и решение

Перейдём в систему отсчёта, связанную со второй шайбой, тогда первая шайба будет иметь скорость $v0 = V + 2V = 3V$ .

Рассмотрим теперь соударение тел более подробно (в системе отсчёта второй шайбы). Введём оси вдоль линии удара, ось $⊥$ и ось $∥$ . Силы в момент удара направлены только вдоль прямой соединяющей центры шайб (линия удара), это значит, что второе тело после удара будет двигаться вдоль этой прямой. Докажем, используя ЗСИ и ЗСЭ, что первая шайба будет двигаться перпендикулярно линии удара. Для этого представим соударение шайб, как центральный удар вдоль оси $∥$ . Тогда ЗСИ на в проекции на ось $∥$ :

mv0 ∥ = mv2 − mv1 ∥

mv20∥ = mv22 + mv21∥

⇒ v0∥ = v2 + v1∥ ⇒ v0∥ = v0∥ + v1∥ + v1∥ ⇒ v1∥ = 0

То есть после удара скорость первой шайбы будет равна:

v1 = v0⊥ = v0 sin α = v0∕2 = 3V- 2

Второй:

√ -- √ -- 3--3V- v2 = v0∥ = v0cos α = 3v0∕2 = 2

Перейдём обратно в систему отсчёта относительно Земли, нарисуем треугольник скоростей:

Тогда по теореме косинусов:

2 V 2= v2+ 4V 2 − 4V v1cos 60∘ ⇒ V 2 = 9V-- + 4V 2 − 3V 2 = 13V 2 1 1 1 4 4

√ --- --13- ⇒ V1 = 2 V

Найдем теперь угол $β$ , воспользовавшись вновь теоремой косинусов:

( (13 + 9 − 16)V 2) ( 1 ) β = 60∘ + arccos -----√---------- = 60 ∘ + arccos √---- 6 13V 2 13

β ≈ 60∘ + 74∘ = 134∘

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32429

Небольшая шайба, движущаяся по гладкой горизонтальной поверхности, налетела на вторую шайбу, покоившуюся на той же поверхности. После абсолютно упругого удара шайб их скорости $v1$ и $v2$ оказались направлены под углом $φ$ друг к другу. Найдите скорость $v 0$ первой шайбы до удара. Массы шайб не заданы, но известно, что они различны.

(Всеросс., 2005, ОЭ, 10)

Источники: Всеросс., 2005, ОЭ, 10

Показать ответ и решение

В системе отсчёта, связанной с центром масс, скорость каждой шайбы после удара остается такой же по величине, но изменяет направление на противоположное. Поэтому в системе центра масс модуль относительной скорости шайб при ударе не изменяется. Это верно и в любой другой системе отсчёта, так как относительная скорость не зависит от выбора системы отсчета. Следовательно,

∘ -2---2------------ |⃗v0| = |⃗v1 − ⃗v2|, откуда v0 = v1 + v2 + 2v1v2cosφ.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Осуществлен переход в систему центра масс	2

Сказано, что модуль относительной скорости в СО, связанной с центром масс, не изменяется	2

Сказано, что относительная скорость не зависит от выбора СО	2

Записана связь $v0$ , $v1$ и $v2$	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

01 Абсолютно упругий удар