14.05 Аксиомы. Доказательство базовых фактов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верно ли, что если две (три) точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в плоскости? А две точки окружности и ее центр? Ответы аргументируйте.
-
Если две точки окружности лежат в плоскости, несложно построить контрпример. Возьмем произвольную окружность
в плоскости
. Построим произвольную прямую
в плоскости
, которая пересекает окружность
в двух точках
и
. Тогда очевидно, что существует плоскость
, не совпадающая с
и содержащая прямую
. Несложно видеть, что две точки окружности
лежат в
, при этом окружность не лежит в
.
- Три точки окружности лежат в плоскости. Окружность по определению является плоской фигурой, а три точки, не лежащие на одной прямой (а никакие три различные точки окружности действительно не лежат на одной прямой), единственным образом задают плоскость, значит, вся окружность лежит в этой плоскости.
- Две точки на окружности могут оказаться диаметрально противоположными. Тогда они лежат с центром на одной прямой и существует бесконечное число плоскостей, проходящих через эти три точки. Значит, нельзя гарантировать, что окружность будет лежать в плоскости.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через точку , не лежащую на прямой
, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой
Докажите,
что по крайней мере одна из этих прямых и прямая
являются скрещивающимися прямыми.
Обозначим через и
прямые, проходящие через точку
. Допустим противное, т.е. ни
, ни
не скрещиваются
с
. Это значит, что
и
лежат в некоторой плоскости
, а
и
в некоторой плоскости
. Очевидно, что
и
, а также
и
. При этом мы знаем, что прямая
и точка
, не лежащая на этой
прямой, однозначно задают плоскость, следовательно
. Получили, что все три прямые лежат в одной плоскости.
Прямые
и
не могут обе быть параллельны
, значит, хотя бы одна из них имеет с
точку пересечения, что
противоречит условию.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая пересекает прямую
и не пересекает прямую
, параллельную прямой
Докажите, что
и
—
скрещивающиеся прямые.
Допустим противное, т.е. что и
не скрещивающиеся, тогда они лежат в одной плоскости. При этом по условию
и
не пересекаются, следовательно,
. Получили
, что противоречит условию, что
пересекает
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через вершину ромба
проведена прямая
, параллельная диагонали
, а через вершину
— прямая
, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые
и
пересекаются; б)
и
— скрещивающиеся
прямые.
Обозначим плоскость ромба через .
а) Прямая параллельна
и проходит через
, следовательно,
.
пересекается с
,
, следовательно,
пересекается с
.
б) Допустим, что и
не скрещиваются. Тогда они однозначно задают некоторую плоскость
.
Точка
лежит в
, при этом точка
и прямая
однозначно задают некоторую плоскость, и эта
плоскость является плоскотью ромба (как мы знаем из пункта а). Тогда плоскость ромба и плоскость
совпадают, однако это противоречит условию, что
не лежит в плоскости ромба. Значит,
и
скрещиваются.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если и
скрещивающиеся прямые, то
и
также скрещивающиеся прямые.
Допустим противное, т.е. и
не скрещиваются. Из этого сразу следует, что все четыре точки
лежат в одной плоскости, что противоречит условию «
и
скрещивающиеся прямые». Значит,
и
скрещивающиеся.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки ,
,
и
не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые
и
скрещиваются.
Рассмотрим плоскость . прямая
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой
. Следовательно, по признаку
прямые
и
скрещиваются.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На одной из двух скрещивающихся прямых взяли различные точки и
, на другой — различные точки
и
. Верно ли, что
прямые
и
— секрещивающиеся прямые?
Да. Прямые и
не лежат в одной плоскости, следовательно, четыре точки
не лежат в одной плоскости. Тогда
любая пара прямых, составленная из этих точек, является парой скрещивающихся прямых.