.01 Вихревое электрическое поле

По закону электромагнитной индукции в момент включения магнитного поля возникнет вихревое электрическое поле, которое разгонит заряд до некоторой скорости. После этого магнитное поле внутри катушки будет однородным и не будет зависеть от времени. Поэтому заряд будет двигаться внутри соленоида по окружности. Найдем параметры этой окружности.

Очевидно, параметры этой окружности будут зависеть от времени включения поля. Если поле включается очень быстро, заряд за время включения поля практически не успевает переместиться, и начинает свое движение из начальной точки, приобретя ту скорость, которую сообщит ему вихревое электрическое поле в этой точке. Если поле включается медленно, заряд движется в процессе включения поля и то, какую скорость он приобретет к моменту включения магнитного поля до величины и то, в какой точке окажется, зависит от закона включения поля. Поскольку этот закон в условии не задан, количественно этот случай не может быть рассмотрен. Рассмотрим случай быстрого включения поля.

Найдем напряженность вихревого электрического поля, которое возникает в процессе включения магнитного поля и которое действует на заряд. Для этого рассмотрим контур радиуса и с центром на оси катушки. С одной стороны согласно закону электромагнитной индукции ЭДС индукции в контуре возникнет ЭДС величиной

С другой стороны, причина возникновения ЭДС – действие вихревого электрического поля, которое обладает осевой симметрией (благодаря осевой симметрии магнитного поля в катушке). Это значит, что вихревое поле одинаково во всех точках, находящихся на одинаковых расстояниях от оси катушки (причем направлено по касательной, поскольку существование проекции, направленной во всех точках от оси катушки означало бы, что там есть заряды). Поэтому работа поля над единичным пробным зарядом может быть записана как . Отсюда имеем

Далее. Поле (*) разгоняет заряд. Поскольку поле включается очень быстро (именно такой случай мы рассматриваем), за время включения поля заряд не успел переместиться. Поэтому он приобретает следующий импульс и, следовательно, скорость

где и – масса и величина точечного заряда. Теперь находим радиус окружности , по которой движется заряд. Из закона вращательного движения имеем

При этом легко сообразить (находя направление силы Лоренца, действующей на заряд со стороны магнитного поля), что поле будет поворачивать заряд к центру катушки. Поэтому из формулы (***) заключаем, что заряд пройдет через точку, лежащую на оси катушки. Скорость заряда в магнитном поле не меняется, и, следовательно, она будет равна (**).

Чтобы время включения было малым, нужно, чтобы перемещение заряда за время включения поля было много меньше радиуса орбиты. А поскольку ускорение заряда есть

(здесь использована формула (*)), то оценкой его перемещения за время включения поля является величина

Поэтому критерием малости времени включения поля является неравенство

Неравенство (4*) имеет простой физический смысл. Отношение имеет смысл времени оборота частицы массы с зарядом в магнитном поле с индукцией . Поэтому время включения поля должно быть мало по сравнению с временем оборота.

Если неравенство (4*) не выполнено, характер движения заряда зависит от закона включения поля, который не задан условием задачи, и потому не может быть определен.