.02 Колебательные системы

Пусть туннель «опирается» на угол (см. рисунок). Как известно, на тело массой , находящееся внутри Земли на расстоянии от ее центра, действует направленная к центру Земли сила тяжести

где – сила тяжести, действующая на тело на поверхности Земли, – радиус Земли. Применяя второй закон Ньютона к тележке, найдем, что ее ускорение направлено вдоль туннеля и равно по величине

где – проекция силы тяжести на ось OX, направленную вдоль туннеля (см. рисунок), – масса тележки. Поскольку , из уравнения (1) следует

что ускорение тележки пропорционально расстоянию от нее до точки (ближайшей к центру точки туннеля); это значит, что тележка (вместе с маятником на ней) будет совершать гармонические колебания относительно точки с периодом

Следовательно, до противоположной точки туннеля тележка доедет за половину периода

(причем независимо от того, на какой угол «опирается» туннель). Второй закон Ньютона для маятника имеет вид

где масса маятника, – его ускорение в инерциальной системе отсчета (например, относительно Земли), – сила натяжения нити. Но поскольку маятник колеблется на тележке, которая движется с ускорением, нам нужно найти его ускорение относительно тележки . Используя далее, закон, аналогичный закону сложения скоростей (но для ускорений) , получим

(для знакомых с понятием сил инерции отметим, что уравнение (4) является вторым законом Ньютона в неинерциальной системе отсчета, связанной с тележкой, а и есть действующая на маятник сила инерции). Но с учетом (1) величина есть проекция действующей на маятник силы тяжести на ось , поэтому вектор направлен перпендикулярно туннелю, а его величина равна проекции силы тяжести на ось OY , перпендикулярную туннелю. Поэтому модуль этого вектора равен

и не меняется в процессе движения тележки по туннелю (см. рисунок). Из уравнений (4)–(5) следует, что уравнение для ускорения маятника относительно тележки совпадает с уравнением для ускорения математического маятника, но в качестве «силы тяжести» в нем фигурирует постоянная сила . А это значит, что маятник будет совершать колебания с периодом

Поэтому за время (3) маятник совершит следующее количество колебаний

(Официальное решение Росатом)