14.06 Параллельность. Доказательство базовых фактов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если три вершины квадрата лежат в плоскости, то все вершины (то есть весь квадрат) лежат в этой плоскости.
Пусть вершины ,
и
квадрата
лежат в плоскости
. Допустим точка
не лежит в плоскости
Квадрат является
параллелограммом, следовательно,
, причем
. Получаем, что прямая
, не лежащая в
, параллельна прямой
,
лежащей в плоскости
, т.е.
. Одновременно с этим
проходит через точку
, лежащую в плоскости
, что противоречит
определению параллельности прямой и плоскости.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если три плоскости попарно пересекаются и прямые пересечения не совпадают, то эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.
(в марафоне мы называем эту теорему «Домик»)
Пусть плоскости и
пересекаются по прямой
. Рассмотрим третью плоскость
. Возможны два случая:
. Докажем, что прямые
и
параллельны прямой
. Допустим противное, пусть, не умаляя общности,
не параллельна
.
и
лежат в одной плоскости
и не параллельны, следовательно
и
пересекаются. При этом
лежит в плоскости
, значит, и
пересекается с
. Получили противоречие с
.
. Если они не параллельны, значит, имеют точку пересечения. Обозначим эту точку
. Она принадлежит всем трем плоскостям. Каждая пара плоскостей пересекается по прямой, значит,
принадлежит всем трем прямым.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — точки, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямая
параллельна плоскости, проходящей
через середины отрезков
Теорема 1
Если прямая параллельна некоторой прямой
лежащей в плоскости
то
или
лежит в
Решение
Рассмотрим плоскость Точка
лежит вне этой плоскости, значит,
— тетраэдр. Пусть
—
соответствующие середины. Тогда
как средняя линия, причем
Следовательно, по теореме 1
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — четыре точки пространства. Докажите, что середины отрезков
служат вершинами
параллелограмма.
(расширенная теорема Вариньона)
Случай, когда все точки лежат в одной плоскости, оставим для самостоятельного изучения. Разберем случай, когда
не лежат в одной плоскости, то есть образуют тетраэдр.
Пусть — середины отрезков
соответственно. Тогда
как средняя линия в
треугольнике
как средняя линия в треугольнике
Следовательно,
Параллельность
и
доказывается аналогично. Значит,
— параллелограмм.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Параллельные прямые и
лежат в плоскости
. Докажите, что прямая
, пересекающая прямые
и
, также лежит в плоскости
.
Две параллельные прямые и
однозначно задают плоскость
. Пусть
,
.
, т.к.
. Тогда две точки
прямой
лежат в
, следовательно,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Стороны и
параллелограмма
пересекают плоскость
Докажите, что прямые
и
также пересекают плоскость
.
Допустим противное, пусть не пересекается с
, то есть
или
лежит в
. При этом
, так как
—
параллелограмм. Получаем
или
лежит в
, что противоречит условию пересечения сторонами
и
параллелограмма
плоскости
. Для прямой
аналогично.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Средняя линия трапеции лежит в плоскости Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость
? Ответ
обоснуйте.
Теорема 1
Если прямая параллельна некоторой прямой
, лежащей в плоскости
, то
или
лежит в
.
Решение
Нет, не пересекают, так как эти прямые параллельны средней линии, следовательно, по теореме 1 параллельны плоскости , которая
содержит среднюю линию, либо лежат в этой плоскости.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Треугольники и
не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку
, пересекает плоскости
данных треугольников.
Докажем от противного. Допустим, что некоторая прямая не пересекает плоскость
, то есть
или
лежит в
. Тогда
или
лежит в
, что противоречит условию. Аналогично для плоскости
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и
лежат в плоскости
, а точка
не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков
и
, параллельна плоскости
Теорема 1
Если прямая параллельна некоторой прямой
, лежащей в плоскости
, то
или
лежит в
.
Решение
Обозначим середины через и
.
как средняя линия в треугольнике
. При этом
следовательно, по
теореме 1
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка не лежит в плоскости трапеции
с основанием
Докажите, что прямая
параллельна плоскости
Теорема 1
Если прямая параллельна некоторой прямой
лежащей в плоскости
то
или
лежит в
Решение
Так как — трапеция с основаниями
и
то
При этом
следовательно, по теореме
1
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.
Теорема 1
Если прямая параллельна некоторой прямой
, лежащей в плоскости
, то
или
лежит в
.
Решение
Обозначим данную прямую через . Тогда для каждой из двух плоскостей в этой плоскости есть прямая, параллельная
(ведь прямая
пересечения лежит в обеих плоскостях и параллельна
), а значит, по теореме 1 прямая
параллельна каждой из двух плоскостей.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сторона треугольника
параллельна плоскости
, а стороны
и
пересекаются с этой плоскостью в точках
и
.
Докажите, что треугольники
и
подобны.
Очевидно, что точки лежат в одной плоскости.
Докажем, что . Допустим противное. Тогда
, причем они лежат в одной плоскости, следовательно, у них есть
некоторая точка пересечения
. Тогда
. При этом
, значит,
пересекается с
, что противоречит
условию.
Из параллельности очевидно следует подобие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.
Нет, такого быть не может. Докажем от обратного. Пусть и
скрещиваются,
. Тогда
—
противоречие с тем, что
и
скрещиваются.