Тема 14. Задачи по стереометрии

14.05 Аксиомы. Доказательство базовых фактов

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#15989

Верно ли, что если две (три) точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в плоскости? А две точки окружности и ее центр? Ответы аргументируйте.

Показать ответ и решение
  • Если две точки окружности лежат в плоскости, несложно построить контрпример. Возьмем произвольную окружность ω  в плоскости α  . Построим произвольную прямую a  в плоскости α  , которая пересекает окружность ω  в двух точках A  и B  . Тогда очевидно, что существует плоскость β  , не совпадающая с α  и содержащая прямую a  . Несложно видеть, что две точки окружности ω  лежат в β  , при этом окружность не лежит в β  .

    PIC

  • Три точки окружности лежат в плоскости. Окружность по определению является плоской фигурой, а три точки, не лежащие на одной прямой (а никакие три различные точки окружности действительно не лежат на одной прямой), единственным образом задают плоскость, значит, вся окружность лежит в этой плоскости.
  • Две точки на окружности могут оказаться диаметрально противоположными. Тогда они лежат с центром на одной прямой и существует бесконечное число плоскостей, проходящих через эти три точки. Значит, нельзя гарантировать, что окружность будет лежать в плоскости.
Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#16766

Через точку M  , не лежащую на прямой a  , проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой a.  Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая a  являются скрещивающимися прямыми.

Показать ответ и решение

Обозначим через b  и c  прямые, проходящие через точку M  . Допустим противное, т.е. ни b  , ни c  не скрещиваются с a  . Это значит, что b  и a  лежат в некоторой плоскости β  , а c  и a  в некоторой плоскости γ  . Очевидно, что M  ∈ β  и M  ∈ γ  , а также a ⊂ β  и a ⊂ γ  . При этом мы знаем, что прямая a  и точка M  , не лежащая на этой прямой, однозначно задают плоскость, следовательно γ = β  . Получили, что все три прямые лежат в одной плоскости. Прямые b  и c  не могут обе быть параллельны a  , значит, хотя бы одна из них имеет с a  точку пересечения, что противоречит условию.

PIC

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16767

Прямая c  пересекает прямую a  и не пересекает прямую b  , параллельную прямой a.  Докажите, что b  и c  — скрещивающиеся прямые.

Показать ответ и решение

Допустим противное, т.е. что b  и c  не скрещивающиеся, тогда они лежат в одной плоскости. При этом по условию     b  и c  не пересекаются, следовательно, b ∥ c  . Получили c ∥ b ∥ a  , что противоречит условию, что c  пересекает a  .

PIC

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#16769

Через вершину A  ромба ABCD  проведена прямая a  , параллельная диагонали BD  , а через вершину C  — прямая b  , не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые a  и CD  пересекаются; б) a  и b  — скрещивающиеся прямые.

PIC

Показать ответ и решение

Обозначим плоскость ромба через α  .

а) Прямая a  параллельна BD  ⊂ α  и проходит через A ∈ α  , следовательно, a ⊂ α  . CD  пересекается с BD  , BD  ∥ a  , следовательно, CD  пересекается с a  .

б) Допустим, что b  и a  не скрещиваются. Тогда они однозначно задают некоторую плоскость β  . Точка C  лежит в β  , при этом точка C  и прямая a  однозначно задают некоторую плоскость, и эта плоскость является плоскотью ромба (как мы знаем из пункта а). Тогда плоскость ромба и плоскость β  совпадают, однако это противоречит условию, что b  не лежит в плоскости ромба. Значит, b  и a  скрещиваются.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#16770

Докажите, что если AB  и CD  скрещивающиеся прямые, то AD  и BC  также скрещивающиеся прямые.

Показать ответ и решение

Допустим противное, т.е. AD  и BC  не скрещиваются. Из этого сразу следует, что все четыре точки A,B, C,D  лежат в одной плоскости, что противоречит условию «AB  и CD  скрещивающиеся прямые». Значит, AD  и BC  скрещивающиеся.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#34999

Точки A  , B  , C  и D  не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB  и CD  скрещиваются.

Показать ответ и решение

Рассмотрим плоскость (ABC )  . прямая CD  пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой AB  . Следовательно, по признаку прямые AB  и CD  скрещиваются.

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#35000

На одной из двух скрещивающихся прямых взяли различные точки A  и A
 1  , на другой — различные точки B  и B
 1  . Верно ли, что прямые AB  и A1B1  — секрещивающиеся прямые?

Показать ответ и решение

Да. Прямые AA
  1  и BB
   1  не лежат в одной плоскости, следовательно, четыре точки A,A ,B,B
   1    1  не лежат в одной плоскости. Тогда любая пара прямых, составленная из этих точек, является парой скрещивающихся прямых.

Ответ: Да
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!