Вихревое электрическое поле —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37229

Индукция магнитного поля внутри цилиндра радиуса 8 см возрастает со временем по закону $B = αt2$ , (коэффициент $− 4 α = 10$ Тл/с $2$ ). Магнитное поле направлено вдоль оси цилиндра. Чему равна напряжённость вихревого электрического поля на расстоянии $l = 0,1$ м от оси цилиндра в момент времени $t1 = 1$ с? $t2 = 4$ с?
(Савченко, 11.2.4)

Показать ответ и решение

Согласно определению:

Aст- ℰi = q , (1 )

где в данном случае работа сторонних сил есть работа силы $qE$ , действующей на заряд $q$ со стороны вихревого электрического поля $E$ по замкнутой окружности радиусом $l$ :

A ст = qE ⋅ 2πl (2)

(учтено, что в каждый момент времени угол между направлением силы и скорости равен нулю). Учитывая закон электромагнитной индукции:

ℰi = Ф ′ = (πr2B )′ = 2πr2 βt,

из (1, 2) получаем:

βr2t E = ----; E1 = 6,4 ⋅ 10−6 В/ м; E2 = 2,56 ⋅ 10−5 В/ м 2l

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#37230

Внутри длинной катушки радиуса $r$ на расстоянии $r∕2$ от ее оси находится положительный точечный заряд $q$ с массой $m$ . Вначале ток через катушку не течет. В некоторый момент времени в катушке включается электрический ток, индукция магнитного поля внутри катушки возрастает от нуля до значения $B0$ и далее от времени не зависит. При этом заряд приходит в движение. На каком минимальном расстоянии от оси катушки он пролетит, и какую скорость будет иметь в этот момент? Силой тяжести пренебречь.
(«Росатом», 2019, 11)

Показать ответ и решение

По закону электромагнитной индукции в момент включения магнитного поля возникнет вихревое электрическое поле, которое разгонит заряд до некоторой скорости. После этого магнитное поле внутри катушки будет однородным и не будет зависеть от времени. Поэтому заряд будет двигаться внутри соленоида по окружности. Найдем параметры этой окружности.

Очевидно, параметры этой окружности будут зависеть от времени включения поля. Если поле включается очень быстро, заряд за время включения поля практически не успевает переместиться, и начинает свое движение из начальной точки, приобретя ту скорость, которую сообщит ему вихревое электрическое поле в этой точке. Если поле включается медленно, заряд движется в процессе включения поля и то, какую скорость он приобретет к моменту включения магнитного поля до величины $B0$ и то, в какой точке окажется, зависит от закона включения поля. Поскольку этот закон в условии не задан, количественно этот случай не может быть рассмотрен. Рассмотрим случай быстрого включения поля.

Найдем напряженность вихревого электрического поля, которое возникает в процессе включения магнитного поля и которое действует на заряд. Для этого рассмотрим контур радиуса $x = r∕2$ и с центром на оси катушки. С одной стороны согласно закону электромагнитной индукции ЭДС индукции в контуре возникнет ЭДС величиной

Δ Ф B πx2 ℰ = -----= --0---. Δt Δt

С другой стороны, причина возникновения ЭДС – действие вихревого электрического поля, которое обладает осевой симметрией (благодаря осевой симметрии магнитного поля в катушке). Это значит, что вихревое поле одинаково во всех точках, находящихся на одинаковых расстояниях от оси катушки (причем направлено по касательной, поскольку существование проекции, направленной во всех точках от оси катушки означало бы, что там есть заряды). Поэтому работа поля над единичным пробным зарядом может быть записана как $2πxE$ . Отсюда имеем

2 B0πx---= 2πxE ⇒ E = B0x- (∗ ) Δt 2Δt

Далее. Поле (*) разгоняет заряд. Поскольку поле включается очень быстро (именно такой случай мы рассматриваем), за время включения поля заряд не успел переместиться. Поэтому он приобретает следующий импульс и, следовательно, скорость

qB0x qB0r m ⃗v = q ⃗EΔt ⇒ v = ----- = ----- (∗ ∗) 2m 4m

где $m$ и $q$ – масса и величина точечного заряда. Теперь находим радиус окружности $R$ , по которой движется заряд. Из закона вращательного движения имеем

mv2-- mv-- x- R = qB0v ⇒ R = qB = 2. (∗ ∗ ∗) 0

При этом легко сообразить (находя направление силы Лоренца, действующей на заряд со стороны магнитного поля), что поле будет поворачивать заряд к центру катушки. Поэтому из формулы (***) заключаем, что заряд пройдет через точку, лежащую на оси катушки. Скорость заряда в магнитном поле не меняется, и, следовательно, она будет равна (**).

Чтобы время включения было малым, нужно, чтобы перемещение заряда за время включения поля было много меньше радиуса орбиты. А поскольку ускорение заряда есть

qE qB0x a = ---= ------, m 2m Δt

(здесь использована формула (*)), то оценкой его перемещения за время включения поля является величина

2 B0rq- Δx = aΔt = m Δt

Поэтому критерием малости времени включения поля является неравенство

B Rq m Δx < < r ⇒ --0---Δt < < r ⇒ Δt < < ----. (4∗ ) m qB0

Неравенство (4*) имеет простой физический смысл. Отношение $m ∕qB0$ имеет смысл времени оборота частицы массы $m$ с зарядом $q$ в магнитном поле с индукцией $B0$ . Поэтому время включения поля должно быть мало по сравнению с временем оборота.

Если неравенство (4*) не выполнено, характер движения заряда зависит от закона включения поля, который не задан условием задачи, и потому не может быть определен.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#37231

Скорость изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, равна $φ$ .
а) Определите заряд на конденсаторе ёмкости $C$ , который включен в этот контур.
б) В контур включены два конденсатора ёмкости $C1$ и $C2$ . Определите заряд на обкладках конденсаторов.
(Савченко, 11.2.7)

Показать ответ и решение

а) Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС индукции в контуре возникнет ЭДС величиной

ℰ = Δ-Ф--= φ. Δt

Тогда заряд на конденсаторе:

q = CUC = Cℰ = C φ.

б) Так как конденсаторы подключены последовательно, то заряды на них одинаковы

q = q ⇔ C U = C U , 1 2 1 1 2 2

где $Ui$ – напряжение на $i$ -ом конденсаторе.
Кроме того

U1 + U2 = ℰ = φ.

Тогда $U = C2-U 1 C1 2$

C2 C1 φ ---U2 + U2 = φ ⇒ U2 = -------- C1 C1 + C2

И заряд на конденсаторах

q1 = q2 = C2U2 = C1C2-φ--. C1 + C2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#37234

В электрический контур входят конденсатор ёмкости $C = 0,01$ мкФ и диод $D$ с сопротивлением в прямом направлении $R = 100$ Ом, в обратном – равном бесконечности. После кратковременного появления внутри контура магнитного поля конденсатор оказался заряженным до потенциала $V = 0, 5$ В. Определите максимальный поток магнитной индукции, который проходил через контур.
(Савченко, 11.2.11)

Показать ответ и решение

ДСила тока находится по формуле:

dq- I = dt,

где $q$ – заряд.
Заряд на конденсаторе же равен: $q = CUc ⇒ I = Cd-(Uc-), dt$ где $Uc$ – напряжение на конденсаторе.
ЭДС индукции можно найти по формуле:

ξi = IR = d-Ф- = Cd(Uc-)R ⇒ d Ф = Cd (Uc)R ⇒ Ф = CUcR dt dt

Максимальный поток будет при максимальном напряжении на конденсаторе и он равен:

Ф = CV R

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#37236

На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое проволочное кольцо радиуса $r$ . Кольцо находится во внешнем однородном магнитном поле с индукцией $B0$ , направленной перпендикулярно плоскости кольца. Индукция внешнего магнитного поля стала уменьшаться со временем $t$ по закону $B (t) = B0 − At$ , где $A$ – константа.
1) Найти ток в кольце.
2) Чему равна максимальная сила натяжения проволоки кольца, обусловленная взаимодействием тока в кольце и внешнего магнитного поля?
Сопротивление проволоки кольца равно R. Самоиндукцией кольца пренебречь.
(МФТИ, 1995)

Показать ответ и решение

1) Изменение магнитной индукции за время $Δt$ равно $ΔB = B (t + Δt) − B (Δt) = A Δt$ . ЭДС индукции равна

|ξi| = Δ-Ф- = ΔBS---= IR Δt Δt

Откуда сила тока

A-Δtπr2- A-πr2- I = RΔt = R

2) Сила Ампера равна

FA = IB (t)l = 2IB (t)r

По второму закону Ньютона

A πr3 A πr3 FA − 2T = 0 ⇒ T = IB (t)r = ------B(t) = -----(B0 − At) R R

Максимальная сила наятжения будет при $t = 0$ и она равна

3 T = A-πr-B max R 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#37237

Квадратная проволочная рамка с диаметром проволоки $d0$ находится вблизи длинного прямого провода с током $I0$ (см. рисунок). При выключении тока рамка приобретает импульс $p0$ . Какой импульс получила бы рамка, если бы начальный ток в проводе был $I = 3I 0$ , а диаметр проволоки рамки $d = 2d0$ ? Самоиндукцией рамки пренебречь.
(МФТИ, 1993)

Показать ответ и решение

При уменьшении тока в проводе рамку пронизывает переменный (во времени) магнитный поток Ф $(t)$ , который пропорционален величине тока $I(t)$ в проводе:

Ф (t) ∼ I(t).

При этом в рамке возникает такой индукционный ток, чтобы возместить изменение потока, то есть ЭДС индукции равна

Δ-Ф- ξi = Δt .

А ток из закона Ома:

ξ i = --, R

где $R$ – сопротивление рамки.
Сопротивление же можно найти по формуле:

ρL ρl 4ρl R = --- = ---2 = --2, S πr D

где $S$ – площадь поперечного сечения провода, $l$ – длина провода, $ρ$ – удельное сопротивление провода.
На рамку будет действовать силы Ампера, показанные на рисунке

На левую сторону рамки со стороны магнитного поля провода будет действовать сила Ампера

F1 = iBl

Очевидно, что аналогичная сила $F2$ будет действовать на правую сторону рамки, их результирующая сила равна $F = F1 − F2$ .
За малый промежуток времени $Δt$ , на рамку будет действовать импульс силы, равны

Δp = F Δt

Тогда исходя из всего вышенаписанного, полное изменение импульса рамки пропорционально

2 2 p ∼ I d .

(Здесь опущены постоянны величины). Тогда для второго случая изменение импульса будет равно

I21d21- p1 = p0 Id = 36p0. 0 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#37238

В длинном соленоиде радиусом $r$ создано однородное магнитное поле с индукцией $B0$ , направленной вдоль оси $O$ цилиндра (рис.). На расстоянии $R0$ от оси, перпендикулярно оси, укреплена прямолинейная трубка $AM$ из диэлектрика. Угол $AOM$ равен $α = π∕3$ . Длина трубки значительно меньше длины соленоида. Внутри трубки в точке $A$ находится небольшой шарик массой $m$ с положительным зарядом $q$ . Найдите скорость шарика в момент вылета из трубки в следующих случаях.
1) Магнитное поле исчезает за малое время, в течение которого шарик смещается на расстояние, значительно меньшее $R0$ .
2) Индукция магнитного поля уменьшается с постоянной скоростью $dB ∕dt = − k < 0$ в течение всего времени движения шарика по трубке.
Трением и электромагнитным действием трубки на шарик пренебречь.
(Всеросс., 2007, ОЭ, 11)

Показать ответ и решение

1. Разобьём время выключения поля на сколь угодно малые интервалы времени. Пусть магнитный поток через поперечное сечение соленоида за один из таких интервалов длительностью $Δt$ изменился на $Δ$ Ф. Тогда напряжённость вихревого электростатического поля в точке A направлена вдоль трубки и равна

− Δ Ф E = --------. 2πR0 Δt

Сила, действующая на шарик, $F = qE$ . Поскольку $F Δt = m Δv,$ где $Δv$ – изменение скорости, то

q − -----Δ Ф = m Δv. 2πR0

Суммирование данных уравнений за всё время включения поля даёт:

∑ ∑ − --q--- Δ Ф = m Δv. 2πR0

У нас

∑ 2 2 ∑ Δ Ф = 0 − B0 πr = − B0 πr , Δv = v1

Шарик вылетает из трубки со скоростью, равной скорости $v 1$ , полученной в точке A:

r2qB0 v1 = ------ 2mR0

2. Направим ось $Ox$ вдоль трубки (см. рис.). Пусть в произвольный момент времени при движении шарик находится в точке C на расстоянии $R$ от оси соленоида, имеет скорость $v$ и его положение $x$ характеризуется углом $β$ . Напряжённость вихревого электрического поля в точке C

2 2 E = πr--|dB-∕dt| = kr-. 2πR 2R

На шарик действует сила $F = qE$ её проекция на ось $Ox$ : $Fx = F cosβ.$ За малое время $Δt$ шарик переместится на расстояние $CD = vΔt$ , получив приращение скорости $Δv$ , причём $Fx Δt = m Δv$ Имеем, с учётом выражений для $Fx, F$ и $E$ :

kr2qΔt- 2R cosβ = m Δv. (1)

По теореме синусов для треугольника OCD:

Δ β vΔt ≈ -------∘----- sin(90 − β )

Отсюда $Δt cos β∕R = Δ β∕v$ . С учетом последнего соотношения равенство (1) принимает вид

kr2qΔ β = 2mv Δv

Поскольку $2v Δv = Δ (v2)$ , то $kr2qΔ β = m Δ (v2 )$ . У нас

∑ π- π- ∑ 2 2 2 Δ β = 3 − 0 = 3 , Δ (v ) = v2 − 0 = v2

Шарик вылетит из трубки со скоростью

∘ -----2- v2 = πqkr-- 3m

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#37240

Из одного куска проволоки спаяна плоская фигура (рис.), состоящая из трёх квадратов со стороной a. В один из отрезков проволоки впаян небольшой по размерам конденсатор ёмкости $C$ . Конструкция находится в однородном магнитном поле $⃗B$ , которое перпендикулярно плоскости фигуры и увеличивается с постоянной скоростью $dB ∕dt = k > 0$ . Сопротивление куска проволоки длины a равно $r$ . Для установившегося режима определите:
1) силу и направление тока в отрезке $AB$ ;
2) заряд на конденсаторе $Q$ и знак зарядов на обкладках;
3) количество теплоты $W$ , выделяющееся в цепи за время $τ$ .
(Всеросс., 2013, финал, 11)

Показать ответ и решение

Через достаточно большое время, конденсатор зарядится так, что ток через него течь не будет, и токи во всей цепи установятся . Предположим, что токи текут так, как показано на рисунке (см. рис.). Закон Кирхгофа для контуров